Пусть некоторое радиоактивное вещество содержит в себе N атомов с неустойчивыми ядрами. Закон N=N(t) изменения числа радиоактивных ядер с течением времени можно установить следующим образом. Пусть dN есть приращение функции N = N(t), которое она получила за время от некоторого момента t до t + dt. Так как эта функция является убывающей, ее приращение dN < 0. Поэтому число ядер, которые испытали за время dt радиоактивный распад, равно - dN. Очевидно, что это число должно быть пропорционально числу N(t) радиоактивных ядер и времени dt:
- dN = λ N dt. (23.9)
Коэффициент пропорциональности λ называется постоянной распада. Каждое радиоактивное вещество характеризуется своей постоянной распада. Уравнение (23.9) есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, т.е. его можно записать в виде
Интегрирование этого равенства приводит к зависимости
N ( t ) = N0 e –λt (23.10)
которая выражает собой закон радиоактивного распада. В этой формуле No - постоянная интегрирования, которая равна числу радиоактивных ядер, имевшихся в веществе в момент времени t = 0.
Найдем отношение чисел N(t) и N(t + Т) радиоактивных ядер в моменты времени t и t + Т:
Если это отношение равно 2, то промежуток времени Т называется периодом полураспада:
eλT = 2 (23.11)
По определению период полураспада есть время, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшается в два раза.