Ожидаемая доходность и риск активов

Пусть имеется некоторый рынок активов (ценных бумаг)

Ожидаемая доходность и риск активов - №1 - открытая онлайн библиотека ,

где Ожидаемая доходность и риск активов - №2 - открытая онлайн библиотека - отдельные активы. Каждому активу Ожидаемая доходность и риск активов - №3 - открытая онлайн библиотека , поставим в соответствие случайную величину Ожидаемая доходность и риск активов - №4 - открытая онлайн библиотека , которая представляет собой доходность данного актива в выбранном инвестиционном горизонте T. Эта величина в результате испытания (по истечении промежутка времени T) может принять следующие возможные значения (реализации)Ожидаемая доходность и риск активов - №5 - открытая онлайн библиотекапри соответствующих состояниях рынка Ожидаемая доходность и риск активов - №6 - открытая онлайн библиотека . То есть Ожидаемая доходность и риск активов - №7 - открытая онлайн библиотека , можно определить как дискретную случайную величину:

Ожидаемая доходность и риск активов - №8 - открытая онлайн библиотека Ожидаемая доходность и риск активов - №9 - открытая онлайн библиотека Ожидаемая доходность и риск активов - №10 - открытая онлайн библиотека Ожидаемая доходность и риск активов - №11 - открытая онлайн библиотека
Ожидаемая доходность и риск активов - №12 - открытая онлайн библиотека Ожидаемая доходность и риск активов - №13 - открытая онлайн библиотека Ожидаемая доходность и риск активов - №14 - открытая онлайн библиотека Ожидаемая доходность и риск активов - №15 - открытая онлайн библиотека

где Ожидаемая доходность и риск активов - №16 - открытая онлайн библиотека .

Тогда ожидаемая доходность актива a будет характеризоваться математическим ожиданием:

Ожидаемая доходность и риск активов - №17 - открытая онлайн библиотека , (1)

а мерой риска актива a является дисперсия (или вариация) случайной величины Ожидаемая доходность и риск активов - №8 - открытая онлайн библиотека :

Ожидаемая доходность и риск активов - №19 - открытая онлайн библиотека , (2)

или

Ожидаемая доходность и риск активов - №20 - открытая онлайн библиотека .

Учитывая, что размерность дисперсии равна квадрату размерности доходности R, в качестве меры риска часто используют среднеквадратическое (или стандартное) отклонение:

Ожидаемая доходность и риск активов - №21 - открытая онлайн библиотека .

Однако использование вариации в качестве меры риска не лишено недостатков. Дело в том, что вариация учитывает отклонения в обе стороны по отношению к среднему значению. То есть реализованная доходность может быть выше среднего значения, что вносит свой вклад в величину вариации, а следовательно и риска. Инвестор же не расценивает превышение реальной доходности над ожидаемой как неприятный результат. Напротив, он приветствует такой исход дела. Поэтому некоторые исследователи считают, что такие случаи не должны рассматриваться при измерении риска. Эту меру риска называют еще полувариацией. В настоящее время при измерении риска снижения стоимости ценной бумаги финансисты-практики пользуются обоими понятиями.

№ 1. Пусть рынок состоит из трех активов Ожидаемая доходность и риск активов - №22 - открытая онлайн библиотека и может находиться в одном из трех состояний Ожидаемая доходность и риск активов - №23 - открытая онлайн библиотека , где Ожидаемая доходность и риск активов - №24 - открытая онлайн библиотека - «хорошее» состояние (подъем), Ожидаемая доходность и риск активов - №25 - открытая онлайн библиотека - «среднее» состояние (равновесие) и Ожидаемая доходность и риск активов - №26 - открытая онлайн библиотека - «плохое» состояние (спад). Данные по вероятностям и доходностям приведем в следующей таблице:

Таблица 1.

Состояние рынкаОжидаемая доходность и риск активов - №27 - открытая онлайн библиотека Вероятность Ожидаемая доходность и риск активов - №28 - открытая онлайн библиотека Доходности активов (в %)
Ожидаемая доходность и риск активов - №29 - открытая онлайн библиотека Ожидаемая доходность и риск активов - №30 - открытая онлайн библиотека Ожидаемая доходность и риск активов - №31 - открытая онлайн библиотека
Ожидаемая доходность и риск активов - №32 - открытая онлайн библиотека 0,3 -10
Ожидаемая доходность и риск активов - №33 - открытая онлайн библиотека 0,6
Ожидаемая доходность и риск активов - №34 - открытая онлайн библиотека 0,1 -20

Оцените доходности и риски данных активов.

Решение. Составим законы распределения случайных величин Ожидаемая доходность и риск активов - №35 - открытая онлайн библиотека , Ожидаемая доходность и риск активов - №36 - открытая онлайн библиотека и Ожидаемая доходность и риск активов - №37 - открытая онлайн библиотека :

Ожидаемая доходность и риск активов - №29 - открытая онлайн библиотека   Ожидаемая доходность и риск активов - №30 - открытая онлайн библиотека -20   Ожидаемая доходность и риск активов - №31 - открытая онлайн библиотека -10
Ожидаемая доходность и риск активов - №12 - открытая онлайн библиотека 0,9 0,1   Ожидаемая доходность и риск активов - №12 - открытая онлайн библиотека 0,3 0,6 0,1   Ожидаемая доходность и риск активов - №12 - открытая онлайн библиотека 0,3 0,7

Тогда ожидаемые доходности равны:

Ожидаемая доходность и риск активов - №44 - открытая онлайн библиотека ,

Ожидаемая доходность и риск активов - №45 - открытая онлайн библиотека ,

Ожидаемая доходность и риск активов - №46 - открытая онлайн библиотека .

Оценим риски этих активов:

Ожидаемая доходность и риск активов - №47 - открытая онлайн библиотека , Ожидаемая доходность и риск активов - №48 - открытая онлайн библиотека ;

Ожидаемая доходность и риск активов - №49 - открытая онлайн библиотека , Ожидаемая доходность и риск активов - №50 - открытая онлайн библиотека ;

Ожидаемая доходность и риск активов - №51 - открытая онлайн библиотека , Ожидаемая доходность и риск активов - №52 - открытая онлайн библиотека .

Полученные результаты можно представить в виде следующей таблицы:

Таблица 2

  Ожидаемая доходность и риск активов - №29 - открытая онлайн библиотека Ожидаемая доходность и риск активов - №30 - открытая онлайн библиотека Ожидаемая доходность и риск активов - №31 - открытая онлайн библиотека
Ожидаемая доходность и риск активов - №56 - открытая онлайн библиотека 18,5 7,5
Ожидаемая доходность и риск активов - №57 - открытая онлайн библиотека 20,25 131,25
Ожидаемая доходность и риск активов - №58 - открытая онлайн библиотека 4,5 11,45

Из рассмотренного примера видно, что наибольшей доходностью 18,5% и наименьшим риском 4,5% обладает актив Ожидаемая доходность и риск активов - №59 - открытая онлайн библиотека , и если инвестор при принятии инвестиционных решений основывается лишь на рассмотренных выше характеристиках доходности и риска, то он должен инвестировать весь свой капитал в актив Ожидаемая доходность и риск активов - №59 - открытая онлайн библиотека .

Другими словами, если речь идет о выборе наилучшего актива, удовлетворяющего условиям:

Ожидаемая доходность и риск активов - №61 - открытая онлайн библиотека , Ожидаемая доходность и риск активов - №62 - открытая онлайн библиотека , (3)

то оптимальный портфель должен состоять только из актива Ожидаемая доходность и риск активов - №59 - открытая онлайн библиотека .