Коэффициенты приведения и наращения рент

Рента постнумерандо

Финансовый поток постоянной ренты постнумерандо можно записать в виде:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №1 - открытая онлайн библиотека

где R – размер платежей.

Графическое представление постоянной годовой ренты постнумерандо приведено на рис. 2.2.

Коэффициенты приведения и наращения рент - №2 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.2. Конечная годовая постоянная рента постнумерандо

Найдем современную стоимость ренты Коэффициенты приведения и наращения рент - №3 - открытая онлайн библиотека постнумерандо. В соответствии с формулой (2.2) получим:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №4 - открытая онлайн библиотека (2.4)

В правой части равенства (2.4) имеем сумму членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №5 - открытая онлайн библиотека и первым членом Коэффициенты приведения и наращения рент - №6 - открытая онлайн библиотека Сумма n-членов геометрической прогрессии определяется формулой:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №7 - открытая онлайн библиотека (2.5)

С учетом значений а1 и q для современной стоимости ренты постнумерандо получим:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №8 - открытая онлайн библиотека (2.6)

Множитель при R называют коэффициентом приведения ренты и обозначают Коэффициенты приведения и наращения рент - №9 - открытая онлайн библиотека :

Коэффициенты приведения и наращения рент - №10 - открытая онлайн библиотека (2.7)

Наращенная конечная сумма ренты обозначается Коэффициенты приведения и наращения рент - №11 - открытая онлайн библиотека и определяется суммой (2.3):

Коэффициенты приведения и наращения рент - №12 - открытая онлайн библиотека

Данная сумма является суммой n-членов возрастающей геометрической прогрессии со знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №13 - открытая онлайн библиотека и первым членом R. В соответствии с формулой (2.5) получим:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №14 - открытая онлайн библиотека (2.8)

Множитель при R называют коэффициентом наращения и обозначают Коэффициенты приведения и наращения рент - №15 - открытая онлайн библиотека :

Коэффициенты приведения и наращения рент - №16 - открытая онлайн библиотека (2.9)

Из сравнения формул (2.7) и (2.9) следует:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №17 - открытая онлайн библиотека (2.10)

Коэффициенты приведения Коэффициенты приведения и наращения рент - №9 - открытая онлайн библиотека и наращения Коэффициенты приведения и наращения рент - №15 - открытая онлайн библиотека зависят только от процентной ставки i и срока ренты n.

Из формулы (2.10) можно записать соотношение между конечной S и современной А стоимостью ренты постнумерандо:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №20 - открытая онлайн библиотека (2.11)

Рента пренумерандо

Финансовый поток годовой постоянной ренты пренумерандо можно записать в виде:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №21 - открытая онлайн библиотека

Графическое представление ренты пренумерандо приведено на рис. 2.3.

Коэффициенты приведения и наращения рент - №22 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.3. Конечная годовая постоянная рента пренумерандо

Найдем современную стоимость ренты пренумерандо Коэффициенты приведения и наращения рент - №23 - открытая онлайн библиотека . В соответствии с формулой (2.2) получим:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №24 - открытая онлайн библиотека

Современная стоимость ренты пренумерандо определяется как сумма n-членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №25 - открытая онлайн библиотека и первым членом Коэффициенты приведения и наращения рент - №26 - открытая онлайн библиотека С учетом значений Коэффициенты приведения и наращения рент - №27 - открытая онлайн библиотека формулы (2.5) для современной стоимости ренты пренумерандо получим:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №28 - открытая онлайн библиотека (2.12)

Коэффициент приведения ренты пренумерандо определяется по формуле:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №29 - открытая онлайн библиотека (2.13)

Наращенная сумма ренты пренумерандо в соответствии с формулой (2.3), определяется суммой:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №30 - открытая онлайн библиотека

В правой части данного равенства имеем сумму n-членов возрастающей геометрической прогрессии со знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №13 - открытая онлайн библиотека и первым членом Коэффициенты приведения и наращения рент - №32 - открытая онлайн библиотека . С учетом формулы (2.5) для конечной, наращенной суммы ренты пренумерандо получим:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №33 - открытая онлайн библиотека (2.14)

Множитель при R является коэффициентом наращения ренты пренумерандо:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №34 - открытая онлайн библиотека (2.15)

Из формул (2.13) и (2.15) видно, что соотношение между коэффициентами наращения Коэффициенты приведения и наращения рент - №35 - открытая онлайн библиотека и приведения Коэффициенты приведения и наращения рент - №36 - открытая онлайн библиотека определяется формулой аналогичной формуле (2.10):

Коэффициенты приведения и наращения рент - №37 - открытая онлайн библиотека (2.16)

Аналогичной формулой определяется соотношение между конечной наращенной Коэффициенты приведения и наращения рент - №38 - открытая онлайн библиотека и современной стоимостью Коэффициенты приведения и наращения рент - №39 - открытая онлайн библиотека ренты пренумерандо

Коэффициенты приведения и наращения рент - №40 - открытая онлайн библиотека (2.17)

Из сравнения формул (2.6) и (2.12) можно выявить связь между современными стоимостями рент пренумерандо и постнумерандо:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №41 - открытая онлайн библиотека (2.18)

Из сравнения формул (2.8) и (2.14) следует аналогичная формула для соотношения конечных наращенных стоимостей рассматриваемых рент:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №42 - открытая онлайн библиотека (2.19)

Аналогичные соотношения можно получить для коэффициентов наращения и приведения рент постнумерандо и пренумерандо:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №43 - открытая онлайн библиотека (2.20)

Срочные ренты

Срочной называется рента, когда рентный платеж R производится не единовременно, один раз в год, а разбит на r одинаковых платежей совершаемых r раз в год через равные промежутки времени.

Финансовый поток r-срочной ренты постнумерандо можно записать в виде:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №44 - открытая онлайн библиотека

Графическое представление r-срочной ренты постнумерандо при r = 4 приведено на рис. 2.4:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №45 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.4. r-срочная рента постнумерандо

Найдем современную стоимость r-срочной ренты постнумерандо когда дисконтирование платежей осуществляется по схеме сложных процентов, то есть множитель дисконтирования за один период 1/r будет равен (1 + i)-1/r. С учетом данного множителя дисконтирования и формулы (2.3) для современной стоимости r-срочной ренты постнумерандо получим

Коэффициенты приведения и наращения рент - №46 - открытая онлайн библиотека

В правой части данного равенства имеем nr-членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №47 - открытая онлайн библиотека и первым членом Коэффициенты приведения и наращения рент - №48 - открытая онлайн библиотека с учетом формулы ( ) для современной стоимости r-срочной ренты постнумерандо получим

Коэффициенты приведения и наращения рент - №49 - открытая онлайн библиотека (2.21)

Коэффициент приведения определяется множителем при R

Коэффициенты приведения и наращения рент - №50 - открытая онлайн библиотека (2.22)

Конечная, наращенная стоимость r-срочной ренты в соответствии с формулой (2.4) определится суммой

Коэффициенты приведения и наращения рент - №51 - открытая онлайн библиотека

Данная сумма записана в обратном порядке, т. е. первым слагаемым является последний платеж, вторым слагаемым – предпоследний платеж, а последнее слагаемое определяется первый платеж с учетом его множителя наращения за nr-1 периодов. В правой части данного равенства имеем сумму nr-членов возрастающей по геометрической прогрессии со знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №52 - открытая онлайн библиотека и первым членом Коэффициенты приведения и наращения рент - №53 - открытая онлайн библиотека с учетом формулы (2.5) для конечной, наращенной стоимости r-срочной ренты получим

Коэффициенты приведения и наращения рент - №54 - открытая онлайн библиотека (2.23)

Коэффициент наращения r-срочной ренты постнумерандо определяется формулой

Коэффициенты приведения и наращения рент - №55 - открытая онлайн библиотека (2.24)

Из сравнения формул (2.21) с (2.23) и (2.22) с (2.24) видно, что между современной и конечной стоимостями, а также между коэффициентами приведения и наращения r-срочной ренты постнумерандо справедливы формулы.

Коэффициенты приведения и наращения рент - №56 - открытая онлайн библиотека (2.25)

Получим формулы для расчета современной и конечной стоимостей r-срочной ренты пренумерандо. Финансовый поток для данной ренты можно записать в виде

Коэффициенты приведения и наращения рент - №57 - открытая онлайн библиотека

Современная стоимость r-срочной ренты пренумерандо с учетом формулы (2.3) может быть записана в виде суммы

Коэффициенты приведения и наращения рент - №58 - открытая онлайн библиотека

В правой части равенства имеем сумму nr-членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №59 - открытая онлайн библиотека и первым членом Коэффициенты приведения и наращения рент - №53 - открытая онлайн библиотека , которая с учетом формулы (2.5) может быть записана в виде

Коэффициенты приведения и наращения рент - №61 - открытая онлайн библиотека (2.26)

Коэффициент приведения r-срочной ренты пренумерандо, являющийся множителем при R определяется формулой

Коэффициенты приведения и наращения рент - №62 - открытая онлайн библиотека (2.27)

Конечная стоимость r-срочной ренты пренумерандо с учетом формулы (2.4) может быть записана в виде

Коэффициенты приведения и наращения рент - №63 - открытая онлайн библиотека

В данной формуле первое слагаемое определяет значение платежа Коэффициенты приведения и наращения рент - №64 - открытая онлайн библиотека , совершаемое в момент времени Коэффициенты приведения и наращения рент - №65 - открытая онлайн библиотека пересчитанное к окончанию срока ренты, а последнее слагаемое определяет значение платежа Коэффициенты приведения и наращения рент - №64 - открытая онлайн библиотека , пересчитанное за nr периодов к окончанию срока ренты. Правая часть данного равенства является возрастающей геометрической прогрессией со знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №67 - открытая онлайн библиотека , первым членом Коэффициенты приведения и наращения рент - №68 - открытая онлайн библиотека и ее сумма определяется формулой

Коэффициенты приведения и наращения рент - №69 - открытая онлайн библиотека (2.28)

Коэффициент наращения r-срочной ренты пренумерандо будет равен

Коэффициенты приведения и наращения рент - №70 - открытая онлайн библиотека (2.29)

Взаимосвязь между современной и конечной стоимостями, а также между коэффициентами наращения и приведения r-срочной ренты пренумерандо определяется аналогично (2.25)

Коэффициенты приведения и наращения рент - №71 - открытая онлайн библиотека (2.30)

При сравнении стоимостных показателей r-срочных рент постнумерандо и пренумерандо получим формулы

Коэффициенты приведения и наращения рент - №72 - открытая онлайн библиотека (2.31)

2.4. Расчет r-срочной ренты при погашении кредита

Рассмотрим применение формул для определения стоимости r-срочной ренты при расчете графика аннуитета в погашении задолженности по кредиту. Расчет будем проводить для следующих условий. В банке взят кредит на сумму D рублей под годовую процентную ставку i сроком на n лет. Погашение кредита осуществляется r-раз в год равными платежами размером Rr рублей.

В сумму платежа входят платеж в погашение тела кредита Коэффициенты приведения и наращения рент - №73 - открытая онлайн библиотека и проценты за пользование кредитом Коэффициенты приведения и наращения рент - №74 - открытая онлайн библиотека . Сумма кредита D выплачивается ссудозаемщику единовременно в день подписания кредитного договора. Поток платежей в погашение кредита является r-срочной рентой постнумерандо.

Так как сумма кредита D выплачивается в момент времени t0, то эта сумма, по сути, равна современной стоимости r-срочной ренты выплачиваемой в погашение кредита

Коэффициенты приведения и наращения рент - №75 - открытая онлайн библиотека (2.32)

где Коэффициенты приведения и наращения рент - №76 - открытая онлайн библиотека - размер разового платежа.

Коэффициенты приведения и наращения рент - №77 - открытая онлайн библиотека (2.33)

В соответствии с формулой (1.8) определим сумму процентов П1, выплачиваемых банку за пользование кредитом в сумме D рублей за время 1/r лет до первого платежа

Коэффициенты приведения и наращения рент - №78 - открытая онлайн библиотека (2.34)

Сумма Коэффициенты приведения и наращения рент - №79 - открытая онлайн библиотека , выплачиваемая в погашение тела кредита, будет равна

Коэффициенты приведения и наращения рент - №80 - открытая онлайн библиотека (2.35)

Тогда сумма задолженности по кредиту после первого платежа составит

Коэффициенты приведения и наращения рент - №81 - открытая онлайн библиотека (2.36)

Сумма процентов П2, выплачиваемых за пользование кредитом при втором платеже будет равна

Коэффициенты приведения и наращения рент - №82 - открытая онлайн библиотека (2.37)

Сумма Коэффициенты приведения и наращения рент - №83 - открытая онлайн библиотека , выплачиваемая в погашение тела кредита при втором платеже определится разностью

Коэффициенты приведения и наращения рент - №84 - открытая онлайн библиотека

а задолженность по кредиту после второго платежа определится формулой

Коэффициенты приведения и наращения рент - №85 - открытая онлайн библиотека (2.38)

Сумма процентов Пk, выплачиваемых за пользование кредитом при k-том платеже, и задолженность по кредиту после k-того платежа Dk определяется формулами

Коэффициенты приведения и наращения рент - №86 - открытая онлайн библиотека (2.39)

Общее число платежей в погашение кредита равно nr. Размер последнего платежа Rnr должен полностью погасить задолженность по кредиту и проценты за пользование кредитом.

Задолженность по телу кредита перед последним платежом будет равна

Коэффициенты приведения и наращения рент - №87 - открытая онлайн библиотека (2.40)

Проценты по кредиту Пnr и размер последнего платежа определяются формулами

Коэффициенты приведения и наращения рент - №88 - открытая онлайн библиотека (2.41)

В результате проведенных расчетов общая сумма уплаченных процентов за пользование кредитом будет равна

Коэффициенты приведения и наращения рент - №89 - открытая онлайн библиотека

и должны соблюдаться следующие равенства

Коэффициенты приведения и наращения рент - №90 - открытая онлайн библиотека (2.42)

Проведем расчет графика платежей в погашение кредита на конкретном примере:

Пример 2.1. В коммерческом банке взят потребительский кредит на сумму 100 тыс. руб. сроком на один год (n = 1) под 20 % годовых (i = 0,2). Погашение кредита осуществляется четырьмя (r = 4) ежеквартальными платежами. Рассчитать график платежей в погашение кредита.

Решение. По формуле (2.33) определяем размер разового квартального платежа

Коэффициенты приведения и наращения рент - №91 - открытая онлайн библиотека руб.

По формулам (2.34), (2.35) и (2.36) рассчитываем суммы выплачиваемые в погашение процентов по кредиту П1, тела кредита Коэффициенты приведения и наращения рент - №79 - открытая онлайн библиотека и задолженность по кредиту после первого платежа

Коэффициенты приведения и наращения рент - №93 - открытая онлайн библиотека

По формулам (2.39) рассчитываем аналогичные параметры графика платежей при k = 2 и 3.

Коэффициенты приведения и наращения рент - №94 - открытая онлайн библиотека

Коэффициенты приведения и наращения рент - №95 - открытая онлайн библиотека

Для последнего четвертого платежа параметры графика платежей по кредиту рассчитываем по формулам (2.40)

Коэффициенты приведения и наращения рент - №96 - открытая онлайн библиотека

Результаты расчета графика платежей сведены в табл. 2.1.

Приведенные выше формулы и расчеты справедливы, когда банк рассчитывает доходность по кредиту по схеме сложных процентов.

Таблица 2.1

№ платежа Размер платежа, руб. Погашение кредита, руб. Проценты за кредит, руб. Текущая задолженность по кредиту, руб.
27981,09 23317,57 4663,52 76682,43
27981,09 24404,99 3576,10 52277,44
27981,09 25543,12 2437,97 26734,32
27981,09 26734,32 1246,76
Итого 111924,36 11924,36

Пример 2.1а. Для сравнения приведем результаты расчетов графика платежей, когда процентные доходы по кредиту банк рассчитывает не по формуле (2.34), а по процентной ставке ir, пересчитанной к временному интервалу между платежами

Коэффициенты приведения и наращения рент - №97 - открытая онлайн библиотека (2.43)

где i – годовая процентная ставка;

r – количество платежей в году.

В этом случае для расчета размера разовых платежей нужно использовать формулу (2.6):

Коэффициенты приведения и наращения рент - №98 - открытая онлайн библиотека (2.44)

Приведем расчет графика платежей по кредиту при ставке доходности определяемой формулой (2.43) для условий кредитования указанных в рассматриваемом примере.

Определим размер разовых платежей

Коэффициенты приведения и наращения рент - №99 - открытая онлайн библиотека

Определяем сумму процентов П1, уплачиваемых за пользование кредитом, и сумму Коэффициенты приведения и наращения рент - №79 - открытая онлайн библиотека , выплачиваемую в погашение тела кредита, при первом платеже

Коэффициенты приведения и наращения рент - №101 - открытая онлайн библиотека

Сумма задолженности по кредиту после первого платежа будет равна

Коэффициенты приведения и наращения рент - №102 - открытая онлайн библиотека

Рассчитываем суммы Пк, ∆Dk и Dk на втором k = 2 и третьем k = 3 платеже

Коэффициенты приведения и наращения рент - №103 - открытая онлайн библиотека

Коэффициенты приведения и наращения рент - №104 - открытая онлайн библиотека

При четвертом платеж процентные доходы банка составят

Коэффициенты приведения и наращения рент - №105 - открытая онлайн библиотека

а размер четвертого платежа будет равен

Коэффициенты приведения и наращения рент - №106 - открытая онлайн библиотека

Результаты расчетов приведены в табл. 2.1 (под диагональной чертой). Из сравнения результатов расчета видно, что для банка выгоднее когда процентные доходы банка начисляются по ставке, определяющейся формулой (2.43). Банковская методика расчета графика платежей по кредиту совпадает с методикой, приведенной в примере 2.1.

Валютные кредиты

Рассмотрим возможные схемы валютных операций при кредитовании и погашении кредитов. Первая схема, имеющая печальные последствия на рубеже 2014-2015 годов, характерная для ипотечного кредитования.

I. Потенциальному ссудозаемщику необходима некоторая сумма в рублях DR. Для получения ссудозаемщик решил взять кредит в иностранной валюте под годовую процентную ставку jB на сумму Коэффициенты приведения и наращения рент - №107 - открытая онлайн библиотека где Коэффициенты приведения и наращения рент - №108 - открытая онлайн библиотека - обменный курс валюты в рубли на момент заключения кредитного договора. Погашение кредита осуществляется постоянными платежами r-раз в год в валюте кредита RB. Ссудозаемщик имеет только рублевые доходы и погашение валютных платежей он осуществляет за счет рублевых доходов, конвертируя их в валюту по обменному курсу Коэффициенты приведения и наращения рент - №109 - открытая онлайн библиотека на очередной k-тый момент оплаты кредита.

Результаты данной финансовой операции целесообразно сравнивать с примером, рассмотренным в п. 2.4 при рублевом кредитовании.

Для сопоставимости результатов кредитования по данной схеме и с примером, рассмотренным в п. 2.4 примем следующие условия предоставления валютного кредита.

Размер валютного кредита DВ определяется из условия эквивалентности его 100 тыс. руб. на момент заключения кредитного договора при курсе обмена валюты в рубли Коэффициенты приведения и наращения рент - №110 - открытая онлайн библиотека Кредитный договор заключается на один год под годовую процентную ставку jB = 8 % годовых. Погашение кредита осуществляется четырьмя ежеквартальными платежами r = 4. Будем считать, что обменный курс валюты за срок кредитного договора изменяется линейно (см. рис. 2.5)

Коэффициенты приведения и наращения рент - №111 - открытая онлайн библиотека (2.45)

где Коэффициенты приведения и наращения рент - №112 - открытая онлайн библиотека - номер очередного платежа в погашение валютного кредита;

Коэффициенты приведения и наращения рент - №113 - открытая онлайн библиотека - скорость нарастания или убывания обменного курса валюты.

Расчеты для приведенных выше условий дают следующие результаты:

1) Размер валютного кредита

Коэффициенты приведения и наращения рент - №114 - открытая онлайн библиотека ?.

2) Для упрощения расчетов размер ежеквартальных платежей будем определять по методике, рассмотренной в примере 2.1а.

Коэффициенты приведения и наращения рент - №115 - открытая онлайн библиотека ?.

3) Размер ежеквартальных платежей в российских рублях, при скорости нарастания обменного курса валюты Коэффициенты приведения и наращения рент - №116 - открытая онлайн библиотека руб./квартал

Коэффициенты приведения и наращения рент - №117 - открытая онлайн библиотека руб.

Коэффициенты приведения и наращения рент - №118 - открытая онлайн библиотека руб.

Коэффициенты приведения и наращения рент - №119 - открытая онлайн библиотека руб.

Коэффициенты приведения и наращения рент - №120 - открытая онлайн библиотека руб.

4) Общая сумма в рублях затраченная на погашение валютного кредита

Коэффициенты приведения и наращения рент - №121 - открытая онлайн библиотека руб.

5) Общая сумма в рублях, затраченная на погашение кредита Коэффициенты приведения и наращения рент - №122 - открытая онлайн библиотека имеет линейную зависимость от δ

Коэффициенты приведения и наращения рент - №123 - открытая онлайн библиотека

6) Построим график зависимости Коэффициенты приведения и наращения рент - №124 - открытая онлайн библиотека от δ. Для этого рассчитаем Коэффициенты приведения и наращения рент - №124 - открытая онлайн библиотека при δ = 0

Коэффициенты приведения и наращения рент - №126 - открытая онлайн библиотека руб.

Зависимость Коэффициенты приведения и наращения рент - №124 - открытая онлайн библиотека от δ приведена на рис. 2.5. на этом же рисунке отмечена сумма, уплаченная в погашение рублевого кредита D = 100 тыс. руб. Коэффициенты приведения и наращения рент - №128 - открытая онлайн библиотека руб. (см. табл. 2.1).

Из рис. 2.5 можно сделать следующий вывод. При линейном нарастании обменного курса валюты (2.45) за срок кредитования валютный кредит оказывается выгоднее при скорости изменения обменного курса валюты Коэффициенты приведения и наращения рент - №129 - открытая онлайн библиотека При Коэффициенты приведения и наращения рент - №130 - открытая онлайн библиотека рублевая сумма, уплаченная в погашение валютного кредита Коэффициенты приведения и наращения рент - №131 - открытая онлайн библиотека (рис. 2.5) оказывается больше Коэффициенты приведения и наращения рент - №128 - открытая онлайн библиотека руб. суммы уплаченной в погашение рублевого кредита.

Коэффициенты приведения и наращения рент - №133 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.5. Зависимость Коэффициенты приведения и наращения рент - №134 - открытая онлайн библиотека от δ

Рассмотрим другие схемы валютного кредитования.

II. Потенциальный ссудозаемщик осуществляет внешнеэкономическую деятельность от которой получает валютные доходы. Для продолжения ВЭД ссудозаемщику нужен кредит в размере Коэффициенты приведения и наращения рент - №135 - открытая онлайн библиотека ?. Эта сумма может быть получена:

а) непосредственно в валюте под ставку валютного кредита Коэффициенты приведения и наращения рент - №136 - открытая онлайн библиотека годовых;

б) по рублевому кредиту по ставке Коэффициенты приведения и наращения рент - №137 - открытая онлайн библиотека годовых при сумме рублевого кредита Коэффициенты приведения и наращения рент - №138 - открытая онлайн библиотека и курсе обмена валюты Коэффициенты приведения и наращения рент - №139 - открытая онлайн библиотека руб.

В обоих случаях срок кредитования один год, кредит гасится ежеквартальными платежами из валютных доходов ссудозаемщика.

Определить какой из видов кредитования (по схеме а или по схеме б) выгоднее при линейном изменении обменного курса валюты за срок кредитования.

Рассчитаем размер ежеквартальных платежей при кредитовании по схеме а

Коэффициенты приведения и наращения рент - №140 - открытая онлайн библиотека ?.

Рассчитаем данные по ежеквартальным платежам

1-й платеж Коэффициенты приведения и наращения рент - №141 - открытая онлайн библиотека ?

Коэффициенты приведения и наращения рент - №142 - открытая онлайн библиотека ?

Коэффициенты приведения и наращения рент - №143 - открытая онлайн библиотека ?

2-й платеж Коэффициенты приведения и наращения рент - №144 - открытая онлайн библиотека ?

Коэффициенты приведения и наращения рент - №145 - открытая онлайн библиотека ?

Коэффициенты приведения и наращения рент - №146 - открытая онлайн библиотека ?

3-й платеж Коэффициенты приведения и наращения рент - №147 - открытая онлайн библиотека ?

Коэффициенты приведения и наращения рент - №148 - открытая онлайн библиотека ?

Коэффициенты приведения и наращения рент - №149 - открытая онлайн библиотека ?

4-й платеж Коэффициенты приведения и наращения рент - №150 - открытая онлайн библиотека ?

Коэффициенты приведения и наращения рент - №151 - открытая онлайн библиотека ?

Коэффициенты приведения и наращения рент - №152 - открытая онлайн библиотека ?

Суммарные валютные выплаты в погашении валютного кредита составят

Коэффициенты приведения и наращения рент - №153 - открытая онлайн библиотека ?.

То есть переплата по кредиту будет равна

Коэффициенты приведения и наращения рент - №154 - открытая онлайн библиотека ?

и эффективная процентная ставка по кредиту составляет

Коэффициенты приведения и наращения рент - №155 - открытая онлайн библиотека

Рассчитаем график платежей Коэффициенты приведения и наращения рент - №156 - открытая онлайн библиотека вносимых из валютных доходов в погашение рублевого кредита (схема б).

Рассчитаем размер необходимого рублевого кредита

Коэффициенты приведения и наращения рент - №157 - открытая онлайн библиотека руб.

Рассчитываем размер ежеквартальных рублей платежей RR

Коэффициенты приведения и наращения рент - №158 - открытая онлайн библиотека руб.

Расчет графика платежей по данному кредиту приведен на стр. ____.

Так как рублевый кредит гасится из валютных доходов рассчитаем сумму ежеквартальных выплат в валюте с учетом формулы (2.45) при Коэффициенты приведения и наращения рент - №159 - открытая онлайн библиотека руб./квартал

Коэффициенты приведения и наращения рент - №160 - открытая онлайн библиотека ?

Коэффициенты приведения и наращения рент - №161 - открытая онлайн библиотека ?

Коэффициенты приведения и наращения рент - №162 - открытая онлайн библиотека ?

Коэффициенты приведения и наращения рент - №163 - открытая онлайн библиотека ?.

Суммарные валютные выплаты на погашение рублевого кредита составят Коэффициенты приведения и наращения рент - №164 - открытая онлайн библиотека ?.

Аналогичным образом рассчитаем суммарные валютные выплаты Коэффициенты приведения и наращения рент - №165 - открытая онлайн библиотека на погашение рублевого кредита при других значениях Коэффициенты приведения и наращения рент - №166 - открытая онлайн библиотека и построим график зависимости Коэффициенты приведения и наращения рент - №167 - открытая онлайн библиотека (см. рис. 2.6).

Коэффициенты приведения и наращения рент - №168 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.6. График зависимости Коэффициенты приведения и наращения рент - №169 - открытая онлайн библиотека

На рис. 2.6 отмечено также значение суммарных валютных выплат по погашению валютного кредита Коэффициенты приведения и наращения рент - №170 - открытая онлайн библиотека ?. Из графика видно, что при Коэффициенты приведения и наращения рент - №171 - открытая онлайн библиотека выгоднее оказывается получение валютного кредита по схеме "б", а при Коэффициенты приведения и наращения рент - №172 - открытая онлайн библиотека суммарные валютные выплаты по рублевому кредиту оказываются меньше чем валютный размер кредита Коэффициенты приведения и наращения рент - №173 - открытая онлайн библиотека ?.

2.6. Годовая и срочная ренты при m-кратном начислении процентов

Для годовой ренты постнумерандо при m-кратном начислении сложных процентов формулу (2.4) для современной стоимости ренты можно записать в виде

Коэффициенты приведения и наращения рент - №174 - открытая онлайн библиотека

Коэффициенты приведения и наращения рент - №175 - открытая онлайн библиотека

где iэф – определяется формулой (1.11).

Данная сумма является геометрической прогрессией с первым членом Коэффициенты приведения и наращения рент - №176 - открытая онлайн библиотека и знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №177 - открытая онлайн библиотека

Отсюда для современной стоимости годовой ренты с m-кратным начислением процентов по аналогии с формулой (2.6) получим

Коэффициенты приведения и наращения рент - №178 - открытая онлайн библиотека (2.46)

Из сравнения формул (2.46) и (2.6) видно, что формула (2.46) получается из формулы (2.6) путем замены в ней годовой процентной ставки i на эффективную годовую процентную ставку iэф при m-кратном начислении процентов (1.11). Коэффициент приведения для данной ренты будет равен

Коэффициенты приведения и наращения рент - №179 - открытая онлайн библиотека (2.47)

Аналогично для конечной стоимости годовой ренты с m-кратным начислением процентов и коэффициента наращения можно получить формулы

Коэффициенты приведения и наращения рент - №180 - открытая онлайн библиотека (2.48)

Для ренты пренумерандо с m-кратным начислением процентов справедливы формулы

Коэффициенты приведения и наращения рент - №181 - открытая онлайн библиотека (2.49)

Для современной и конечной стоимости r-срочной ренты постнумерандо с m-кратным начислением процентов можно получить формулы

Коэффициенты приведения и наращения рент - №182 - открытая онлайн библиотека

Коэффициенты приведения и наращения рент - №183 - открытая онлайн библиотека (2.50)

При m = r формулы (2.50) преобразуются к виду

Коэффициенты приведения и наращения рент - №184 - открытая онлайн библиотека (2.51)

При вычислении современной и конечной стоимостей ренты пренумерандо формулы (2.50) и (2.51) необходимо умножить на Коэффициенты приведения и наращения рент - №185 - открытая онлайн библиотека .

Арифметическая рента

В арифметической ренте величина периодических платежей представляет собой арифметическую прогрессию. Поток платежей арифметической ренты постнумерандо можно записать в виде

Коэффициенты приведения и наращения рент - №186 - открытая онлайн библиотека

где Q – разность арифметической прогрессии. Величина Q характеризует на сколько каждый последующий платеж отличается от предыдущего.

При Q > 0 арифметическая прогрессия будет возрастающей при Q < 0 – убывающей.

Определим современную А и конечную, наращенную S стоимости арифметической ренты.

Приведенная, современная стоимость арифметической ренты определяется суммой:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №187 - открытая онлайн библиотека (2.52)

Первая сумма в (2.52) определяется формулой (2.6). Вторая сумма в (2.52) может быть записана в виде

Коэффициенты приведения и наращения рент - №188 - открытая онлайн библиотека (2.53)

где Коэффициенты приведения и наращения рент - №189 - открытая онлайн библиотека

Вторая сумма в (2.52) может быть преобразована к виду

Коэффициенты приведения и наращения рент - №190 - открытая онлайн библиотека (2.54)

С учетом формулы (2.6) и (2.54) современная стоимость арифметической ренты постнумерандо определится формулой

Коэффициенты приведения и наращения рент - №191 - открытая онлайн библиотека (2.55)

где коэффициент приведения Коэффициенты приведения и наращения рент - №192 - открытая онлайн библиотека определяется формулой (2.7). На рис. 2.7 приведен график зависимости современной стоимости арифметической ренты от отношения Коэффициенты приведения и наращения рент - №193 - открытая онлайн библиотека для двух значений процентной ставки дисконтирования i и при n = 4.

Коэффициенты приведения и наращения рент - №194 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.7

Конечная наращенная стоимость арифметической ренты определяется суммой

Коэффициенты приведения и наращения рент - №195 - открытая онлайн библиотека

С учетом формулы (2.55) для конечной стоимости арифметической ренты получим

Коэффициенты приведения и наращения рент - №196 - открытая онлайн библиотека (2.56)

где коэффициент наращения Коэффициенты приведения и наращения рент - №197 - открытая онлайн библиотека определяется формулой (2.9).

Для современной и конечной стоимостей арифметической ренты пренумерандо аналогично формулам (2.18) и (2.19) можно записать:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №198 - открытая онлайн библиотека

Для r-срочной арифметической ренты постнумерандо поток платежей показан на рис. 2.4, в котором размер k-того платежа равен Коэффициенты приведения и наращения рент - №199 - открытая онлайн библиотека а количество платежей равно Коэффициенты приведения и наращения рент - №200 - открытая онлайн библиотека Коэффициенты приведения и наращения рент - №201 - открытая онлайн библиотека Современная стоимость r-срочной арифметической ренты определится суммой

Коэффициенты приведения и наращения рент - №202 - открытая онлайн библиотека (2.57)

Первая сумма в (2.57) является убывающей геометрической прогрессией со знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №203 - открытая онлайн библиотека первым членом Коэффициенты приведения и наращения рент - №204 - открытая онлайн библиотека и определяется формулой (2.21).

Вторая сумма в (2.57) является арифметико-геометрической прогрессией со знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №205 - открытая онлайн библиотека и в соответствии с формулой (2.53) может быть преобразована к виду:

Коэффициенты приведения и наращения рент - №206 - открытая онлайн библиотека (2.58)

В соответствии с формулами (2.21) и (2.58) для современной стоимости арифметической ренты постнумерандо получим формулу

Коэффициенты приведения и наращения рент - №207 - открытая онлайн библиотека (2.59)

где коэффициент приведения Коэффициенты приведения и наращения рент - №208 - открытая онлайн библиотека определяется формулой (2.22).

Конечная, наращенная стоимость r-срочной арифметической ренты постнумерандо определится формулой

Коэффициенты приведения и наращения рент - №209 - открытая онлайн библиотека (2.60)

где коэффициент приведения Коэффициенты приведения и наращения рент - №210 - открытая онлайн библиотека определяется формулой (2.24).

Геометрическая рента

Геометрической называется рента, в которой каждый последующий платеж отличается в Коэффициенты приведения и наращения рент - №211 - открытая онлайн библиотека раз по отношению к предыдущему, т. е.

Коэффициенты приведения и наращения рент - №212 - открытая онлайн библиотека

Поток платежей такой ренты постнумерандо можно записать в виде

Коэффициенты приведения и наращения рент - №213 - открытая онлайн библиотека

Размеры платежей в данном потоке представляют собой геометрическую прогрессию со знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №214 - открытая онлайн библиотека а параметр Коэффициенты приведения и наращения рент - №215 - открытая онлайн библиотека является темпом прироста платежей, он определяет процентную долю, на которую отличается каждый последующий платеж от предыдущего.

Современная стоимость такой ренты равна сумме диконтированных платежей

Коэффициенты приведения и наращения рент - №216 - открытая онлайн библиотека (2.61)

Современная стоимость Коэффициенты приведения и наращения рент - №217 - открытая онлайн библиотека является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №218 - открытая онлайн библиотека и первым членом Коэффициенты приведения и наращения рент - №219 - открытая онлайн библиотека С учетом формулы (2.5) для современной стоимости геометрической ренты постнумерандо получим

Коэффициенты приведения и наращения рент - №220 - открытая онлайн библиотека (2.62)

Формула (2.62) может использоваться только при Коэффициенты приведения и наращения рент - №221 - открытая онлайн библиотека При Коэффициенты приведения и наращения рент - №222 - открытая онлайн библиотека формула (2.61) преобразуется к виду

Коэффициенты приведения и наращения рент - №223 - открытая онлайн библиотека (2.63)

На рис. 2.8 приведена зависимость современной стоимости геометрической ренты от темпа прироста платежей Коэффициенты приведения и наращения рент - №215 - открытая онлайн библиотека при двух значениях процентной ставки дисконтирования i и n = 4.

Коэффициенты приведения и наращения рент - №225 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.8

Конечная наращенная стоимость геометрической ренты постнумерандо определяется суммой

Коэффициенты приведения и наращения рент - №226 - открытая онлайн библиотека

Сравнивая данную формулу с (2.61) для конечной стоимости геометрической ренты получим

Коэффициенты приведения и наращения рент - №227 - открытая онлайн библиотека (2.64)

Коэффициенты приведения и наращения рент - №228 - открытая онлайн библиотека (2.65)

Для r-срочной геометрической ренты постнумерандо финансовый поток состоит из Коэффициенты приведения и наращения рент - №200 - открытая онлайн библиотека платежей, образующих геометрическую прогрессию с первым членом Коэффициенты приведения и наращения рент - №230 - открытая онлайн библиотека и знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №231 - открытая онлайн библиотека Современная стоимость такой ренты равна сумме дисконтированных платежей с коэффициентом дисконтирования Коэффициенты приведения и наращения рент - №232 - открытая онлайн библиотека

Коэффициенты приведения и наращения рент - №233 - открытая онлайн библиотека (2.65)

Данная сумма является суммой nr членов геометрической прогрессии в с первым членом Коэффициенты приведения и наращения рент - №234 - открытая онлайн библиотека и знаменателем Коэффициенты приведения и наращения рент - №235 - открытая онлайн библиотека и в соответствии с формулой (2.5) может быть записана в виде

Коэффициенты приведения и наращения рент - №236 - открытая онлайн библиотека (2.66)

Конечная наращенная стоимость геометрической r-срочной ренты постнумерандо может быть получена умножением современной стоимости Коэффициенты приведения и наращения рент - №237 - открытая онлайн библиотека на множитель наращения Коэффициенты приведения и наращения рент - №238 - открытая онлайн библиотека

Коэффициенты приведения и наращения рент - №239 - открытая онлайн библиотека (2.67)

Современная Коэффициенты приведения и наращения рент - №240 - открытая онлайн библиотека и конечная Коэффициенты приведения и наращения рент - №241 - открытая онлайн библиотека стоимости геометрической ренты пренумерандо могут быть получены умножением формул (2.62) и (2.64) на множитель (1 + i).