Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов

Как нам уже известно из курса статистики, временной ряд (он же ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Показатели временного ряда называются уровнями ряда динамики. Каждый уровень ряда динамики формируется под воздействием целого комплекса факторов.

Во-первых, большинство временных рядов имеет тенденцию. Тенденция может быть возрастающей или убывающей. Она отражает совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на результат, однако их совокупное воздействие, их равнодействующая, формирует положительную или отрицательную тенденцию.

Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, то есть изменяться по временам года (цены на овощи ниже летом и осенью, а зимой и весной выше; интенсивность использования техники и трудовых ресурсов в сельском хозяйстве выше в весеннее – летний период). Циклические колебания могут носить и долговременный характер. Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а их уровни образуются как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.

Очевидно, что реальные данные временного ряда могут складываться при одновременном влиянии всех трех перечисленных компонент. Итак, факторы уровней временного ряда по характеру воздействия можно условно разбить на три группы:

1)факторы, формирующие тенденцию ряда (Т);

2)факторы, формирующие циклические колебания ряда (S);

3)случайные факторы (E).

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма компонент, называется аддитивной. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной.

Основные задачи эконометрического исследования временных рядов сводятся:

1) к выявлению и количественному определению перечисленных компонент с тем, чтобы использовать полученную модель для прогнозирования будущих значений ряда;

2) к построению модели взаимосвязи двух или более временных рядов.

Если временной ряд содержит только случайную компоненту, то уровни временного ряда будут независимы друг от друга. Если же временной ряд содержит тенденцию или циклические колебания, то значения каждого последующего уровня зависят от предыдущих.

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Автокорреляцию можно измерить количественно. Для этого рассчитывают линейный коэффициент корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого же ряда, сдвинутыми на один или несколько шагов во времени.

Известна рабочая формула линейного коэффициента корреляции

Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №1 - открытая онлайн библиотека (6.1.1)

В качестве фактора мы рассмотрим доходы предшествующего периода (уt-1), а в качестве результата – доходы текущего периода (уt), тогда приведенная выше формула примет вид

Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №2 - открытая онлайн библиотека (6.1.2.)

где

Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №3 - открытая онлайн библиотека - средний уровень по исходному ряду динамики, определенный без учета первого уровня,

а Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №4 - открытая онлайн библиотека - это средний уровень по ряду динамики, сдвинутому на одну дату.

Расстояние между уровнями временного ряда, для которых определяется коэффициент корреляции, называется лагом. Приведенная выше формула определяет величину автокорреляции между соседними уровнями, то есть при лаге = 1, поэтому этот коэффициент называют коэффициентом автокорреляции первого порядка. Допустим, r1 = 0,98. Полученное значение свидетельствует об очень сильной зависимости между доходами текущего и предшествующего периода и, следовательно, о наличии в ряду сильной линейной тенденции.

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями со сдвигом на две даты, то есть с лагом 2 и т.д.

С увеличением лага число пар, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается и, следовательно, снижается достоверность коэффициентов. Поэтому для обеспечения статистической достоверности лаг не должен быть больше, чем п / 4, где п – число уровней.

При анализе коэффициентов автокорреляции следует помнить следующее:

1) он определяется по формуле линейного коэффициента корреляции, таким образом, он измеряет тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней временного ряда. Для временных, рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции уровней может быть близким к нулю;

2) Знак коэффициента автокорреляции не указывает на направление тенденции в исходном ряду данных (возрастание или убывание). Большинство временных рядов экономических переменных содержат положительную автокорреляцию уровней, но при этом сам ряд может иметь и отрицательную тенденцию.

Если расположить коэффициенты по величине лага (то есть коэффициенты первого порядка, второго, третьего и т.д.), то мы получим автокорреляционную функцию временного ряда. График зависимости величины коэффициента автокорреляции от лага называют коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить структуру временного ряда. Выявить структуру временного ряда – это значит выявить наличие или отсутствие его основных компонент (Т – трендовой компоненты и S – сезонной или циклической компоненты). Ряд может состоять только из трендовой и случайной компонент; или циклической и случайной; может содержать только случайную компоненту или все три компоненты одновременно.

Если наиболее высоким оказался коэффициент первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка К, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в К моментов времени, Так, например, если при анализе временного ряда наиболее высокими оказались коэффициенты автокорреляции второго порядка, то ряд имеет циклы в два периода времени, то есть имеет так называемую пилообразную структуру. Наиболее высокий коэффициент четвертого порядка указывает на наличие в ряду цикла в четыре момента (периода) времени. Если ни один из коэффициентов не является статистически значимым, то можно сделать следующие предположения:

1) ряд не содержит ни тенденции, ни циклов, а состоит только из случайной компоненты;

2) ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Один из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда – это подбор и решение математического уравнения, которое бы отражало зависимость уровней ряда от фактора времени. Такие функции называются трендами, а способ построения такой функции – это способ аналитического выравнивания временного ряда.

Зависимость от времени может принимать разные формы, поэтому, как и в случае регрессионных уравнений, для построения трендов могут быть выбраны разные функции:

линейный тренд Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №5 - открытая онлайн библиотека ;

гипербола Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №6 - открытая онлайн библиотека ;

экспонента Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №7 - открытая онлайн библиотека , где е = 2,71828;

степенная функция Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №8 - открытая онлайн библиотека ;

парабола Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №9 - открытая онлайн библиотека и другие.

Параметры таких функций могут быть определены обычным МНК. Параметризация нелинейных трендов требует предварительной их линеаризации.

Как определить форму тренда? Существует несколько способов решения этой проблемы. Самый простой способ – это визуальный анализ графика зависимостей уровней ряда от времени. Второй способ – это определение основных показателей динамики. Если цепные абсолютные приросты для всего ряда примерно равны друг другу, то это линейный тренд; если примерно равны друг другу цепные коэффициенты роста, то функция может быть степенной или показательной. Третий способ определения формы тренда – это анализ коэффициентов автокорреляции. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни тесно коррелированны, и в этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка должен быть очень высокий.

Если есть подозрение на существование нелинейной зависимости, то следует прологарифмировать исходный ряд данных и определить коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция, тем выше будет автокорреляция логарифмов по сравнению с автокорреляцией исходных данных.

Если форму связи всеми перечисленными способами определить достаточно трудно, то перебирают все основные формы трендов, учитывая при этом соотношение числа наблюдений и числа определяемых параметров. Для каждого уравнения определяют коэффициент детерминации и выбирают уравнение с максимальным его значением (экспериментальный способ). Реализация этого метода предполагает компьютерную обработку данных.

Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и показательного трендов. Параметры линейного тренда Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №5 - открытая онлайн библиотека интерпретируются следующим образом: Параметр а – начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0; b – средний абсолютный прирост уровней ряда за один период.

Уравнение показательного тренда имеет вид Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №11 - открытая онлайн библиотека . Параметр а – начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0, а показатель степени t - это средний за единицу времени коэффициент роста уровней ряда.

Если форма тренда описывается параболой, то качественный анализ такого тренда предполагает определение поворотных точек в динамике, замедления или ускорения темпов изменения, начиная с определенного момента времени под влиянием ряда факторов. В случае, если уравнение тренда выбрано неверно, то результаты анализа и прогнозирования динамики временного ряда с использованием выбранного уравнения будут недостоверными вследствие ошибок спецификации.

Для оценки пригодности уравнения тренда для прогноза, также как и для регрессионной модели, может быть рассчитана средняя ошибка аппроксимации

Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №12 - открытая онлайн библиотека (%)

Если ее величина не превышает 8-10%, то уравнение тренда может быть использовано в прогнозировании будущих значений результативного признака.

Изучение взаимосвязи экономических переменных по данным временных рядов осложнено тем, что в этих рядах может быть тенденция. Если в ряду динамики переменной у и в ряду динамики х есть компонента «Т», то в результате мы получим тесную связь между у и х. Однако из этого факта еще нельзя делать вывод о том, что изменение х есть причина изменения у, то есть что между этими изменениями есть причинно-следственная связь.

Чтобы выявить причинно-следственную зависимость между переменными, необходимо устранить ложную корреляцию между ними, вызванную наличием тенденции.

Существует несколько способов исключения тенденции в рядах динамики. Первый способ называется метод отклонений от тренда. Пусть имеется уt= Т + е и хt= Т + е. Проводится аналитическое выравнивание каждого ряда: Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №13 - открытая онлайн библиотека и Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №14 - открытая онлайн библиотека , где Ту и Тх – это оценки трендовых компонент. Затем определяется остаток в каждом наблюдении Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №15 - открытая онлайн библиотека и

Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №16 - открытая онлайн библиотека ,так как остаточная компонента не содержит тенденции. Далее изучается зависимость между самими остатками еу=f(ех). Если между переменными есть связь, то она проявится в согласованном изменении остатков. Недостатком данного способа является то, что содержательная интерпретация параметров такой модели затруднительна. Однако модель может быть использована для прогнозов и, кроме того, коэффициент парной корреляции между остатками отразит связь переменных.

Второй способ преодоления тенденции в рядах динамики – это метод последовательных разностей. Если временной ряд содержит ярко выраженную линейную тенденцию, то для ее устранения можно заменить исходные уровни разностями первого порядка, то есть цепными абсолютными приростами: Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №17 - открытая онлайн библиотека и Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №18 - открытая онлайн библиотека . Далее прирост у рассматривается как функция прироста х:

Недостатком второго способа является потеря информации (приростов на единицу меньше, чем уровней), что в условиях малого числа наблюдений крайне нежелательно. Достоинством является возможность интерпретации параметров. Коэффициент регрессии b покажет изменение прироста результата при единичном изменении прироста фактора.

Третьим способом является включение в модель регрессии фактора времени: yt= a+b1x1+ b2 t. В данном случае коэффициенты чистой регрессии легко интерпретируются, имеют естественные единицы измерения. Коэффициент b1 покажет на сколько единиц изменится результат при единичном изменении фактора при условии существования неизменной тенденции; коэффициент b2 отразит влияние всех прочих факторов, формирующих тенденцию, кроме x1. Однако данный способ построения регрессионной модели требует большего объема наблюдений, так как в модели появляется еще один параметр.

Если тренды признаков являются экспонентами (или показательными функциями), то вместо корреляции абсолютных отклонений от трендов можно применить метод корреляции цепных темпов роста уровней, поскольку именно темпы роста – основной параметр экспоненциальных и показательных трендов.

Критерий Дарбина-Уотсона

Ранее мы сказали, что по данным временных рядов могут быть исследованы причинно-следственные связи переменных. Первые два метода исключения тенденции приводят к тому, что вместо исходных уровней ряда мы исследуем зависимость между остатками в рядах динамики, оговариваясь при этом, что остатки не должны содержать тенденции. В противном случае ее присутствие вызвало бы ложную корреляцию.

Однако при моделировании временных рядов встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или цикличность. В этом случае остатки не являются независимыми, каждое последующее значение остатка зависит от предыдущего. Это явление получило название автокорреляция остатков.

Назовем причины существования автокорреляции остатков:

1) в модель не включен фактор, оказывающий существенной воздействие на результат; его влияние будет отражаться в остатках, то есть они могут быть автокоррелированы;

2) модель не учитывает влияние нескольких второстепенных факторов, совместное влияние которых может быть существенным (если их тенденции совпадают или фазы цикличности совпадают);

3) автокорреляция остатков может заключаться в неверной функциональной спецификации модели.

Существуют два способа определения автокорреляции в остатках. Первый заключается в визуальном анализе графика зависимостей остатков от времени. Второй способ предполагает использование критерия Дарбина-Уотсона. Величину критерия (d) можно определить по одной из формул

Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №19 - открытая онлайн библиотека (6.1.4)

либо d Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №20 - открытая онлайн библиотека 2(1 – re1) (6.1.5.),

где re1 – коэффициент автокорреляции остатков первого порядка.

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция, то re1=1 и d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то

re1=-1 и d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то re1=0 и d = 2.

На практике используется следующий алгоритм проверки гипотезы об автокорреляции остатков:

1. выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках;

2. определяется фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона (d);

3. по специальным таблицам (приложение учебника по эконометрике) находят критические значения критерия dL и du , где п –число наблюдений, k- независимых переменных в модели, Эконометрическое моделирование основной тенденции развития временного ряда. взаимосвязей на основе данных временных рядов - №21 - открытая онлайн библиотека - уровень значимости;

4. числовой промежуток всех возможных значений d разбивается на 5 отрезков

Есть положи-тельная автокорре-ляция остатков Зона неопределен-ности Автокорреля-ция остатков отсутствует Зона неопределен-ности Есть отрицательная автокорреля-ция остатков

0 d L d u 2 4- d u 4 - d L 4

5. если d - фактическое попадает в зону неопределенности, то предполагают существование автокорреляции в остатках.

В последнем случае исследовать причинно-следственные связи переменных по остаткам нельзя, получим ложную корреляцию.

Моделирование временных рядов имеет определенную специфику. При развитии любого процесса, в том числе экономического, каждый уровень развития всегда в какой-то мере зависит от уровней того же процесса за предыдущие периоды или моменты времени. Исследование автокорреляции уровней позволяет определить основные группы факторов, формирующих этот процесс. Анализ автокорреляции в остатках позволяет выявить ложную корреляцию и дает возможность изучения истинных связей переменных в рядах динамики