Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів

В теорії споживання вважається, що споживач керується принципом рацiональностi: вiн завжди прагне максимізувати свою корисність, i єдине, що його стримує, - це обмежений дохід: max u(x)(1.1) px = M де х=(х1,...,хn)′ – вектор-стовпчик обсягів споживчих товарів, що придбав споживач за заданих цін; n – число різноманітних товарів; u(х) –функція корисності споживача; р = (p1,…,pn) – вектор-рядок цін товарів; М – обсяг доходу споживача. Це задача на умовний екстремум, i її розв’язок зводиться до знаходження безумовного екстремуму функції Лагранжа: L(x,л)=u(x)-л(px-M). Необхідними умовами локального екстремуму є: Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №1 - открытая онлайн библиотека (1.2) Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №2 - открытая онлайн библиотека Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №3 - открытая онлайн библиотека (1.3) Точка екстремуму справді визначає точку максимуму, оскільки матриця Гессе U(х)= Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №4 - открытая онлайн библиотека є вiд’ємно визначеною. З виразу (1.3) бачимо, що споживач за фіксованого доходу так обирає набір Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №5 - открытая онлайн библиотека , що в цій точці відношення граничної корисності дорівнює відношенню цін: Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №6 - открытая онлайн библиотека Якщо розв’язати (1.2), (1.3) відносно Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №5 - открытая онлайн библиотека , отримаємо функцію попиту споживача: Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №8 - открытая онлайн библиотека

Модель Еванса.

Маємо ринок одного товару. Час t вважатимемо неперервним.Позначимо через d = d(t) = F[p(t)], s = s(t) = y[p(t)] інтегрований попит і пропозицію в момент t, а через p(t) - ціну товару в цей момент. У моделі постулюється, що попит і пропозиція є лінійними функціями ціни: F(p) = a – bp, a > 0, b > 0 (попит зі зростанням ціни спадає); y(p) = a + bp, a > 0, b > 0 (пропозиція зі зростанням ціни зростає). Окрім цього, слушно вважати, що a > a (за нульової ціни попит перевищує пропозицію). Основна гіпотеза моделі полягає в тому, що зміна ціни пропорційна перевищенню попиту над пропозицією: Dp = g (d – s)Dt, g > 0. (9.1) Згідно з гіпотезою (9.1) взаємодія споживачів і виробників відбувається таким чином, що ціна, яка відображає цю взаємодію, неперервно пристосовується до ситуації на ринку: за перевищення попиту над пропозицією ціна зростає, у протилежному разі - спадає. Використовуючи зроблені припущення, можна прийти до такого диференційного рівняння щодо ціни: Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №9 - открытая онлайн библиотека (9.2)

Це рівняння має стаціонарну (рівноважну) точку р0 (коли Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №10 - открытая онлайн библиотека ): Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №11 - открытая онлайн библиотека (9.3) З виразу (9.2) видно, що за Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №12 - открытая онлайн библиотека а за Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №13 - открытая онлайн библиотека тому Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №14 - открытая онлайн библиотека (у першому випадку ціна досягає рівноважного значення, зростаючи, а в другому - спадаючи, при цьому рівноважна ціна р0 не залежить від початкової р0). Рівноважна ціна є абсцисою точки перетину прямих попиту і пропозиції, тобто за такої ціни попит дорівнює пропозиції.

Ці висновки отримані без розв’язку рівняння (9.2). Вони будуть такими самими, якщо прямо використати розв’язок цього рівняння: Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №15 - открытая онлайн библиотека

Дискретний аналог моделі Еванса подано на рис. 9.1, де зображені прямі інтегрованого попиту і пропозиції і показано механізм виникнення послідовності pn, що зростає від початкової ціни р0, за якої попит не дорівнює пропозиції. Час розподілено на інтервали Dt, ціна в момент Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №16 - открытая онлайн библиотека дорівнює: Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №17 - открытая онлайн библиотека .

Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №18 - открытая онлайн библиотека

Рис. 9.1. Дискретний аналог моделі Еванса

Модель Вальраса.

Основна ідея Вальраса полягає у тому, щоб за певної системи цін індивідуальні плани (наміри) учасників стали спільними, тобто така система цін забезпечує розподіл ресурсів і продукції на основі розв’язання конфлікту між учасниками. Таку рівноважну ситуацію називають конкурентною рівновагою. У моделі Вальраса розглядається економіка з l споживачами (i = 1, …, l), m виробниками (k = 1, …, m) і n типами товарів (j = 1, …, n). Через p = (p1,…, pn) позначатимемо вектор-рядок цін, а через x = (x1, …, xn)¢ - вектор-стовпчик товарів. Модель Вальраса можна розглядати як формалізацію річного циклу виробництва і розподілу товарів у результаті взаємодії суб’єктів економіки (споживачів і виробників), кожний із яких має свої цілі. Кожен споживач володіє доходом K(p) і має своє поле переваг щодо товарів, яке може бути задане у вигляді індикатора переваг (функції корисності u(x)). Якщо позначити через Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №19 - открытая онлайн библиотека Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №20 - открытая онлайн библиотека множину допустимих наборів товарів, що є доступними споживачеві за цін p, X - область визначення u(x), то функція попиту споживача може бути задана таким чином:

Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №21 - открытая онлайн библиотека (9.4)

тобто функція попиту - це така множина допустимих наборів товарів, кожний із яких (наборів) максимізує корисність споживача за заданого рівня цін p. Припускається, що дохід кожного споживача складається з двох частин: з доходу pbi від продажу початкового запасу товарів bi та доходу li(p) в результаті участі споживача у виробництві, тобто Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №22 - открытая онлайн библиотека

Позначимо через Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №23 - открытая онлайн библиотека вектор-стовпчик витрат-випуску k-го виробника Технологічні можливості фірми визначаються як множина всіх допустимих векторів витрат-випуску Yk. Цю множину називають мно­жиною виробничих можливостей. Під функцією пропозиції фірми розуміють один чи кілька векторів витрат-випуску, котрі за заданих цін p максимізують прибуток: Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №24 - открытая онлайн библиотека Вектор y набуває певних значень із загальноекономічної множини виробничих можливостей:

Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №25 - открытая онлайн библиотека

Розподіл виробництва здійснюється обранням вектора витрат-випуску yk із технологічної множини виробничих можливостей Yk для кожного виробника (k = 1, …, m), сума Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №26 - открытая онлайн библиотека являє собою сукупний (інтегрований) виробничий процес.Такі сукупні процеси утворюють сукупну технологічну множину Y (загальноекономічну множину виробничих можливостей). Сума по всіх споживачах Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №27 - открытая онлайн библиотека становить сукупну початкову власність.Під спільним розподілом виробництва і споживання мають на увазі такий набір векторів споживання і векторів витрат-випуску Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №28 - открытая онлайн библиотека

для якого сукупний попит збігається із сукупною пропозицією, тобто Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №29 - открытая онлайн библиотека (9.7)

Набір Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №30 - открытая онлайн библиотека задає конкурентну рівновагу в моделі Вальраса, якщо:

Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №31 - открытая онлайн библиотека (9.8)

Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №32 - открытая онлайн библиотека (9.9)

Постановка завдання моделювання процесу поведінки споживачів - №33 - открытая онлайн библиотека (9.10)

Тут p* називають вектором конкурентних цін.Співвідношення (9.9), (9.10) іменують законом Вальраса у широкому розумінні, якщо ж у (9.9) має місце рівність, - це закон Вальраса у вузькому розумінні.Таким чином, конкурентна рівновага являє собою сумісний розподіл виробництва та споживання, а сукупний попит у цьому разі не перевищує сукупної пропозиції.