Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма)

Фермионы (электрон, мюон, кварки, протон, нейтрон, нейтрино и т.д.) подчиняются статистике Ферми-Дирака; бозоны (фотоны, гравитоны, бозонные резонансы, составные частицы из чётного числа фермионов и т.д.) – Бозе-Эйнштейна. Бозе Шатындрант (1894-1974) – индийский физик; 1924-1925 работал в Париже у М. Склодовской-Кюри; один из создателей статистики бозонов. Вывел закон Планка для теплового излучения.

Различия между статистиками Максвелла-Больцмана, Ферми-Дирака, Бозе-Эйнштейна понятны на примере подсчёта числа возможных состояний двух частиц (рис. 13.4).

Классическая статистика Максвелла-Больцмана (различимые частицы) Квантовая статистика Ферми-Дирака (неразличимые частицы, подчиняющиеся принципу Паули)   Квантовая статистика Бозе-Эйнштейна (неразличимые частицы)
  Ab a a aa  
  ab         aa  
  A b       a a  
  B a              
4 состояния 1 состояние 3 состояния
                       

Рис.13.4

Схема вывода функций распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна следующая:

- методами комбинаторики находят термодинамическую вероятность состояния W­­b – число способов, которыми Ni­­ неразличимых объектов можно разместить по Zi­­ ячейкам (состояниям с энергиями Wi);

- поскольку равновесное состояние является наиболее вероятным, методом неопределённых множителей Лагранжа находят экстремум функции ln Wb;

- после потенцирования полученных выражений приходят к искомым соотношениям.

Прежде чем записывать квантовые функции распределения, обобщим I начало термодинамики. Изменение внутренней энергии системы dU может происходить не только за счёт сообщения ей тепла dQ=TdS и совершения работы над системой dA=- pdV, но и в процессе массообмена с внешней средой:

dU = TdS - pdV + mdN. (13.13)

Величина m = Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №1 - открытая онлайн библиотека (13.14) называется химическим потенциалом и представляет собой изменение внутренней энергии системы, приходящееся на одну частицу, при изохорно-изоэнтропийном процессе.

Можно показать, что функции распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака имеют соответственно следующий вид:

fM-Б (W) > 0,

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №2 - открытая онлайн библиотека , (13.15)

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №3 - открытая онлайн библиотека . (13.16)

Для бозонов fБ-Э(W) > 0, для фермионов 0 £ fФ-Д(W) £ 1. Функции распределения в классической и квантовой статистике, введенные как среднее число частиц в данном энергетическом состоянии, могут быть выражены единой формулой:

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №4 - открытая онлайн библиотека (13.17)

Если W >> m и Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №5 - открытая онлайн библиотека >>d , то квантовые статистики переходят в классическую, которую можно рассматривать как их предельный случай.

Газ называется вырожденным, если его свойства отличаются от свойств классического идеального газа. В вырожденном газе происходит взаимное квантово-механическое влияние частиц, обусловленное их неразличимостью. Степень вырождения характеризуют параметром вырождения A= Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №6 - открытая онлайн библиотека , тогда:

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №7 - открытая онлайн библиотека . (13.18)

Если А<< 1, то Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №5 - открытая онлайн библиотека /А<<1 и функция f с точностью до множителя превращается в функцию распределения Максвелла fM-Б : f(W) @ А fМ-Б(W).

Сравнительно легко оценить температурный критерий вырождения газа. Вырождение обычных газов сказывается при низких температурах, что несправедливо для электронного и фотонного газа.

Параметр вырождения находится из условия нормировки функции распределения

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №9 - открытая онлайн библиотека , (13. 19) означающего сохранение в системе общего числа частиц:

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №10 - открытая онлайн библиотека . Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №11 - открытая онлайн библиотека (13.20)

Условие малости вырождения: А<<1 .

 
На оси термодинамических температур существует некоторая температура вырождения ТВ , которая разделяет две области: вырожденного и невырожденного классического газа (рис.13.5).

 
  Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №12 - открытая онлайн библиотека


Температурой вырождения ТВ называется температура, при которой вырождение становится существенным. Она определяется из условия А=1, откуда

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №13 - открытая онлайн библиотека . (13.21)

Т.o. температурный критерий вырождения имеет вид:

Т £ ТВ - система частиц вырождена и подчиняется

квантовым статистикам;

Т>>ТВ - система не вырождена и подчиняется

классической статистике. Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №11 - открытая онлайн библиотека

Примеры:

а) фотонный газ, m = O, TВ ® ¥. Фотонный газ при любых конечных температурах является вырожденным.

б) электронный газ в металлах no@1029 м-3, ТВ @2×104 К, m=9,1×10-31кг. Только при Т ® Тв (т.е. выше десятков тысяч градусов Кельвина) электроны металла подчинялись бы классической статистике Максвелла-Больцмана. Но при таких температурах металл не может существовать в конденсированном состоянии. Классическое описание приводит в ряде случаев к противоречию с опытными данными.

в) электронный газ в полупроводниках, no @ 1018м-3, ТВ @ 10-4К - электронный газ в полупроводниках является невырожденным и подчиняется классической статистике.

г) атомные и молекулярные газы. Для водорода Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №15 - открытая онлайн библиотека при нормальных условиях ( Т @ 300К,no @ 3 1025м-3) ТB @ 1К; для более тяжелых газов ТB < 1К. Газы при нормальных условиях не бывают вырожденными. Вырождение газов, связанное с их квантовыми свойствами, проявляется в меньшей степени, чем отклонение от идеальности, вызванное межмолекулярным взаимодействием.

Отличие свойств вырожденного электронного газа от обычного понятна на следующем примере. Невырожденный тем идеальнее, чем меньше потенциальная энергия взаимодействия его молекул по сравнению с кинетической, что наблюдается при малых плотностях газа. Потенциальная энергия взаимодействия электронов U= Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №16 - открытая онлайн библиотека , где a - среднее расстояние между электронами a~ Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №17 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, U~ Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №18 - открытая онлайн библиотека Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №19 - открытая онлайн библиотека . Кинетическая энергия электронов Ek~ Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №20 - открытая онлайн библиотека . Следовательно с ростом концентрации электронов Еk растет быстрее, чем U. Поэтому электронный газ ближе к идеальному при больших концентрациях.

§ 13.3. Примеры использования квантовых статистик.

­1. В полости объема V при Т=const в состоянии термодинамического равновесия со стенками находится излучение абсолютно-чёрного тела. Поскольку для фотонов спин равен Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №21 - открытая онлайн библиотека , его можно рассматривать как фотонный газ, подчиняющийся статистике Бозе-Эйнштейна . Для фотонов m = О и распределение Бозе-Эйнштейна имеет вид:

¦Б-Э= Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №22 - открытая онлайн библиотека . (13.22)

Это объясняется непостоянством числа фотонов в полости и их зависимостью от температуры. Равновесность излучения достигается за счет излучения и поглощения стенками полости.

Запишем функцию распределения Планка для излучения абсолютно черного тела:

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №23 - открытая онлайн библиотека П(l,T)= Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №24 - открытая онлайн библиотека . (13.23)

Следовательно, распределение Планка вытекает из распределения Бозе-Эйнштейна.

Запишем функцию распределения Вина:

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №23 - открытая онлайн библиотека В(l,T)= Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №26 - открытая онлайн библиотека . (13.24)

Cледовательно функция Вина вытекает из распределения Максвелла-Больцмана.

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №27 - открытая онлайн библиотека 2. Анализ распределения Ф-Д для электронного газа при Т=0 К. Пусть при Т=0 К m=mо. Если Т® 0, W< mo, то¦Ф-Д =1; если Т® 0, W > mo, то ¦Ф-Д =0. Смысл этого результата: при Т=0 К все энергетические состояния равномерно заполнены по одному электрону в каждом состоянии вплоть до энергии WF =mo, которая называется энергией Ферми и представляет собой максимальную энергию, которую могут иметь электроны в металле при Т=0 К (рис. 13.6).

 
 
fФ-Д= Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №28 - открытая онлайн библиотека


(13.25)

Распределение Ферми-Дирака нечувствительно к изменению температуры. Функция ¦Ф-Д (W) искажается в интервале 2kT, так что ¦Ф-Д(m)=1/2 (рис.13.7).

 
  Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №29 - открытая онлайн библиотека


Зависимость химического потенциала m от температуры имеет вид:

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №30 - открытая онлайн библиотека (13.26)

WF>>kT, поэтому m(T) @WF, A @ exp Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №31 - открытая онлайн библиотека >>1 - электронный газ в металле всегда вырожден.

С помощью распределения Ферми-Дирака можно объяснить вопросы, связанные с распределением импульсов, скоростей, энергии электронов, теплоёмкости электронного газа, сверхпроводимости металлов.

Внутренняя энергия моля электронного газа:

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №32 - открытая онлайн библиотека . (13.27)

Чтобы оценить результаты, даваемые квантовой статистикой, сравним их с классической электронной теорией. Её основными законами являются законы Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №33 - открытая онлайн библиотека , (13.28)

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №34 - открытая онлайн библиотека , (13.29) где удельное сопротивление:

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №35 - открытая онлайн библиотека . (13.30) Здесь <l> - средняя длина свободного пробега электронов,

<u> - средняя арифметическая скорость теплового движения.

Основными недостатками электронной теории являются невозможность объяснить:

- экспериментально наблюдаемую в широком интервале температур линейную зависимость между удельным сопротивлением r и абсолютной температурой

rэкс ~ T. (13.31)

Поскольку <u> ~ T1/2, то

rэкс ~ T1/2. (13.32)

- значение молярной теплоёмкости металлов.

Согласно экспериментальному закону Дюлонга и Пти:

СМ мет.Экс. @ СМ тв.м. @ Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №36 - открытая онлайн библиотека @ Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №37 - открытая онлайн библиотека . (13.33)

В соответствии с классической теорией:

СМ мет.теор. @ Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №38 - открытая онлайн библиотекаМ ион.кр.реш. + См Эл.газа = = Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №36 - открытая онлайн библиотека + Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №40 - открытая онлайн библиотека @ Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №37 - открытая онлайн библиотека + Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №42 - открытая онлайн библиотека = Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №43 - открытая онлайн библиотека , (13.34) т.е. электронная составляющая теплоёмкости металлов как бы отсутствует.

В соответствии с квантовой теорией электропроводности металлов удельная электропроводность определяется соотношением:

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №44 - открытая онлайн библиотека , (13.35)

где <lF> - средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми;

uF - скорость теплового движения такого электрона.

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №45 - открытая онлайн библиотека , (13.36) где Е - модуль упругости Юнга;

d - период кристаллической решётки.

Подставляя (13.36) в (13.31), получим:

r теор.= Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №46 - открытая онлайн библиотека Т~Т. (13.37)

Для Ag r теор ~5·107 Ом-1м-1, r экс ~6·107 Ом-1м-1. При очень низких температурах формула (13.37) не справедлива. В этом случае <lF>~1/T5 и r теор 5.

Молярная теплоёмкость электронного газа

СМ Эг.кв. = Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №47 - открытая онлайн библиотека = Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №48 - открытая онлайн библиотека . (13.38)

Классическая физика даёт результат:

СМ Эг.кв. = Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №49 - открытая онлайн библиотека . (13.39)

Отсюда

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №50 - открытая онлайн библиотека . (13.40)

Для комнатных температур kT/WF ~ 0,01, поэтому

Принцип Паули д: в данной системе тождественных фермионов любые два не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии (т.е. в одной и той же ячейке фазового объёма) - №51 - открытая онлайн библиотека ~0,03, (13.41) т.е. теплоёмкость электронного газа ничтожно мала. Это связано с тем, что в процессе изменения внутренней энергии электронного газа при нагревании участвует незначительное число электронов, находящихся в области спада функции распределения fФ-Д.

Приложения. Дополнительные разделы квантовой механики.