Понятие вариации признака и показатели вариации

Термин «вариация»произошёл от латинского слова variation изменение, колеблемость, различие. Поэтому иногда, исходя из общего толкования этого слова, под вариацией понимают различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности. Однако, в статистике не всякое различие принято называть вариацией.

Под вариациейв статистике понимают такие количественные изменения исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены влиянием действия различных факторов. Данное определение вариации, хоть и неявно, требует, во-первых, задания количественной меры вариации и, во-вторых, выявления действующих на неё факторов.

Средние величины, рассмотренные в параграфе 1.4.2, дают обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но они не показывают строения совокупности, что существенно для её познания. Например, в некоторых случаях отдельные значения признака близко примыкают к средней арифметической и мало от неё отличаются, в таких случаях средняя хорошо представляет всю совокупность. Но чаще отдельные значения признака сильно отличаются от среднего, и тогда среднее значение недостаточно хорошо представляет всю совокупность.

Для измерения вариации применяются различные абсолютные и относительные показатели. К основным абсолютным показателям вариации относятся:

размах вариации Понятие вариации признака и показатели вариации - №1 - открытая онлайн библиотека

среднее линейное отклонение Понятие вариации признака и показатели вариации - №2 - открытая онлайн библиотека

дисперсия Понятие вариации признака и показатели вариации - №3 - открытая онлайн библиотека

среднеквадратическое отклонение Понятие вариации признака и показатели вариации - №4 - открытая онлайн библиотека

Размах вариации (колеблемости) – эторазность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности

Понятие вариации признака и показатели вариации - №5 - открытая онлайн библиотека

Достоинство этого показателя – простота расчёта. Однако, размах вариации зависит только от величин крайних значений признака, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями. В частности, на практике он находит применение в предупредительном контроле качества продукции.

Среднее линейное отклонениевычисляется по следующим формулам:

для несгруппированных данных

Понятие вариации признака и показатели вариации - №6 - открытая онлайн библиотека

для сгруппированных данных

Понятие вариации признака и показатели вариации - №7 - открытая онлайн библиотека

Дисперсияпредставляет собой среднюю квадратов отклонений значений признака от их средней величины и рассчитывается по формулам:

для несгруппированных данных

Понятие вариации признака и показатели вариации - №8 - открытая онлайн библиотека

для сгруппированных данных

Понятие вариации признака и показатели вариации - №9 - открытая онлайн библиотека

Среднеквадратическое отклонениеесть корень квадратный из дисперсии

Понятие вариации признака и показатели вариации - №10 - открытая онлайн библиотека

и даёт обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности.

К основным относительным показателям вариации, называемым показателями относительного рассеяния,относятся:

коэффициент осцилляции Понятие вариации признака и показатели вариации - №11 - открытая онлайн библиотека

относительное линейное отклонение Понятие вариации признака и показатели вариации - №12 - открытая онлайн библиотека

коэффициент вариации Понятие вариации признака и показатели вариации - №13 - открытая онлайн библиотека

Относительные показатели вариации исчисляются в процентах.

Коэффициент осцилляцииотражает относительную колеблемость крайних значений признака от его средней величины

Понятие вариации признака и показатели вариации - №14 - открытая онлайн библиотека

Относительное линейное отклонениехарактеризует долю абсолютных отклонений от средней величины

Понятие вариации признака и показатели вариации - №15 - открытая онлайн библиотека

Коэффициент вариациипредставляет собой основной обобщающий относительный показатель колеблемости всех вариант совокупности, используемый для оценки типичности средних величин

Понятие вариации признака и показатели вариации - №16 - открытая онлайн библиотека

1.6.2. Дисперсия, её математические свойства и способы расчёта

Дисперсия наряду со среднеквадратическим отклонением являются мерилом надёжности средней величины. Чем меньше дисперсия и среднеквадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую ею совокупность.

Дисперсия обладает рядом свойств (доказываемых в математической статистике), которые часто позволяют упростить расчёты. Эти свойства следующие:

1. Если из всех значений вариант отнять какое-либо постоянное число Понятие вариации признака и показатели вариации - №17 - открытая онлайн библиотека то дисперсия от этого не изменится.

Понятие вариации признака и показатели вариации - №18 - открытая онлайн библиотека

2. Если все значения вариант разделить на какое-либо постоянную число Понятие вариации признака и показатели вариации - №17 - открытая онлайн библиотека то дисперсия уменьшится от этого в Понятие вариации признака и показатели вариации - №20 - открытая онлайн библиотека раз.

Понятие вариации признака и показатели вариации - №21 - открытая онлайн библиотека

3. Средний квадрат отклонений от любой величины Понятие вариации признака и показатели вариации - №17 - открытая онлайн библиотека отличной от средней арифметической Понятие вариации признака и показатели вариации - №23 - открытая онлайн библиотека всегда больше дисперсии, причём

Понятие вариации признака и показатели вариации - №24 - открытая онлайн библиотека или Понятие вариации признака и показатели вариации - №25 - открытая онлайн библиотека

Используя свойства дисперсии, её можно вычислить упрощёнными способами без привлечения формулы, определяющей дисперсию. Из последней формулы в случае, когда Понятие вариации признака и показатели вариации - №26 - открытая онлайн библиотека следует

Понятие вариации признака и показатели вариации - №27 - открытая онлайн библиотека

т. е. дисперсия равна разности среднего квадрата признака минус квадрат среднего значения признака. В статистике величины Понятие вариации признака и показатели вариации - №28 - открытая онлайн библиотека и Понятие вариации признака и показатели вариации - №29 - открытая онлайн библиотека называют начальными моментами второго и первого порядка, соответственно.

Способ расчёта дисперсии по формуле

Понятие вариации признака и показатели вариации - №30 - открытая онлайн библиотека

называется способом моментов.

В случае расчёта дисперсии интервального вариационного ряда при условии равных интервалов применяется модифицированный способ моментов, или способ отсчёта от условного нуля. Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала Понятие вариации признака и показатели вариации - №31 - открытая онлайн библиотека , получим

Понятие вариации признака и показатели вариации - №32 - открытая онлайн библиотека