Ожидаемая доходность портфеля

Значение ожидаемой доходности переоценить невозможно, т.к. она служит мерой потенциального вознаграждения, связанного с управлением портфелем. Для финансовых менеджеров ожидаемая доходность является исходной информацией для принятия решений.

Составляя портфель из различных активов, менеджер не может точно определить будущую динамику доходности портфеля и соответствующих рисков, поэтому портфель строится на показателях ожидаемых их значений. Вероятностное прогнозирование включает в себя определение различных альтернативных результатов и вероятностей того, что они будут достигнуты. Такие прогнозы могут быть сделаны только на основе прошлых наблюдений или путем сочетания наблюдений в прошлом с оценками будущего.

Один из простейших показателей оценки ожидаемой доходности портфеля – средне-взвешенная величина (среднее, математическое ожидание доходов за период владения) прошлых значений доходности входящих в него активов. Поскольку портфель, формируемый менеджером, состоит из совокупности различных ценных бумаг, каждая из которых обладает своей ожидаемой доходностью, то ожидаемая доходность портфеля:

Ожидаемая доходность портфеля - №1 - открытая онлайн библиотека

где Ожидаемая доходность портфеля - №2 - открытая онлайн библиотека – ожидаемая (средняя) доходность портфеля;
  Ожидаемая доходность портфеля - №3 - открытая онлайн библиотека – удельный вес ценной бумаги в портфеле;
  Ожидаемая доходность портфеля - №4 - открытая онлайн библиотека – ожидаемая (средняя) доходность ценной бумаги.

Т.е. ожидаемая доходность портфеля является средневзвешенной ожидаемой доходностью ценных бумаг, входящих в портфель. В качестве весов служат относительные пропорции ценных бумаг, входящих в портфель.

Удельный вес ценной бумаги в портфеле определяется по формуле:

Ожидаемая доходность портфеля - №5 - открытая онлайн библиотека

где Ожидаемая доходность портфеля - №3 - открытая онлайн библиотека – удельный вес i-той ценной бумаги в портфеле;
  Ожидаемая доходность портфеля - №7 - открытая онлайн библиотека – стоимость i-той ценной бумаги;
  Ожидаемая доходность портфеля - №8 - открытая онлайн библиотека – стоимость портфеля.

Сумма всех удельных весов активов, входящих в портфель, равна единице или 100%.

Пример: Портфель состоит из трех активов А, В, и С с удельными весами 0,25 и 0,4 и 0,35, соответственно. Ожидаемые (средние за период) доходности активов равны 15,2 %, 14,8 %, 20,4%. Найти ожидаемую доходность портфеля.

Решение: Ожидаемая доходность портфеля - №9 - открытая онлайн библиотека

При использовании данных о вероятностном распределении доходности актива его ожидаемая доходность определяется как среднеарифметическая взвешенная доходность. При этом весами выступают вероятности каждого возможного исхода.

Ожидаемая доходность портфеля - №10 - открытая онлайн библиотека

где Ожидаемая доходность портфеля - №11 - открытая онлайн библиотека

Пример: Портфель инвестора состоит из двух активов: А и В. Инвестор планирует три исхода событий в будущем, характеристики которых приведены в таблице. Доля актива А портфеле 40%, доля актива В портфеле 60%. Определить ожидаемую доходность портфеля.



  Вероят- ность Доходность актива А Доходность актива В
Исход 1 0,3 -35 -15
Исход 2 0,25 -8
Исход 3 0,45 -5

Решение:

1. Ожидаемая доходность портфеля - №12 - открытая онлайн библиотека (-35*0,3) + (50*0,25) + (-5*0,45) = -10,5+12,5-2,25 = -0,25

2. Ожидаемая доходность портфеля - №13 - открытая онлайн библиотека (-15*0,3) + (-8*0,25) + (40*0,45 )= -4,5-2+18 = 11,5

3. Ожидаемая доходность портфеля - №14 - открытая онлайн библиотека (-0,25*0,4) + (11,5*0,6) = 6,8%

Ожидаемый риск портфеля

В общем случае предполагается, что инвестор избегает риска. Риск инвестора заключается в том, что он можетполучить доходность, отличную от ожидаемой. При этом часть портфельного риска привносится конкретным активом, а часть – самим рынком.

Риск портфеля может быть двух видов:

§ систематический (недиверсифицируемый, рыночный) риск, кото­рый включает в себя общие экономические условия и не устраняется путем диверсификации;

§ диверсифицируемый (несистематический) - риск, специфичный для каждого конкретного актива. Его величину можно изменять путем включения новых активов в портфель, т.е. путем диверсификации.

В практике портфельного инвестирования принято, что даже случайно выбранные 8-20 активов могут устранить диверсифицируемый риск. Идеальный портфель настолько диверсифицирован, что единственным риском является систематический риск.

Графически соотношения риска и возможность его снижения через диверсификацию можно представить следующим образом:

Ожидаемая доходность портфеля - №15 - открытая онлайн библиотека

Так как риск представляет собой величину вероятностную, в качестве меры диверсифицируемого риска используются статистические показатели разброса случайной величины: дисперсия и стандартное отклонение. Они показывают, насколько и с какой вероятностью фактическая доходность актива может отличаться от величины его ожидаемой доходности (средней за период). Хотя для инвестора риск состоит только в том, что фактически доходность окажется ниже ожидаемой, эти показатели учитывают отклонения в обе стороны (+/ -). Следовательно, чем меньше дисперсия (стандартное отклонение), тем ниже риск.

Дисперсия доходности актива i рассчитывается следующим образом:

Ожидаемая доходность портфеля - №16 - открытая онлайн библиотека

где Ожидаемая доходность портфеля - №17 - открытая онлайн библиотека – доходность актива в i-ом периоде;
  Ожидаемая доходность портфеля - №18 - открытая онлайн библиотека – ожидаемая доходность актива (средняя за период);

Таким образом, ожидаемые риски портфеля представляют собой сочетание дисперсий (стандартных отклонений) входящих в него активов.

Если доходность актива представлена выборкой данных за определенный период n (период наблюдения), рассчитывается величина выборочной дисперсии за представленный период на основе смещенных оценок:

Ожидаемая доходность портфеля - №19 - открытая онлайн библиотека

Пример: Доходность актива за 3 года представлена в таблице. Определить риск актива, представленный показателем выборочной дисперсии доходности.

Годы
Доходность (%)

Решение:

1. Ожидаемая доходность портфеля - №20 - открытая онлайн библиотека = (10+14+18)/3=14%

2. Ожидаемая доходность портфеля - №21 - открытая онлайн библиотека = ((10-14)2+(14-14)2+(18-14)2) / 3 = 10,67%

При использовании данных о вероятностном распределении доходности актива его риск, представленный дисперсией, рассчитывается по формуле:

Ожидаемая доходность портфеля - №22 - открытая онлайн библиотека

Применение дисперсии для оценки риска финансовых операций не всегда удобно, т.к. размерность дисперсии равна квадрату единицы измерения случайной величины. На практике результаты анализа более наглядны, если показатель выражен в тех же единицах, что и сама величина.

Для этого используется стандартное (среднеквадратическое) отклонение. Стандартное отклонение рассчитывается как квадратный корень из дисперсии.

Пример: Используя данные из вышеприведенного примера, определить стандартное отклонение.

Решение: Ожидаемая доходность портфеля - №23 - открытая онлайн библиотека

В связи с тем, что различные активы по-разному реагируют на конъюнктурные изменения рынка, ожидаемый риск портфеля в большинстве случаев не соответствует средневзвешенной величине стандартных отклонений доходностей входящих в него активов. Стандартное отклонение (риск) портфеля, состоящего из двух активов, на основе корреляции их доходностей вычисляется по следующей формуле:

Ожидаемая доходность портфеля - №24 - открытая онлайн библиотека

где Ожидаемая доходность портфеля - №25 - открытая онлайн библиотека – стандартное отклонение активов x и y;
  Ожидаемая доходность портфеля - №26 - открытая онлайн библиотека – коэффициент корреляции между активами x и y.

Пример: Портфель состоит из активов X и Y. Инвестор купил актив X на 300 тыс. руб., актив Y на 900 тыс. руб. Стандартное отклонение доходности актива X в расчете на год 20%, актива Y 30%, коэффициент корреляции доходностей активов 0,6. Определить риск портфеля, измеренный стандартным отклонением.

Решение:

1. Ожидаемая доходность портфеля - №27 - открытая онлайн библиотека = 300/(300+900) = 0,25;

2. Ожидаемая доходность портфеля - №28 - открытая онлайн библиотека = 900/(300+900) = 0,75;

3. Ожидаемая доходность портфеля - №29 - открытая онлайн библиотека .