Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения

Это уравнение можно получить, умножив векторно обе части второго закона Ньютона на радиус-вектор r, определяющий положение материальной точки или ЦМ тела относительно произвольного полюса О: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №1 - открытая онлайн библиотека . Тогда с учетом определений момента силы: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №2 - открытая онлайн библиотека и момента импульса Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №3 - открытая онлайн библиотека , а также представления Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №4 - открытая онлайн библиотека и определения углового ускорения Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №5 - открытая онлайн библиотека придем к уравнениям динамики вращательного движения

Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №6 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №7 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №8 - открытая онлайн библиотека .

Пример 1: К концам нити, перекинутой через цилиндрический блок массой M и радиусом R, привязаны два груза с одинаковой массой m. На один из грузов кладут перегрузок массой Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №9 - открытая онлайн библиотека . Найти ускорения грузов, силы натяжения нитей и силу давления перегрузка на тело.

Рис.62

Дано: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №11 - открытая онлайн библиотека . Найти: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №12 - открытая онлайн библиотека

Решение:Второй закон Ньютона для каждого из тел (рис.62) в проекциях на направление их ускорения и уравнение вращательного движения блока имеют вид

Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №13 - открытая онлайн библиотека или Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №14 - открытая онлайн библиотека .

Складывая эти три уравнения, получим Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №15 - открытая онлайн библиотека . Откуда ускорение тел

Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №16 - открытая онлайн библиотека . Реакции нитей Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №17 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №18 - открытая онлайн библиотека . Второй закон Ньютона для перегрузка Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №19 - открытая онлайн библиотека . Откуда реакция тела, на которое положен перегрузок Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №20 - открытая онлайн библиотека . Силы натяжения нитей и силу давления перегрузка на тело находим по третьему закону Ньютона Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №21 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №16 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №23 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №24 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №25 - открытая онлайн библиотека .

Пример 2. К концам нити, перекинутой через цилиндрический блок, привязаны два груза с одинаковой массой m. В разрезы нитей вставлены динамометры. На один из грузов кладут перегрузок массой Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №9 - открытая онлайн библиотека . Найти массу блока и ускорение движения грузов, если отношение сил натяжения нитей по показаниям динамометров равно Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №27 - открытая онлайн библиотека , где Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №28 - открытая онлайн библиотека – сила натяжения нити, к которой прикреплено тело с перегрузком.

Дано: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №29 - открытая онлайн библиотека . Найти: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №30 - открытая онлайн библиотека

Решение: Натяжения нитей найдены в примере 1. Откуда Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №31 - открытая онлайн библиотека и ускорение движения грузов Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №32 - открытая онлайн библиотека . Сила натяжения первой нити Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №33 - открытая онлайн библиотека , а второй Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №34 - открытая онлайн библиотека .

Согласно примеру 1 из уравнения вращательного движения блока следует, что Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №35 - открытая онлайн библиотека . Откуда масса блока Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №36 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №32 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №38 - открытая онлайн библиотека .

Пример 3.Диск радиуса R насажен на стержень радиуса r, изготовленный из того же материала, что и диск. Массы диска и стержня равны и Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №40 - открытая онлайн библиотека . На обод диска насажено кольцо массой Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №41 - открытая онлайн библиотека и внутренним и внешним радиусами Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №42 - открытая онлайн библиотека и R. Вся система (маятник Максвелла) подвешена на двух нитях одинаковой длины, прикрепленных по разные стороны диска к стержню (рис.63). В результате ось маятника параллельна горизонтальной поверхности. Маятник поднимают на высоту Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №43 - открытая онлайн библиотека , накручивая нити на стержень, и отпускают, и после рывка он поднимается на высоту Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №44 - открытая онлайн библиотека . Найти ускорение движения маятника до и после рывка нитей, время его движения от начальной точки до точки максимального подъема, модуль изменения его момента импульса и изменение модуля (величины) момента импульса при рывке нити и количество теплоты, выделившееся при этом.

Рис.63

Дано: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №46 - открытая онлайн библиотека Найти: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №47 - открытая онлайн библиотека

Решение: Масса маятника Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №48 - открытая онлайн библиотека . Моменты инерции диска, стержня и кольца относительно оси маятника Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №49 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №50 - открытая онлайн библиотека и Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №51 - открытая онлайн библиотека . Полный момент инерции маятника относительно его оси Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №52 - открытая онлайн библиотека . Момент инерции маятника относительно точек О касания нитей и стержня Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №53 - открытая онлайн библиотека .

До и после рывка нитей маятник движется под действием одного и того же набора сил (реакции нитей Tи его силы тяжести Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №54 - открытая онлайн библиотека ), поэтому ускорение Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №55 - открытая онлайн библиотека его ускоренного и замедленного движения до и после рывка нитей будет одинаковым. Его можно найти, например, написав уравнение вращательного движения маятника относительно точек О касания нитей и стержня . Откуда ускорение движения маятника Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №58 - открытая онлайн библиотека .

Его можно также найти, используя закон сохранения энергии: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №59 - открытая онлайн библиотека . Опять получим Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №60 - открытая онлайн библиотека .

Путь, проходимый маятником на любом участке его движения, дается уравнениями кинематики: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №61 - открытая онлайн библиотека . Откуда скорости маятника до и после рывка нити равны Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №62 - открытая онлайн библиотека и Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №63 - открытая онлайн библиотека . Время движения маятника до рывка нити Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №64 - открытая онлайн библиотека , а после рывка до точки максимального подъема Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №65 - открытая онлайн библиотека , и полное время движения маятника от начала его движения до точки максимального подъема равно Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №66 - открытая онлайн библиотека .

Моменты импульса маятника относительно его оси до и после рывка нитей равны и Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №68 - открытая онлайн библиотека . Тогда модуль изменения момента импульса маятника при рывке нитей с учетом, что после рывка нитей направление вектора Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №69 - открытая онлайн библиотека его момента импульса изменяется на противоположное, равен Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №70 - открытая онлайн библиотека . Но изменение модуля (величины) момента импульса будет равно Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №71 - открытая онлайн библиотека .

Количество теплоты, выделившееся при рывке нитей, с учетом, что кинетическая энергия маятника в начальной и конечной точках его движения равна нулю Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №72 - открытая онлайн библиотека , согласно закону сохранения энергии равно Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №73 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №74 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №48 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №53 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №58 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №78 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №62 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №63 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №81 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №82 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №73 - открытая онлайн библиотека .

Пример 4. Ось маятника Максвелла (пример 3) массой m и радиусом оси r подвешена на двух нитях одинаковой длины. Наматывая нить на ось, маятник поднимают на высоту Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №43 - открытая онлайн библиотека и отпускают, Через время Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №85 - открытая онлайн библиотека происходит рывок нити и маятник поднимается на высоту Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №44 - открытая онлайн библиотека . Найти ускорение движения маятника, время его движения от начальной точки до точки максимального подъема, его собственный момент инерции, модуль изменения его момента импульса и изменение модуля (величины) момента импульса при рывке нити и количество теплоты, выделившееся при этом.

Дано: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №87 - открытая онлайн библиотека .Найти: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №88 - открытая онлайн библиотека

Решение: Набор уравнений, описывающий движение тела, не зависит от структуры таблицы дано-найти, изменится лишь алгоритм решения задачи.

Согласно уравнениям примера 3 ускорение движения маятника Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №89 - открытая онлайн библиотека . Собственный момент инерции маятника: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №90 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №91 - открытая онлайн библиотека . Отношения времен подъема и опускания маятника Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №92 - открытая онлайн библиотека . Время движения маятника от начальной точки до точки его максимального подъема Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №93 - открытая онлайн библиотека . Скорости маятника перед рывком и после рывка нити – Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №94 - открытая онлайн библиотека и Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №95 - открытая онлайн библиотека .

Модуль изменения момента импульса маятника при рывке нитей Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №81 - открытая онлайн библиотека . Изменение модуля (величины) момента импульса Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №82 - открытая онлайн библиотека . Количество теплоты, выделившееся при рывке нитей Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №73 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №89 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №100 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №101 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №94 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №103 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №81 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №82 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №73 - открытая онлайн библиотека .

Пример 5. Круглое тело массой m с коэффициентом инерции k скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости с углом наклона α. Найти ускорение тела и силу трения, действующую на него, а также значение коэффициента трения, при котором скольжения не будет.

Рис.64

Дано: m, k, g, α. Найти: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №108 - открытая онлайн библиотека , μ –?

Решение: Возьмем полюс в точке О касания тела и плоскости (рис.64), через которую проходит мгновенная ось вращения тела (проскальзывание тела относительно плоскости отсутствует). Относительно этой точки моменты сил Nи Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №109 - открытая онлайн библиотека равны нулю: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №110 - открытая онлайн библиотека , а момент силы тяжести равен Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №111 - открытая онлайн библиотека . Момент инерции круглого тела относительно оси О по теореме Штейнера Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №112 - открытая онлайн библиотека , угловое ускорение вращения тела Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №113 - открытая онлайн библиотека . Тогда уравнение вращательного движения тела относительно оси О примет вид Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №115 - открытая онлайн библиотека . Отсюда ускорение скатывания тела Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №116 - открытая онлайн библиотека .

Если выбрать полюс в точке С (ЦМ тела), то моменты сил N и mg относительно оси С будут равны нулю: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №117 - открытая онлайн библиотека , а момент силы трения будет равен Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №118 - открытая онлайн библиотека . Момент инерции тела относительно оси С Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №119 - открытая онлайн библиотека , а угловое ускорение его вращения Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №113 - открытая онлайн библиотека .Тогда уравнение вращательного движения тела относительно оси С Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №121 - открытая онлайн библиотека примет вид Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №122 - открытая онлайн библиотека . Откуда Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №123 - открытая онлайн библиотека . Силу трения можно также найти из второго закона Ньютона для ЦМ тела: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №124 - открытая онлайн библиотека . Результат будет прежним. Найденная сила трения сцепления аналогична силе трения покоя. Как известно, максимальная сила трения покоя Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №125 - открытая онлайн библиотека В данной задаче Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №126 - открытая онлайн библиотека Следовательно, Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №127 - открытая онлайн библиотека Отсюда Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №128 - открытая онлайн библиотека

Ответ: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №129 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №130 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №128 - открытая онлайн библиотека

Пример 6. Два круглых тела с коэффициентами инерции Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №132 - открытая онлайн библиотека (полый цилиндр) и Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №133 - открытая онлайн библиотека (сплошной цилиндр) одинаковой массы и одинаковыми радиусами начинают скатываться без проскальзывания с наклонной плоскости высотой h и углом наклона α одновременно. Найти скорости тел в основании наклонной плоскости и времена их скатывания с нее. Во сколько раз отличаются ускорения, времена скатывания тел и их скорости в основании наклонной плоскости?

Дано: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №134 - открытая онлайн библиотека . Найти: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №135 - открытая онлайн библиотека

Решение: Ускорения тел найдены в примере 5. При скатывании тела проходят одинаковые пути Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №136 - открытая онлайн библиотека . Откуда время скатывания тела Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №137 - открытая онлайн библиотека , а его скорость в основании наклонной плоскости Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №138 - открытая онлайн библиотека . Отношения ускорений, времен и скоростей тел: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №139 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №140 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №141 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №142 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №143 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №144 - открытая онлайн библиотека .

Пример 7. Круглое тело с коэффициентом инерции Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №145 - открытая онлайн библиотека скатывается с наклонной плоскости с углом наклона α без проскальзывания и оказывается в основании наклонной плоскости через время t. Найти высоту наклонной плоскости и скорость тела в ее основании.

Дано: α, k, g,t. Найти:h-?,v-?

Решение: Согласно примеру 3 ускорение скатывания тела Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №146 - открытая онлайн библиотека . Путь, проходимый телом вдоль наклонной плоскости Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №147 - открытая онлайн библиотека . Откуда высота наклонной плоскости Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №148 - открытая онлайн библиотека , а скорость тела в ее основании Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №149 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №150 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №151 - открытая онлайн библиотека .

Пример 8. Два круглых тела скатываются с наклонной плоскости без проскальзывания. При этом оказалось, что отношение времен их скатывания Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №152 - открытая онлайн библиотека . Во сколько раз отличаются ускорения скатывания тел и их скорости в основании наклонной плоскости? Чему равен коэффициент инерции второго тела, если коэффициент инерции первого тела равен Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №153 - открытая онлайн библиотека ?

Дано: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №154 - открытая онлайн библиотека .Найти: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №155 - открытая онлайн библиотека

Решение: При скатывании с наклонной плоскости тела проходят одинаковые пути Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №156 - открытая онлайн библиотека . Откуда Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №157 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №158 - открытая онлайн библиотека . Согласно примеру 4 Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №159 - открытая онлайн библиотека , откуда Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №160 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №161 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №162 - открытая онлайн библиотека , Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного движения - №160 - открытая онлайн библиотека .