Статистические методы анализа в экономике

Методические указания

к выполнению практических и лабораторных работ

ПЕНЗА 2008

Рассмотрен ряд статистических методов сбора, обобщения и анализа данных, применяемых в экономике: методы сводки, группировки, средних величин, показателей вариации, методы анализа динамических рядов и индексного факторного анализа.

Методические указания подготовлены на кафедре «Экономика, финансы и менеджмент» Пензенского государственного университета и предназначены для студентов экономических специальностей, изучающих дисциплину «Статистика».

Составители: Э.Д. Ежова, Е.И. Кисина, Е.В. Куницкая.

Под редакцией зав. каф. «Экономика, финансы и менеджмент», проф. В.И. Будиной.

Рецензент Н. С. Циндин, кандидат экономических наук, доцент ВЗФИ, главный бухгалтер ООО «Новатор».

Лабораторная работа № 1.

Статистическая сводка. Статистическая группировка. Изучение взаимосвязи между признаками.

Цель работы – исследование взаимосвязи между факторными и результативными признаками изучаемого явления с применением статистических методов группировки, средних величин и показателей вариации.

Краткие теоретические сведения.

Первой ступенью систематизации и обобщения данных статисти­ческого наблюдения является статистическая сводка.

Сводка представляет собой комплекс статистических операций по обобщению конкретных единичных данных, образующих совокуп­ность с целью выявления типичных черт и закономерностей, присущих данному явлению. Статистическая сводка состоит в том, что первичные материалы, полученные в результате наблюдения, заносятся в таблицы, подсчитываются итоговые показатели. В дальнейшем на основе сводных итогов вычисляют средние и отно­сительные величины. Различают простую сводку (только для под­счета итоговых показателей) и статистическую группировку.

Под группировкой в статистике понимают разделение ста­тистической совокупности на группы, однородные в каком-либо существенном отношении, и характеристику выделенных групп систе­мой показателей в целях выделения типов явлений, изучения их структуры и взаимосвязей. С помощью метода группировок реша­ются три основные задачи: выделение социально-экономических типов явлений, изучение структуры однотипных совокупностей, исследование связей и зависимостей между признаками исследуе­мого явления. Согласно задачам, группировки соответственно делятся на три вида: типологические, структурные и аналитиче­ские.

В основу типологических и структурных группировок могут быть доложены атрибутивные и количественные признаки.

Атрибутивный признак - это качественный признак группировки, который не имеет количественного выражения.

При использовании количественных признаков в группировках возникают проблемы определения числа групп и величины интер­вала.

При равных интервалах для определения числа групп исполь­зуется формула Стерджесса:

n = 1 + 3,322 lg N , (1)

где n - число групп; N - численность единиц совокупности. Величина интервала определяется делением размаха вариации на число групп:

Статистические методы анализа в экономике - №1 - открытая онлайн библиотека (2)

где xmaxи xmin – максимальное и минимальное значения признака; n - число групп.

Как было сказано выше, основной задачей аналитической группировки является выявление взаимосвязи между изучаемыми яв­лениями и признаками их характеризующими. Для использования метода аналитической группировки прежде всего нужно опреде­лить факторные и результативные признаки изучаемых явлений.

Факторные - это признаки, оказывающие влияние на другие, связанные с ними признаки.

Результативные - признаки, которые изменяются под влиянием факторов. Взаимосвязь проявляется в том, что с изменением значения факторного признака систематически возрастает или убывает значение результативного признака.

Далее определяется число групп, величина интервала и со­ставляется макет рабочей таблицы.

Таблица 1 Макет рабочей таблицы

Номер группы Группы предприятий по размеру среднегодовой стоимости основных средств, млн р. Номер предприятия Среднегодовая стоимость основн. средств, млн р. Объем выпуска товарной продукции,млн р.
         

Групповые данные рабочей таблицы заносятся в сводную групповую таблицу, характеризующую зависимость между среднегодовой стоимостью основных средств и объемом товарной продукции. Обе таблицы должны быть оформлены Статистические методы анализа в экономике - №2 - открытая онлайн библиотека статистически грамотно: иметь заглавие, наименование подлежащего, сказуемого, единицы измерения показателей, итоговые общие и средние показа­тели.

Таблица 2 Макет сводной групповой таблицы

Группы предприятий по размеру среднегод. стоимости основных средств, млн. р. Число предприятий Среднегодовая стоимость основных средств, млн.р. Объем выпуска товарной продукции, млн.р. Фондо отдача
всего в среднем на одно предприятие всего в среднем на одно предприятие
             

Существует много типов средних величин. Вид и форма средней выбирается исходя из имеющихся исходных данных.

В данной работе для определения средних величин используется средняя арифметическая простая:

Статистические методы анализа в экономике - №3 - открытая онлайн библиотека , (3)

где x - величина признака,Статистические методы анализа в экономике - №4 - открытая онлайн библиотека - количество признаков.

В статистике употребляются также ещё две разновидности средних - мода и медиана.

Модой - называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном ряде распределения это будет варианта с наибольшей частотой.

Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные части. Определить моду и медиану в дискретном вариационном ряде несложно. В интервальном вариационном ряде мода и медиана определяются по формулам (4) и (5):

Статистические методы анализа в экономике - №5 - открытая онлайн библиотека , Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека (4)

где xмо - начальное значение интервала, содержащего моду; iмо - величина модального интервала; fмо+1 - частота интервала, следующего за модальным; fмо-1 - частота интервала, предшествующего модальному, fмо – частота модального интервала.

Статистические методы анализа в экономике - №7 - открытая онлайн библиотека , (5)

гдеxме- начальное значение медианного интервала; Статистические методы анализа в экономике - №8 - открытая онлайн библиотека - сумма частот ряда; Sме-1- сумма накопленных частот в интер­валах, предшествующих медианному;fме - частота медианного интервала.

Средние величины дают обобщающую характеристику всей сово­купности изучаемого явления. Однако они не дают никакого пред­ставления о степени колеблемости (вариации) величины изучае­мого признака.

Для изучения вариации признака в совокупности применяются различные обобщающие показатели, к которым относятся: размах вариации - R , среднее абсолютное отклонение - Статистические методы анализа в экономике - №9 - открытая онлайн библиотека , среднее квадратическое отклонение - σ ; дисперсия –σ2; коэффи­циент вариации - V .

Размах вариации - это разность между максимальным и мини­мальным значениями признака.

R = xmax –xmin(6)

Размах вариации характеризует пределы изменения варьирующего признака.

Среднее абсолютное отклонение есть среднее арифметическое из абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от общей средней. В зависимости от исходных данных среднее абсолютное отклонение определяется по формулам:

Статистические методы анализа в экономике - №10 - открытая онлайн библиотека ,(7)

Статистические методы анализа в экономике - №11 - открытая онлайн библиотека , (8)

где Статистические методы анализа в экономике - №12 - открытая онлайн библиотека - средняя величина; f - частота повторений отдельных значений признака.

Среднее квадратическое отклонение простое определя­ется по формуле:

Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №14 - открытая онлайн библиотека ,(9)

Если определенные значения признака в изучаемой совокуп­ности повторяются, то находят среднее взвешенное квадратическое отклонение по формуле:

Статистические методы анализа в экономике - №15 - открытая онлайн библиотека (10)

Дисперсия есть средняя арифметическая из квадратов отклонений индивидуальных значений признаков от средней. В зави­симости от исходных данных определяется дисперсия простая (11) и дисперсия взвешенная (12).

Статистические методы анализа в экономике - №16 - открытая онлайн библиотека (11)

Статистические методы анализа в экономике - №17 - открытая онлайн библиотека (12)

Для исчисления дисперсии удобно пользоваться форму­лой (l3), из которой следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов и квадрата средней.

Статистические методы анализа в экономике - №18 - открытая онлайн библиотека (13)

Коэффициент вариации - это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

Статистические методы анализа в экономике - №19 - открытая онлайн библиотека , (14) Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека

Коэффициент вариации является показателем относительной вариации признака в совокупности. Его используют так же как характеристику однородности совокупности.

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариа­ции не превышает 33 %.

Если совокупность разбита на группы по изучаемому призна­ку, то для оценки влияния различных факторов, определяющих вариацию индивидуальных значений признака, общая дисперсия раскладывается на составляющие: среднюю из внутригрупповых дисперсий Статистические методы анализа в экономике - №21 - открытая онлайн библиотека и межгрупповую дисперсию Статистические методы анализа в экономике - №22 - открытая онлайн библиотека .

Средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по фор­муле (15) и характеризует ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием случайных причин.

Статистические методы анализа в экономике - №23 - открытая онлайн библиотека , (15)

где Статистические методы анализа в экономике - №24 - открытая онлайн библиотека - внутригрупповая дисперсия, измеряющая вариацию признака внутри группы. Определяется по формулам:

Статистические методы анализа в экономике - №24 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №26 - открытая онлайн библиотека , Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека (16)

или

Статистические методы анализа в экономике - №24 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №29 - открытая онлайн библиотека , (17)

где xi - отдельные значения признака внутри группы, Статистические методы анализа в экономике - №30 - открытая онлайн библиотека - групповые средние.

Межгрупповая дисперсия измеряет вариацию групповых средних вокруг общей средней и определяется по формуле:

Статистические методы анализа в экономике - №31 - открытая онлайн библиотека (18)

Межгрупповая дисперсия характеризует ту часть вариации результативного признака, которая складывается под влия­нием изменения признака - фактора, положенного в основу группировки.

Между указанными видами дисперсий существует определенное соотношение:

Статистические методы анализа в экономике - №32 - открытая онлайн библиотека (19)

т.е. общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий. Это и есть правило сложения дис­персий.

Применение этого правила к методу аналитических группиро­вок позволяет определить степень тесноты связи между резуль­тативным признаком и признаком - фактором, лежащим в основе группировки.

Для этого сначала определяется коэффициент детерминации Статистические методы анализа в экономике - №33 - открытая онлайн библиотека , который показывает, какую часть вариации изучаемого признака составляет вариация межгрупповая, т.е. обусловленная группировочным признаком.

Статистические методы анализа в экономике - №34 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека (20)

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется эмпирическим корреляционным отношением.

Статистические методы анализа в экономике - №36 - открытая онлайн библиотека (21)

Корреляционное отношение характеризует степень тесноты свя­зи между группировочным (факторным) и результативным признаками. Его зна­чения находятся в пределах от 0 до 1. Приη= 0 - связь отсутствует, т.е. изменение факторного признака, положенного в основу группировки, не оказывает никакого влияния на резуль­тативный признак. Если η от 0,1 до 0,3 - то связь слабая, η - от 0,4 до 0,7 - связь умеренная, η - от 0,8 до 0,9 - связь тесная; при η = 1 - связь функциональная.

Порядок выполнения работы.

Имеются следующие отчетные данные по 25 предприятиям одной из отраслей промышленности.

1. С целью изучения зависимости между среднегодовой стои­мостью основных средств и объемом выпуска товарной продукции, используя исходные данные прил. 1 и 2, произвести группиров­ку предприятий по среднегодовой стоимости основных средств, образовав пять групп предприятий с равными интервалами. По каждой группе и совокупности предприятий определить:

а) число предприятий;

б) среднегодовую стоимость основных средств - всего и в среднем на одно предприятие;

в) стоимость товарной продукции - всего и в среднем на одно предприятие;

г) стоимость товарной продукции на один рубль основных средств (фондоотдачу).

Результаты представить в виде таблицы, дать их краткий анализ.

По сгруппированным данным определить моду и медиану среднегодовой стоимости основных средств.

2. Вычислить относительные показатели структуры среднего­довой стоимости основных средств и объема товарной продукции в общем итоге всей совокупности предприятий для каждой из пяти образованных групп.

3. Рассчитать показатели вариации объема товарной продук­ции:

а) размах вариации;

б) среднее линейное отклонение;

в) общую дисперсию;

г) среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариа­ции;

д) общую дисперсию, используя правило сложения дисперсий. По результатам расчетов сделать краткие выводы.

4. Для изучения тесноты связи между объемом товарной про­дукции на одно предприятие (результативный признак -y) и их оснащенностью предприятий основными средствами (факторный признак – x), определить коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Проанализировать полученные результаты. Сделайте краткие выводы.

Пример выполнения работы.

Таблица 3 Исходные данные

Номер предприятия Среднегодовая стоимость основных средств, млн.р. Объем выпуска товарной продукции, млн. р.
    6,9 8,9 3,0 5,7 3,7 5,6 4,5 7,1 2,5 10,0 6,5 7,5 7,1 8,3 5,6 4,5 6,1 3,0 6,9 6,5 4,1 4,1 4,8 4,1 5,6   3,5 4,5 3,4 8,8 3,5 9,6 2,5 13,9 6,8 9,9 9,6 10,8 8,9 7,0 8,0 2,5 9,2 6,9 4,3 4,4 6,0 7,5 8,9

1. Для применения метода аналитической группировки определяем величину интервала по формуле (2) и составляем рабочую таблицу 4 (см.табл. 1).

Статистические методы анализа в экономике - №37 - открытая онлайн библиотека

Таблица 4 Рабочая таблица.

Номер группы Группы предприятий по среднегод. стоимости основных средств, млн.р. Номер предприятия Среднегодовая стоимость основных средств, млн.р. Объем выпуска товарной продукции, млн.р.
2,5 - 4 3,0 3,7 2,5 3,0 3,5 3,4 2,6 2,5
Итого 12,2
4 – 5,5 4,5 4,5 4,1 4,1 4,8 4,1 3,5 4,3 4,4 6,0 7,5
Итого 25,5 32,7
5,5 - 7 6,9 5,7 5,6 6,5 5,6 6,1 6,9 6,5 5,6 10,0 4,5 8,8 6,8 8,9 8,0 9,2 6,9 8,9
Итого 55,4
7 – 8,5 7,1 7,5 7,1 8,3 9,6 9,9 9,6 10,8
Итого 39,9
8,5 – 9 8,9 13,9
Итого 18,9 25,9

Далее групповые данные рабочей таблицы заносятся в сводную групповую таблицу (см. табл. 2).

Аналитическая группировка

Таблица 5 Зависимость объема выпуска товарной продукции от среднегодовой стоимости основных средств

Группы предприятий по среднегодовой стоимости основных средств, млн.р.     Число пред- прия- тий     Среднегодовая стоимость ос- новных средств, млн. р. Объем выпуска товарной про- дукции, млн р. Фондо- отдача
всего в среднем на одно предприя- тие всего в среднем на одно предприя- тие
  2,5 – 4 4 – 5,5 5,5 – 7 7 – 8,5 8,5 – 10     12,2 25,5 55,4 18,9   3,05 4,25 6,15 7,5 9,45   32,7 39,9 25,9   5,45 9,97 12,95   0,98 1,28 1,30 1,33 1,37
Итого: 5,68 182,5 7,3 1,28

По формулам (4) и (5) определяем моду и медиану среднегодовой стоимости основных средств.

Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №39 - открытая онлайн библиотека

Статистические методы анализа в экономике - №40 - открытая онлайн библиотека

2. Для изучения структуры среднегодовой стоимости основных средств и объема товарной продукции, используя данные рабочей табл. 4, произведем структурную группировку по среднегодовой стоимости основных средств (табл. 6).

Таблица 6 Структурная группировка заводов по среднегодовой стоимости основных средств

Группы предприятий по среднегодовой стоимости основных средств, млн. р. Предприятия Среднегодовая стоимость основ- ных средств, млн.р. Объем выпуска товарной про- дукции, млн.р.
число единиц % к итогу млн.р. % к итогу млн.р. % к итогу
  2,5 – 4 4 – 5,5 5,5 -7 7 – 8,5 8,5 - 10       12,2 25,5 55,4 30,0 18,9   8,6 17,9 39,1 21,1 13,3   32,7 39,9 25,9   6,6 17,9 39,4 21,9 14,2
Итого: 182,5

3. Определяем показатели вариации объема товарной продукции.

Согласно формуле (6) размах вариации рассчитывается следующим образом:

Статистические методы анализа в экономике - №41 - открытая онлайн библиотека

По формулам (7), (9), (11), используя итоговые результаты табл. 7, опре-

деляем среднее линейное отклонение Статистические методы анализа в экономике - №9 - открытая онлайн библиотека ,дисперсию Статистические методы анализа в экономике - №43 - открытая онлайн библиотека и среднее квадратическое отклонение Статистические методы анализа в экономике - №44 - открытая онлайн библиотека .

 
  Статистические методы анализа в экономике - №45 - открытая онлайн библиотека

Коэффициент вариации определяем по формуле (14):

 
  Статистические методы анализа в экономике - №46 - открытая онлайн библиотека

Таблица 7 Расчетная таблица

Номер предприятия Объем выпуска товарной продукции,млн.р. Статистические методы анализа в экономике - №47 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №49 - открытая онлайн библиотека
  3,5 4,5 3,4 8,8 3,5 9,6 2,6 13,9 6,8 9,9 9,6 10,8 8,9 7,0 8,0 2,5 9,2 6,9 4,3 4,4 6,0 7,5 8,9 2,7 4,7 3,8 2,8 3,9 1,5 3,8 2,3 4,7 6,6 0,5 2,6 2,3 3,5 1,6 0,3 0,7 4,8 1,9 0,4 3,0 2,9 1,3 0,2 1,6 7,29 22,09 14.44 7,84 15,21 2,25 14,44 5,29 22,09 43,56 0,25 6,76 5,29 12,25 2,56 0,09 0,49 23,04 3,61 0,16 8,41 1,69 0,04 2,56
Итого 182,5 64,4 230,7

Для того, чтобы определить общую дисперсию по правилу сложения дисперсий, необходимо определить межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий.

 
  Статистические методы анализа в экономике - №50 - открытая онлайн библиотека

По формуле (18) рассчитываем межгрупповую дисперсию. Промежуточные расчеты приведены в табл. 8.

Таблица 8 Расчетная таблица

Группы предприятий по среднегодовой стоимости ОС, млн.р. Число пред- приятий, Объем выпуска товарной продукции в среднем на одно предприятие, млн. р.   Статистические методы анализа в экономике - №51 - открытая онлайн библиотека   Статистические методы анализа в экономике - №52 - открытая онлайн библиотека   Статистические методы анализа в экономике - №53 - открытая онлайн библиотека
2,5 – 4 4 – 5,5 5,5 – 7 7 – 8,5 8,5 – 10 5,45 9,97 12,95 4,3 1,85 0,7 2,67 5,65 18,49 3,422 0,49 7,129 31,922 73,96 20,53 4,41 28,516 63,845
Итого 191,261

Внутригрупповые дисперсии определяем по формуле (15). Для первой группы внутригрупповая дисперсия определяется следующим образом:

 
  Статистические методы анализа в экономике - №54 - открытая онлайн библиотека

Аналогично определяются внутригрупповые дисперсии для последующих четырех групп. Они будут равны:

Статистические методы анализа в экономике - №55 - открытая онлайн библиотека .

 
  Статистические методы анализа в экономике - №56 - открытая онлайн библиотека

По формуле (17) рассчитываем среднюю из внутригрупповых дисперсий

Определяем общую дисперсию по формуле (19)

 
  Статистические методы анализа в экономике - №57 - открытая онлайн библиотека

4. Для изучения степени тесноты связи между объемом товарной продукции на одно предприятие и среднегодовой стоимостью основных средств определяется эмпирическое корреляционное отношение по формуле (21). Для этого сначала рассчитывается коэффициент детерминации по формуле (20):

 
  Статистические методы анализа в экономике - №58 - открытая онлайн библиотека

Тогда эмпирическое корреляционное отношение составит: Статистические методы анализа в экономике - №59 - открытая онлайн библиотека .

Лабораторная работа №2

Статистический анализ ряда динамики.

Цель работы – изучение статистических показателей анализа ряда динамики и выявление закономерностей их развития во времени.

Краткие теоретические сведения.

Динамический ряд представляет собой последовательность уровней, сопоставляя которые между собой, можно получить характеристику скорости и интенсивности развития явлений. В результате сравнения уровней получается система следующих абсолютных и относительных показателей динамики.

Цепной и базисный абсолютный прирост определяется по формулам: Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека

Статистические методы анализа в экономике - №61 - открытая онлайн библиотека (1)

Статистические методы анализа в экономике - №62 - открытая онлайн библиотека (2)

где Статистические методы анализа в экономике - №63 - открытая онлайн библиотека - уровень сравниваемого периода; Статистические методы анализа в экономике - №64 - открытая онлайн библиотека - уровень базисного периода; Статистические методы анализа в экономике - №65 - открытая онлайн библиотека - уровень непосредственного предшествующего периода.

Цепной и базисный темпы роста рассчитывается по формулам:

Статистические методы анализа в экономике - №66 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека
, (3)

Статистические методы анализа в экономике - №68 - открытая онлайн библиотека , (4)

Цепной и базисный темпы прироста определяются по формулам:

Статистические методы анализа в экономике - №69 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека
, (5)

Статистические методы анализа в экономике - №69 - открытая онлайн библиотека , (6)

Абсолютное значение 1% прироста рассчитывается по формуле

Статистические методы анализа в экономике - №72 - открытая онлайн библиотека , (7)

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определяются следующие средние показатели: средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средние темп роста и прироста. Для интервального ряда абсолютных показателей средний уровень за период определяется по формуле простой средней арифметической:

Статистические методы анализа в экономике - №73 - открытая онлайн библиотека , (8)

где n – число уровней ряда.

Средний абсолютный прирост (или средняя скорость роста) рассчитывается как средняя арифметическая из показателей скорости роста за определенные промежутки времени.

Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека
Статистические методы анализа в экономике - №75 - открытая онлайн библиотека , (9)

где Статистические методы анализа в экономике - №76 - открытая онлайн библиотека - цепной абсолютный прирост.

Средний темп роста вычисляется по формуле:

Статистические методы анализа в экономике - №77 - открытая онлайн библиотека , (10)

где Статистические методы анализа в экономике - №78 - открытая онлайн библиотека - средний коэффициент роста, который вычисляется по формуле средней геометрической из показателей цепных коэффициентов роста за отдельные периоды.

Статистические методы анализа в экономике - №79 - открытая онлайн библиотека , (11)

где Статистические методы анализа в экономике - №80 - открытая онлайн библиотека - цепные коэффициенты роста. Средний коэффициент роста можно также определить по формуле

Статистические методы анализа в экономике - №81 - открытая онлайн библиотека , (12)

Средний темп прироста рассчитывается по формуле:

Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №83 - открытая онлайн библиотека , (13)

Одной из задач, возникших при анализе рядов динамики, является выявление основной тенденции развития (тренда) изучаемого явления. Для того чтобы получить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней динамического ряда во времени, используется метод аналитического выравнивания ряда динамики. Основным содержанием этого метода является то, что основная тенденция развития Статистические методы анализа в экономике - №84 - открытая онлайн библиотека рассчитывается как функция времени

Статистические методы анализа в экономике - №85 - открытая онлайн библиотека , (14)

Определение теоретических (расчетных) уровней Статистические методы анализа в экономике - №86 - открытая онлайн библиотека производится на основе так называемой адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда. В практике статистического изучения тренда наиболее часто применяют следующие функции:

1)Прямолинейная функция

Статистические методы анализа в экономике - №87 - открытая онлайн библиотека , (15)

где а0 и а1 - параметры уравнения, t – обозначение времени.

2)Функция параболы второго порядка

Статистические методы анализа в экономике - №88 - открытая онлайн библиотека , (16)

где Статистические методы анализа в экономике - №89 - открытая онлайн библиотека - параметры уравнения.

3)Функция параболы третьего порядка

Статистические методы анализа в экономике - №90 - открытая онлайн библиотека , (17)

где Статистические методы анализа в экономике - №91 - открытая онлайн библиотека - параметры уравнения.

4)Показательная функция

Статистические методы анализа в экономике - №92 - открытая онлайн библиотека , (18)

где Статистические методы анализа в экономике - №93 - открытая онлайн библиотека - параметры уравнения.

За наиболее адекватную принимается функция, стандартная ошибка аппроксимации которой имеет минимальное значение.

Одним из наиболее часто применяемых в практике статистического изучения тренда показателей адекватности математической функции является стандартная ошибка аппроксимации, которая рассчитывается по формуле:

Статистические методы анализа в экономике - №94 - открытая онлайн библиотека , (19)

где Статистические методы анализа в экономике - №95 - открытая онлайн библиотека - теоретические и эмпирические уровни ряда.

Для определения параметров математических функций при анализе тренда в рядах динамики используется способ отсчета времени от условного начала. Он основан на обозначении в рядах динамики показаний времени таким образом, чтобы åt=0. Это значительно упрощает расчеты.

При использовании способа условного обозначения времени, когда åt=0, параметры математических функций определяются следующим образом:

а) для прямолинейной функции yt=a0+a1t (при åt=0)

a0= Статистические методы анализа в экономике - №96 - открытая онлайн библиотека , Статистические методы анализа в экономике - №97 - открытая онлайн библиотека ,

где n – число членов ряда динамики.

Все суммы, необходимые для решения системы, берутся из табл. 1.

Таблица 1 Расчетная таблица

год у t t2 yt yt
 
итого åy åt=0 åt2 åyt åyt

б) для параболы второго порядка Статистические методы анализа в экономике - №98 - открытая онлайн библиотека

(при åt=0). Все суммы, необходимые для решения системы, берутся из табл. 2.

Статистические методы анализа в экономике - №99 - открытая онлайн библиотека

Таблица 2 Расчетная таблица

год y T t2 t4 yt yt2 yt
 
итого åy åt=0 åt2 åt4 åyt åyt2 åyt

в) для параболы третьего порядка Статистические методы анализа в экономике - №100 - открытая онлайн библиотека

(при åt=0).

Все суммы, необходимые для решения системы, берутся из табл. 3.

Статистические методы анализа в экономике - №101 - открытая онлайн библиотека

Таблица 3 Расчетная таблица

год y t t2 t4 t6 ty t2y t2y yt
 
итого åy åt=0 åt2 åt4 å t6 åty å t2y åt3y å yt

г) для показательной функции yt=a0 a1t (при åt=0).

Все суммы, необходимые для решения системы, берутся из табл.4.

Статистические методы анализа в экономике - №102 - открытая онлайн библиотека

Таблица 4 Расчетная таблица.

год y t t2 lgy t lg y yt
 
итого åy åt=0 åt2 å lg y å t lg y åyt

Для решения вопроса, какая из этих моделей является наиболее адекватной, сравниваются их стандартные ошибки аппроксимации, для определения которых составляется матрица расчетных значений (табл. 5, 6)

Таблица 5 Матрица определения σyt по формулам (15), (16)

год t Отклонение теоретических уровней yti от фактических уровней yi
Прямолинейная функция (15) Парабола второго порядка (16)
yti- yi (yti- yi)2 yti- yi (yti- yi)2
           
итого åt=0 å(yti- yi)2 å(yti- yi)2
             

Таблица 6 Матрица определения по формулам (17), (18)

год t y Отклонение теоретических уровней yti от фактических уровней yi
Парабола третьего порядка (17) Показательная функция (18)
yti- yi (yti- yi)2 yti- yi (yti- yi)2
             
итого åt=0 åy å(yti- yi)2 å(yti- yi)2
                   

За наиболее адекватную принимается функция, стандартная ошибка аппроксимации которой имеет наименьшее значение.

Под экстраполяцией понимается распространение выявленных в анализе рядов динамики закономерностей развития изучаемого явления на будущее. Основой прогнозирования является предположение, что закономерность, действующая внутри анализируемого ряда динамики, выступающего в качестве базы прогнозирования, сохраняется и в дальнейшем.

Статистические методы анализа в экономике - №103 - открытая онлайн библиотека Применение методов экстраполяции зависит от характера изменений в базисном ряду динамики и предопределяется постановкой задачи исследования.

При экстраполяции уровней развития изучаемого явления на базе ряда динамики с постоянными абсолютными приростами Статистические методы анализа в экономике - №104 - открытая онлайн библиотека применяется формула

Статистические методы анализа в экономике - №105 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №106 - открытая онлайн библиотека , (20)

Статистические методы анализа в экономике - №107 - открытая онлайн библиотека

где yn+l - экстраполируемый уровень, yn – конечный уровень базисного ряда, l – срок прогноза.

При экстраполяции уровней изучаемого явления на базе ряда динамики со стабильными темпами роста (Трц = const) применяется формула

Статистические методы анализа в экономике - №106 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №109 - открытая онлайн библиотека , (21)

При прогнозировании тренда изучаемого явления на основе аналитического выравнивания применяется адекватная трендовая модель.

Порядок выполнения работы.

1) Используя исходные данные приложения 3 рассчитать абсолютные, относительные и средние показатели ряда динамики:

- цепные и базисные абсолютные приросты,

- цепные и базисные темпы роста,

- цепные и базисные темпы прироста,

- абсолютное содержание I% прироста,

- средний уровень ряда,

- средний абсолютный прирост,

- средние темпы роста и прироста.

Результаты расчетов п. 1-4 представить в виде табл.7.

Таблица 7 Результаты расчетов.

год Уровни ряда Абсолютный прирост, ∆i Темп роста, % (Тр) Темп прироста (Тпр) % Абсолютное содержание 1%-го прироста
Цепной Базисный Цепной Базисный Цепной Базисный
                 

2) Выявить тенденцию, складывающуюся в динамике объема продаж на торговом предприятии, используя метод аналитического выравнивания.

3) построить график зависимости изменения уровней ряда от времени для теоретических и эмпирических уровней.

4) Используя уравнение адекватной математической функции рассчитать прогнозируемый объем продаж на четвертый квартал.

Лабораторная работа № 3.

Индексный метод факторного анализа.

Цель работы – определить и проанализировать степень влияния отдельных факторов на уровень совокупного финансового показателя.

Краткие теоретические сведения

Индексный метод факторного анализа применяется для оценки влияния на объемный показатель изменения факторов, его формирующих. Этот метод используется в тех случаях, когда связь между показателями можно выразить математическив виде уравнения связи, либо мультипликативного

Статистические методы анализа в экономике - №110 - открытая онлайн библиотека

либо аддитивного

Статистические методы анализа в экономике - №111 - открытая онлайн библиотека

Вид функции, число переменных факторов (сомножителей или слагаемых) определяются логикой изучаемой связи.

При анализе динамики результативного экономического показателя индексный метод факторного анализа позволяет определить степень влияния на изменение этого показателя каждого из факторов, его составляющих. Для этого применяется принцип элиминирования – логический приём, используемый при изучении функциональной связи, при котором последовательно выделяется влияние одного фактора и исключается влияние всех остальных. При этом общий результат изменения этого объёмного экономического показателя представляет собой сумму изменений за счёт влияния всех исследуемых факторов, формирующих это влияние.

В данной работе приводится методика применения индексного метода факторного анализа для оценки влияния фактора, включенных в индексную модель на изменение рентабельности.

Рентабельность (R) определяется как отношение суммы бухгалтерской прибыли (Пб) к средней за период стоимости активов (А).

Статистические методы анализа в экономике - №112 - открытая онлайн библиотека (1)

Этот показатель может быть выражен следующей мультипликационной индексной моделью:

Статистические методы анализа в экономике - №113 - открытая онлайн библиотека (2)

или в общем виде

y=abcd,

где y = R - уровень общей рентабельности; Статистические методы анализа в экономике - №114 - открытая онлайн библиотека - коэффициент структуры прибыли; Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №116 - открытая онлайн библиотека - рентабельность реализованной продукции; Статистические методы анализа в экономике - №117 - открытая онлайн библиотека - число оборотов оборотного капитала, рассчитанное по полным затратам на реализованную продукцию; Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №119 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека - доля оборотного капитала в стоимости активов.

Влияние каждого фактора на изменение общей рентабельности покажет отношение отчетного уровня данного фактора к базовому и в относительном выражении это влияние определяется по следующей схеме индексов:

Статистические методы анализа в экономике - №121 - открытая онлайн библиотека (3)

Общее абсолютное изменение уровня общей рентабельности под влиянием вышеназванных факторов определяется как сумма влияния всех факторов по формуле:

Статистические методы анализа в экономике - №122 - открытая онлайн библиотека (4)

где Статистические методы анализа в экономике - №123 - открытая онлайн библиотека - влияние изменения структуры прибыли (фактора a ).

Определяется по формуле:

Статистические методы анализа в экономике - №124 - открытая онлайн библиотека (5)

где ∆yb – влияние изменения рентабельности реализованной продукции (фактора b). Определяется по формуле:

∆yb= Статистические методы анализа в экономике - №125 - открытая онлайн библиотека (6)

где ∆yc – влияние изменения оборачиваемости нормируемого оборотного капитала (фактора с). Определяется по формуле:

Статистические методы анализа в экономике - №126 - открытая онлайн библиотека (7)

где ∆yd - влияние изменения доли стоимости оборотного капитала в общей стоимости производственного капитала (фактора d). Определяется по формуле:

Статистические методы анализа в экономике - №127 - открытая онлайн библиотека (8)

Порядок выполнения работы.

1. Используя исходные данные приложения 4, определить величину каждого фактора, влияющего на изменение рентабельности для базового и отчётного периода.

2. Рассчитать абсолютные и относительные показатели динамики. Результаты расчетов оформить в виде таблицы 1.

3. Определить степень влияния каждого фактора на изменение рентабельности :

а) в относительном выражении (формула 3);

б) в абсолютном выражении ( формулы 4-8)

4. По результатам расчетов сделать выводы.

Таблица 1 Величина и динамика факторов, определяющих уровень общей рентабельности

  ПОКАЗАТЕЛИ     Базовый период Отчетный период Абсолютное изменение Относительное изменение
Бухгалтерская прибыль, Пб   Выручка от реализации, ВР   Издержки производства, И   Прибыль от реализации, Пр   Активы, А   Оборотный капитал, ОК   Коэффициент структуры прибыли, a   Рентабельность реализованной продукции, b   Число оборотов оборотного капитала, с   Доля оборотного капитала в стоимости активов, d   Рентабельность, y          

Лабораторная работа № 4.

Анализ сезонной неравномерности и ее характеристика.

Цель работы: определение наличия сезонности и количественная оценка проявления сезонных колебаний, их силы и характера в различных этапах годичного цикла.

Краткие теоретические сведения

Уровни ряда динамики, слагаясь под совместным влиянием систематических и случайных факторов, испытывают также воздействие причин, обусловленных периодичностью колебаний. Таким образом, в рядах внутригодовой динамики, можно выделить три важ­нейшие составляющие уровней временного ряда: тренд, сезонную и случайную компоненты.

В связи с этим, при анализе динамических ря­дов наряду с выделением случайных и систематических колебаний возникает также за­дача изучения периодических («сезонных») колебаний. Как правило, исследование периодических колебаний необходимо с целью ис­ключения их влияния на общую динамику для выявления «чи­стой» (случайной) колеблемости.

К сезоннымотносят все явления, ко­торые обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутригодичных изменений, т.е. более или ме­нее устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней.

Проявляются они с различной интенсивностью во всех сферах жизни общества: производстве, обращении, потреблении. Статистический анализ сезонности необходим для познания закономерностей развития социально-экономических явлений во внутригодовой динамике, прогнозирования и разработки оперативных мер по квалифицированному управлению их развитием во времени.

Для измерения сезонных колебаний обычно определяют индексы сезонностиJs.

Способы определения Js различны и зависят, прежде всего, от характера тренда ряда динамики.

Для ряда динамики, в котором не наблюдается общая тенденция роста или она незначительна, изучение сезонности основано на методе постоянной средней. Индекс сезонности, в таких случаях, определяется по формуле (1):

Статистические методы анализа в экономике - №128 - открытая онлайн библиотека , (1)

где Статистические методы анализа в экономике - №129 - открытая онлайн библиотека Статистические методы анализа в экономике - №6 - открытая онлайн библиотека - осредненные эмпирические уровни ряда по одноименным временным периодам;

Статистические методы анализа в экономике - №131 - открытая онлайн библиотека - общий средний уровень ряда.

Для рядов внутригодовой динамики с ярко выраженной основной тенденцией развития индексы сезонности рассчитываются методом переменной средней (формулы 2 и 3).

Статистические методы анализа в экономике - №132 - открытая онлайн библиотека , (2)

где Статистические методы анализа в экономике - №133 - открытая онлайн библиотека - исходные уровни ряда;

Статистические методы анализа в экономике - №134 - открытая онлайн библиотека - теоретические уровни ряда, рассчитанные по уравнению тренда;

Статистические методы анализа в экономике - №4 - открытая онлайн библиотека - число одноименных периодов времени.

Статистические методы анализа в экономике - №136 - открытая онлайн библиотека , (3)

где Статистические методы анализа в экономике - №134 - открытая онлайн библиотека - сглаженные уровни ряда, полученные на основе использования метода скользящей средней.

Для более наглядного представления строится сезонная волна развития исследуемого явления.

Порядок выполнения работы.

Исследовать сезонную неравномерность в реализации кондитерских изделий, используя исходные данные приложения 5.

1. Рассчитать за каждый квартал:

а) сглаженные (выравненные) уровни ряда, используя метод четырехчленной скользящей средней;

б) коэффициенты сезонности.

Результаты расчетов представить в таблице 1.

Таблица 1 Расчет коэффициентов сезонности

Год Квартал Объем реализации, тонн Скользящие четырехчленные суммы Центрированные четырехчленные суммы Скользящие средние Коэффициенты сезонности,%
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         

2. Для получения обобщающей оценки сезонности за весь период определить:

а) средние фактические уровни ряда;

б) средние сглаженные уровни ряда;

в) обобщающие индексы сезонности.

Результаты расчетов представить в таблице 2.

Таблица 2 Расчет обобщающих коэффициентов сезонности

Квартал Средние фактические уровни ряда, тонн Средние сглаженные уровни ряда, тонн Обобщающие индексы сезонности, %
       

3. Построить сезонную волну развития исследуемого явления (рисунок 1)

Статистические методы анализа в экономике - №138 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 1 Сезонная волна развития исследуемого явления

4. Проанализировать полученные результаты.

Приложение 1