Теорема умножения вероятностей

Предварительно введем понятие о зависимых и независимых событиях.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А\В)

Терема умножения вероятностей формулируется следующим образом: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т.е.

р(АВ)=р(А)р(В\А)=р(В)р(А\В). (5.4)

Из теоремы умножения вероятностей следует, что если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А, т.е. если р(А)=р(А\В), то р(В)=р(В\А). Таким образом, зависимость или независимость событий всегда взаимны. В связи с этим можно дать следующее новое определение независимых событий: два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий:

р(АВ)=р(А)р(В). (5.5)

Для n независимых событий:

Р(С)=р Теорема умножения вероятностей - №1 - открытая онлайн библиотекаТеорема умножения вероятностей - №1 - открытая онлайн библиотекаТеорема умножения вероятностей - №3 - открытая онлайн библиотекаТеорема умножения вероятностей - №3 - открытая онлайн библиотека )...р Теорема умножения вероятностей - №5 - открытая онлайн библиотекаТеорема умножения вероятностей - №5 - открытая онлайн библиотека ), (5.6)

т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ

Последовательным (основным) называется соединение элементов, при котором выход из строя хотя бы одного из них приводит к отказу всей системы, т.е. последовательная структура работоспособна, если все ее элементы работоспособны.

Следует отметить, что в производственной системе элементы физически могут быть соединены и параллельно, однако по надежности они при этом могут соединяться как параллельно, так и последовательно.

Схема замещения (по надежности) системы с последовательной структурой представлена на рис. 5.1.

Теорема умножения вероятностей - №7 - открытая онлайн библиотека рис. 5.1.

Предполагая, что отказы элементов являются независимыми событиями, определяем на основе формулы (5.6) вероятность работоспособности (безотказной работы) последовательной структуры по формуле

Теорема умножения вероятностей - №8 - открытая онлайн библиотека (5.7)

где P Теорема умножения вероятностей - №9 - открытая онлайн библиотека (t) – вероятность безотказной работы i-го элемента, n – число элементов.

Вероятность отказа последовательной структуры

Теорема умножения вероятностей - №10 - открытая онлайн библиотека (5.8)

где Q Теорема умножения вероятностей - №9 - открытая онлайн библиотека – вероятность отказа i-го элемента.

Если все элементы равнонадежны, т.е.

Теорема умножения вероятностей - №12 - открытая онлайн библиотека , Теорема умножения вероятностей - №13 - открытая онлайн библиотека

то формулы (5.7) и (5.8) принимают вид:

Теорема умножения вероятностей - №14 - открытая онлайн библиотека (5.9)

Теорема умножения вероятностей - №15 - открытая онлайн библиотека (5.10)

Формулу (5.7) с учетом зависимости (3.11) можно представить в виде

Теорема умножения вероятностей - №16 - открытая онлайн библиотека , (5.11)

где Теорема умножения вероятностей - №17 - открытая онлайн библиотека (x) – интенсивность отказов i-го элемента.

Для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы, т.е. при постоянной во времени интенсивности отказов каждого элемента, формула (5.11) упрощается и принимает вид

Теорема умножения вероятностей - №18 - открытая онлайн библиотека (5.12)

Интенсивность отказов системы с последовательной структурой в целом на основании формул (3.13) и (5.12) можно определить по формуле

Теорема умножения вероятностей - №19 - открытая онлайн библиотека . (5.13)

Среднее время безотказной работы системы с учетом формул (3.16) и (5.13)будет

Теорема умножения вероятностей - №20 - открытая онлайн библиотека (5.14)

где Т Теорема умножения вероятностей - №9 - открытая онлайн библиотека – среднее время безотказной работы i-го элемента.

Среднее время восстановления системы

Теорема умножения вероятностей - №22 - открытая онлайн библиотека , (5.15)

где Т Теорема умножения вероятностей - №23 - открытая онлайн библиотека – время восстановления i-го элемента, является математическим ожиданием времени восстановления, взвешенным по интенсивности отказов n последовательно соединенных элементов.

Пример 5.1.

Определить интенсивность отказов, среднее время восстановления, среднее время безотказной работы и вероятность безотказной работы в течение 1 года системы, состоящей из 5 последовательно соединенных элементов со следующими показателями надежности:

Теорема умножения вероятностей - №24 - открытая онлайн библиотека Теорема умножения вероятностей - №1 - открытая онлайн библиотека =0,50 год Теорема умножения вероятностей - №26 - открытая онлайн библиотека ; T Теорема умножения вероятностей - №27 - открытая онлайн библиотека Теорема умножения вероятностей - №1 - открытая онлайн библиотека

Теорема умножения вероятностей - №24 - открытая онлайн библиотека Теорема умножения вероятностей - №3 - открытая онлайн библиотека =0,32 год Теорема умножения вероятностей - №26 - открытая онлайн библиотека ; T Теорема умножения вероятностей - №27 - открытая онлайн библиотека Теорема умножения вероятностей - №3 - открытая онлайн библиотека

Теорема умножения вероятностей - №24 - открытая онлайн библиотека Теорема умножения вероятностей - №35 - открытая онлайн библиотека =0,30 год Теорема умножения вероятностей - №26 - открытая онлайн библиотека ; T Теорема умножения вероятностей - №27 - открытая онлайн библиотека Теорема умножения вероятностей - №35 - открытая онлайн библиотека

Теорема умножения вероятностей - №24 - открытая онлайн библиотека Теорема умножения вероятностей - №40 - открытая онлайн библиотека =0,64 год Теорема умножения вероятностей - №26 - открытая онлайн библиотека ; T Теорема умножения вероятностей - №27 - открытая онлайн библиотека Теорема умножения вероятностей - №40 - открытая онлайн библиотека

Теорема умножения вероятностей - №24 - открытая онлайн библиотека Теорема умножения вероятностей - №45 - открытая онлайн библиотека =0,001 год Теорема умножения вероятностей - №26 - открытая онлайн библиотека ; T Теорема умножения вероятностей - №27 - открытая онлайн библиотека Теорема умножения вероятностей - №45 - открытая онлайн библиотека

Решение.

Интенсивность отказов системы

Теорема умножения вероятностей - №49 - открытая онлайн библиотека =0,50+0,32+0,30+0,64+0,001=1,761год Теорема умножения вероятностей - №26 - открытая онлайн библиотека .

Среднее время восстановления

Теорема умножения вероятностей - №51 - открытая онлайн библиотека 0,50 16,0+0,32 8,0+0,30 6,0+0,64 12,5+0,001 15,0)=11,57ч

Среднее время безотказной работы

Теорема умножения вероятностей - №52 - открытая онлайн библиотека =1/1,761=0,568год=4974ч

Вероятность безотказной работы за t=1год

Теорема умножения вероятностей - №53 - открытая онлайн библиотека =ехр(-1,761 1)=0,17.

НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ

Параллельным соединением называется структура, отказ которой наступает при отказе всех элементов, входящих в структуру.

Параллельную структуру называют также избыточной или резервированной, поскольку она содержит элементов больше, чем это необходимо для ее нормальной работы. При отказе одного или нескольких элементов функция структуры выполняется оставшимися в работе элементами, если последние удовлетворительно выполняют функции отказавших.

Схема замещения (по надежности) системы с параллельной структурой представлена на рис.5.2

Теорема умножения вероятностей - №54 - открытая онлайн библиотека

Рис. 5.2.

В общем случае отказ параллельной структуры предполагает, что все m элементов находятся в состоянии простоя, т.е.

Теорема умножения вероятностей - №55 - открытая онлайн библиотека (5.16)

Вероятность безотказной работы системы

Теорема умножения вероятностей - №56 - открытая онлайн библиотека (5.17)

При равнонадежных элементах Теорема умножения вероятностей - №57 - открытая онлайн библиотека имеем

Теорема умножения вероятностей - №58 - открытая онлайн библиотека (5.18)

Теорема умножения вероятностей - №59 - открытая онлайн библиотека (5.19)

Как и для систем с последовательным соединением элементов, здесь предполагается независимость отказов всех элементов. Кроме того, пропускная способность элементов не ограничивается.

Число параллельно соединенных элементов в СЭС редко бывает больше трех. Вероятность того, что будут работать один или два элемента (при m=2), будет в соответствии с формулой (5.3) равна

Теорема умножения вероятностей - №60 - открытая онлайн библиотека (5.20)

Вероятность отказа обоих элементов

Теорема умножения вероятностей - №61 - открытая онлайн библиотека (5.21)