ГИЛЬБЕРТ (Hubert) Давид (1862 — 1943) — гер­манский математик, логик, философ, руководитель од­ного из основных центров мировой математической на­уки первой трети 20 в

ГИЛЬБЕРТ(Hubert) Давид (1862 - 1943) - гер­манский математик, логик, философ, руководитель од­ного из основных центров мировой математической на­уки первой трети 20 в. - Геттингенской математичес­кой школы, исследования которого оказали определяю­щее влияние на развитие математических наук. Между­народная премия имени Лобачевского (1904), иностран­ный почетный член АН СССР (1934, иностранный член-корр. АН СССР с 1922). Основные работы Г.: "Ос­нования геометрии" (1899), "Математические пробле­мы" (1900), "Аксиоматическое мышление" (1918), "Ме­тоды математической физики" (1920, в соавт. с Р.Курантом), "О бесконечности" (1925), "Обоснования матема­тики" (1930), "Наглядная геометрия" (1932, в соавт. с С.Кон-Фоссеном), "Основы теоретической логики" (1934, в соавт. с В.Аккерманом), "Основания математи­ки. Логические исчисления и формализация арифмети­ки" (1934, в соавт. с П.Бернайсом), "Основания матема­тики. Теория доказательств" (1939, в соавт. с П.Бернай­сом). Окончил Университет Кенигсберга. Профессор Университета Кенигсберга (1893-1895). Профессор математического факультета Геттингенского универси­тета (1895-1930, последняя лекция в 1933, позднее был вынужден отойти от дел университета и занятий математикой в связи с преследованиями со стороны идеологов национал-социализма). Г. проводил фунда­ментальные исследования в направлениях теории инва­риантов, дифференциальных уравнений, вариационно­го исчисления и теории чисел. В исследованиях Г. по теории интегральных уравнений с симметричным яд­ром (составляющих основу современного функцио­нального анализа) было получено обобщение понятия векторного евклидова пространства для случая беско-

нечного числа измерений - гильбертова пространства, принадлежащего к числу базисных категорий совре­менной математики, широко применимого в исследова­ниях по теоретической и математической физике (где Г. интересовали проблемы теории излучения). Труд Г. "Основания геометрии" (1899) стал основополагаю­щим для исследований в направлении аксиоматическо­го построения различных геометрий. Г. предложил сис­тему аксиом геометрии Евклида, из книги "Начала" ко­торого был уточнен основной набор понятий ("точка", "прямая", "плоскость") и отношений между ними ("принадлежит", "конгруэнтен", "между"). Система ак­сиом Г., необходимая и достаточная для построения всей геометрии Евклида, стала ее первым строгим ос­нованием (она содержит 20 аксиом принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности, параллель­ности). Тогда же Г. провел логическую обработку всей системы этих аксиом и доказал ее непротиворечивость и полноту (при помощи числовых моделей), а также не­зависимость групп аксиом. Фактически геометрия в данном случае явилась одним из направлений, на при­мере которого было дано, как писал А.Н.Колмогоров, "последовательное изложение теоретико-множествен­ного подхода к аксиоматике, в силу которого система аксиом математической дисциплины характеризует изучаемую этой дисциплиной область объектов с точ­ностью до изоморфизма". В своем докладе "Математи­ческие проблемы" на втором Международном конгрес­се математиков (1900, Париж) Г. сформулировал 23 главные проблемы математики того времени (получив­шие название "проблем Г."), решение которых, по мне­нию Г., 19 в. завещал 20 в. Во введении к докладу гово­рилось о целостном характере математики как основе всего точного естественнонаучного познания, о матема­тической строгости, о значении для математики "хоро­шо поставленной" специальной проблемы. Там же был выдвинут и основной тезис Г. - о разрешимости в ши­роком смысле любой задачи математики (для Г. вообще была характерна убежденность в неограниченной силе разума человечества: например, в статье "Познание природы и логика" Г. писал: "Мы должны знать - мы будем знать"). В своем докладе Г. говорил: "Вот пробле­ма, или решение. Ты можешь найти его с помощью чи­стого мышления, ибо в математике не существует Ignorabimus! ("мы не будем знать")". Проблемы Г. раз­деляются на несколько групп: теория множеств ("1. Проблема Кантора о мощности континуума"); обосно­вание математики ("2. Непротиворечивость арифмети­ческих аксиом"); основания геометрии; теория непре­рывных групп; аксиоматика теории вероятностей и ме­ханики; теория чисел; алгебра; алгебраическая геомет­рия; геометрия; анализ. Проблемы Г. были поставлены

очень корректно, а развитие идей, связанных с их со­держанием, составило основу направлений математи­ческих наук 20 в. В первые годы 20 в. в философии ма­тематики возникли четыре придерживающихся различ­ных взглядов на основания математики направления: интуиционизм (Л.Брауэр, Вейль), логицизм (Уайтхед, Рассел), теоретико-множественное направление Э.Цермело; лидером формализма стал Г. Главным возражени­ем Г. против концепций логицизма было то, что в ходе развития логики целые числа были неявно вовлечены в ее систему понятий. Поэтому при построении понятия "число" логика оказывается в замкнутом круге. Соглас­но Г., при определении множества по его свойствам воз­никает необходимость различения пропозиционалей и высказываний по типам, а теория типов требует приня­тия аксиомы сводимости. Г. (как и логицисты) считал необходимым включение бесконечных множеств в ма­тематику, что потребовало бы введение аксиомы беско­нечности, которую они все, однако, не считали аксио­мой логики. Главным возражением Г. против концеп­ций интуиционизма было то, что там отвергались раз­делы анализа, опирающиеся на теоремы существования и бесконечные множества. Г. писал, что отнять "у мате­матиков закон исключенного третьего - это то же са­мое, что забрать у астрономов телескоп". Г. считал, что интуиционизм и логицизм не смогли доказать непроти­воречивость математики: "Математика есть наука, в ко­торой отсутствует гипотеза. Для ее обоснования я не нуждаюсь ни, как Кронекер, в Господе Боге, ни, как Пу­анкаре, в предположении об особой, построенной на принципе полной индукции способности нашего разу­ма, ни, как Брауэр, в первоначальной интуиции, ...ни, как Рассел и Уайтхед, в аксиомах бесконечности, ре­дукции или полноты, которые являются подлинными гипотезами содержательного характера и... вовсе не правдоподобными" ("Основания геометрии"). Г. счи­тал, что так как логика в своем развитии обязательно включает в себя идеи математики и для сохранения ма­тематики необходимо привлекать "внелогические акси­омы типа аксиомы бесконечности", то рациональный подход к математике должен "включать в себя понятия и аксиомы не только логики, но и математики", а логи­ке необходимо оперировать чем-то, что состояло бы из конкретных внелогических понятий (типа понятия "число"), интуитивно воспринимаемых нами еще до логических рассуждений. Согласно Г., математика явля­ется автономной наукой и невыводима из логики, по­этому в аксиоматические системы и логики, и матема­тики необходимо вводить и логические, и математичес­кие аксиомы. При этом математику следует рассматри­вать как некую абстрактную формальную дисциплину преобразования символов безотносительно к их значе-

нию (доказательства теорем, по Г., сводятся к символи­ческим преобразованиям по строго фиксированной си­стеме правил логического вывода). Г. записывал все ут­верждения логики и математики в форме символов ("идеальных элементов"), которые могли даже означать и бесконечные множества. Такие "идеальные элемен­ты" Г. считал необходимыми для построения всей мате­матики: по его мнению, в материальном мире сущест­вует конечное число объектов-элементов. В первой чет­верти 20 в. аксиоматический метод в математических науках считался одним из наиболее действенных, идеа­лом строгости математики. Г, глубоко убежденный в его всеобщей применимости, в работе "Аксиоматичес­кое мышление" утверждал: все, что может быть "пред­метом математического мышления, коль скоро назрела необходимость в создании теории, оказывается в сфере действия аксиоматического метода и тем самым мате­матики. Проникая во все более глубокие слои аксиом... мы получаем возможность все дальше заглянуть в со­кровенные тайны научного мышления и постичь един­ство нашего знания. Именно благодаря аксиоматичес­кому методу математика... призвана сыграть ведущую роль в нашем знании". И позднее, в 1922, он также ут­верждал, что аксиоматический метод является самым "подходящим и неоценимым инструментом, в наиболь­шей степени отвечающим духу каждого точного иссле­дования, в какой бы области оно ни проводилось. Акси­оматический метод логически безупречен и в то же вре­мя плодотворен, тем самым он гарантирует полную свободу исследования". К 1922-1939 относятся иссле­дования Г. фундаментальных проблем логических ос­нований математики. К этому времени он выдвинул программу обоснования всей математики методом ее полной формализации с последующим метаматемати­ческим доказательством непротиворечивости формали­зованной математики (эту программу Г. и П.Бернайс опубликовали в книгах "Основания математики. Логи­ческие исчисления и формализация арифметики" и "Основания математики. Теория доказательств"). Одна­ко первоначальные предположения Г. в этом направле­нии не оправдались вследствие доказательства Геделем теорем о неполноте. Для преодоления сложностей, воз­никших в то время в понимании природы математичес­кого бесконечного, в рамках математической логики Г. была создана теория доказательств. При этом, по мне­нию Г., бесконечное могло входить в математическую теорию только как символ, а единственным критерием "законности употребления в математике такого рода символа является возможность доказать непротиворе­чивость пользующегося им символического исчисле­ния" ("О бесконечности"). Г. оказал исключительное влияние на все развитие почти всех направлений совре-

менной математической мысли. С.С.Демидов объясня­ет это тем, что Г. был математиком, "в котором сила ма­тематической мысли соединялась с редкой широтой и разносторонностью. Г. постоянно делает упор на то, что математика едина, что различные ее части находятся во взаимодействии между собой и науками о природе... в этом взаимодействии не только ключ к пониманию са­мой сущности математики, но и лучшее средство про­тив расщепления математики на отдельные, не связан­ные друг с другом части, - опасности, которая в наше время... специализации математических исследований постоянно заставляет о себе думать".

C.B. Силков