Основные методы интегрирования

Метод преобразования подынтегрального выражения. Метод основан на преобразовании функции f(x) к такому виду, чтобы интеграл сводился к вычислению нескольких табличных интегралов.

Примеры.

1) Основные методы интегрирования - №1 - открытая онлайн библиотека .

2) Основные методы интегрирования - №2 - открытая онлайн библиотека .

3) Основные методы интегрирования - №3 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №4 - открытая онлайн библиотека .

4) Основные методы интегрирования - №5 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №6 - открытая онлайн библиотека .

5) Основные методы интегрирования - №7 - открытая онлайн библиотека .

6) Основные методы интегрирования - №8 - открытая онлайн библиотека .

7) Основные методы интегрирования - №9 - открытая онлайн библиотека .

8) Основные методы интегрирования - №10 - открытая онлайн библиотека .

9) Основные методы интегрирования - №11 - открытая онлайн библиотека Основные методы интегрирования - №12 - открытая онлайн библиотека

Одним из эффективных способов нахождения неопределенных интегралов является преобразование подынтегрального выражения с целью выделения дифференциала новой переменной интегрирования (простейшая замена переменной).

10) Основные методы интегрирования - №13 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №14 - открытая онлайн библиотека .

11) Основные методы интегрирования - №15 - открытая онлайн библиотека .

12) Основные методы интегрирования - №16 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №17 - открытая онлайн библиотека .

13) Основные методы интегрирования - №18 - открытая онлайн библиотека .

14) Основные методы интегрирования - №19 - открытая онлайн библиотека .

Метод замены переменной (метод подстановки).Имеет место следующая теорема, которая обосновывает метод:

Теорема 2.Пусть выполняются условия:

а) функция f(x) определена на промежутке Основные методы интегрирования - №20 - открытая онлайн библиотека ;

б) функция x= Основные методы интегрирования - №21 - открытая онлайн библиотека определена на промежутке Т и Основные методы интегрирования - №22 - открытая онлайн библиотека ;

в) Основные методы интегрирования - №21 - открытая онлайн библиотека непрерывна и дифференцируема на Т;

г) f(x) имеет первообразную F(x) на Х.

Тогда справедлива формула

Основные методы интегрирования - №24 - открытая онлайн библиотека . (1)

□ Функции f(x) и F(x) определены на Х. По условию Основные методы интегрирования - №25 - открытая онлайн библиотека , тогда имеют смысл сложные функции Основные методы интегрирования - №26 - открытая онлайн библиотека и Основные методы интегрирования - №27 - открытая онлайн библиотека . Поскольку F(x) есть первообразная для f(x) на Х, то Основные методы интегрирования - №28 - открытая онлайн библиотека . Функция Основные методы интегрирования - №21 - открытая онлайн библиотека по условию непрерывна и дифференцируема на промежутке Т. Поэтому Основные методы интегрирования - №27 - открытая онлайн библиотека непрерывна и дифференцируема на Т как сложная функция. Дифференцируем ее как сложную функцию:

Основные методы интегрирования - №31 - открытая онлайн библиотека .

Следовательно, Основные методы интегрирования - №32 - открытая онлайн библиотека имеет первообразную функцию Основные методы интегрирования - №27 - открытая онлайн библиотека . Откуда следует формула (1). ■

Запишем левую часть (1) по-другому:

Основные методы интегрирования - №34 - открытая онлайн библиотека .

Если Основные методы интегрирования - №35 - открытая онлайн библиотека , то получим формулу:

Основные методы интегрирования - №36 - открытая онлайн библиотека .

Применение этой формулы удобно, потому что вместо интеграла Основные методы интегрирования - №37 - открытая онлайн библиотека , обозначив Основные методы интегрирования - №35 - открытая онлайн библиотека , получаем интеграл Основные методы интегрирования - №39 - открытая онлайн библиотека ,который вычислять проще, чем исходный.

Используя последнюю формулу, таблицу интегралов можно записать в более общем виде. Так, если некоторая переменная u является функцией переменной x, то есть Основные методы интегрирования - №40 - открытая онлайн библиотека , то справедливы формулы:

Основные методы интегрирования - №41 - открытая онлайн библиотека ;

Основные методы интегрирования - №42 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №43 - открытая онлайн библиотека ;

Основные методы интегрирования - №44 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №45 - открытая онлайн библиотека ;

Основные методы интегрирования - №46 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №47 - открытая онлайн библиотека ;

Основные методы интегрирования - №48 - открытая онлайн библиотека ;

Основные методы интегрирования - №49 - открытая онлайн библиотека ;

Основные методы интегрирования - №50 - открытая онлайн библиотека ;

Основные методы интегрирования - №51 - открытая онлайн библиотека ;

Основные методы интегрирования - №52 - открытая онлайн библиотека ;

Основные методы интегрирования - №53 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №54 - открытая онлайн библиотека ;

Основные методы интегрирования - №55 - открытая онлайн библиотека ;

Основные методы интегрирования - №56 - открытая онлайн библиотека ,-a<u<a.

Примеры.1) Основные методы интегрирования - №57 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №58 - открытая онлайн библиотека .

2) Основные методы интегрирования - №59 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №60 - открытая онлайн библиотека .

3) Основные методы интегрирования - №61 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №62 - открытая онлайн библиотека .

4) Основные методы интегрирования - №63 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №64 - открытая онлайн библиотека

Последний интеграл является табличным интегралом типа 8 или 9в зависимости от знака Основные методы интегрирования - №65 - открытая онлайн библиотека . Заменой Основные методы интегрирования - №66 - открытая онлайн библиотека вычисляются также следующие интегралы:

Основные методы интегрирования - №67 - открытая онлайн библиотека ; Основные методы интегрирования - №68 - открытая онлайн библиотека ; Основные методы интегрирования - №69 - открытая онлайн библиотека .

5) Вычислить интеграл Основные методы интегрирования - №70 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Положим Основные методы интегрирования - №71 - открытая онлайн библиотека , тогда Основные методы интегрирования - №72 - открытая онлайн библиотека . Отсюда Основные методы интегрирования - №73 - открытая онлайн библиотека . Тогда

Основные методы интегрирования - №74 - открытая онлайн библиотека .

Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем

Основные методы интегрирования - №75 - открытая онлайн библиотека .

Замечание. При замене переменной в неопределенном интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию Основные методы интегрирования - №76 - открытая онлайн библиотека , а, наоборот, задавать t как функцию от х.

6) Вычислить интеграл Основные методы интегрирования - №77 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Положим Основные методы интегрирования - №78 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №79 - открытая онлайн библиотека , тогда

Основные методы интегрирования - №80 - открытая онлайн библиотека ,

так что

Основные методы интегрирования - №81 - открытая онлайн библиотека .

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо хорошо владеть техникой дифференцирования и знать табличные интегралы.

7) Вычислить интеграл Основные методы интегрирования - №82 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Положим Основные методы интегрирования - №83 - открытая онлайн библиотека , откуда Основные методы интегрирования - №84 - открытая онлайн библиотека . Таким образом,

Основные методы интегрирования - №85 - открытая онлайн библиотека ,

так что

Основные методы интегрирования - №86 - открытая онлайн библиотека .

8) Вычислить интеграл Основные методы интегрирования - №87 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Положим Основные методы интегрирования - №88 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №89 - открытая онлайн библиотека . Тогда

Основные методы интегрирования - №90 - открытая онлайн библиотека

9) Вычислить интеграл Основные методы интегрирования - №91 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №92 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Положим Основные методы интегрирования - №93 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №94 - открытая онлайн библиотека , тогда

Основные методы интегрирования - №95 - открытая онлайн библиотека .

При Основные методы интегрирования - №96 - открытая онлайн библиотека аналогично получим

Основные методы интегрирования - №97 - открытая онлайн библиотека .

10) Основные методы интегрирования - №98 - открытая онлайн библиотека . Положим Основные методы интегрирования - №99 - открытая онлайн библиотека , тогда Основные методы интегрирования - №100 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №101 - открытая онлайн библиотека . Имеем

Основные методы интегрирования - №102 - открытая онлайн библиотека Основные методы интегрирования - №103 - открытая онлайн библиотека .

11) Основные методы интегрирования - №104 - открытая онлайн библиотека . Положим Основные методы интегрирования - №105 - открытая онлайн библиотека , тогда Основные методы интегрирования - №106 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №107 - открытая онлайн библиотека . Находим

Основные методы интегрирования - №108 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №105 - открытая онлайн библиотека .

12) Основные методы интегрирования - №110 - открытая онлайн библиотека .

Положим Основные методы интегрирования - №111 - открытая онлайн библиотека , откуда Основные методы интегрирования - №112 - открытая онлайн библиотека . Значит,

Основные методы интегрирования - №113 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №114 - открытая онлайн библиотека .

При интегрировании некоторых иррациональных функций часто используются тригонометрические подстановки.

13) Основные методы интегрирования - №115 - открытая онлайн библиотека . Положим Основные методы интегрирования - №116 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №117 - открытая онлайн библиотека , тогда Основные методы интегрирования - №118 - открытая онлайн библиотека . Следовательно,

Основные методы интегрирования - №119 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №120 - открытая онлайн библиотека .

14) Основные методы интегрирования - №121 - открытая онлайн библиотека . Положим Основные методы интегрирования - №122 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №117 - открытая онлайн библиотека ; тогда Основные методы интегрирования - №124 - открытая онлайн библиотека . Поэтому

Основные методы интегрирования - №125 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №126 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование по частям.Следующая теорема доказывает формулу интегрирования по частям.

Теорема 3. Если функции u(x) и v(x) непрерывны на промежутке Х, дифференцируемы во внутренних точках и существует интеграл Основные методы интегрирования - №127 - открытая онлайн библиотека , тогда на промежутке Основные методы интегрирования - №128 - открытая онлайн библиотека существует и интеграл Основные методы интегрирования - №129 - открытая онлайн библиотека , причём справедлива формула

Основные методы интегрирования - №130 - открытая онлайн библиотека

или Основные методы интегрирования - №131 - открытая онлайн библиотека . (2)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

□ На промежутке Х запишем формулу дифференцирования произведения для дифференциалов Основные методы интегрирования - №132 - открытая онлайн библиотека или Основные методы интегрирования - №133 - открытая онлайн библиотека . Интеграл от каждого слагаемого в правой части существует, т.к. Основные методы интегрирования - №134 - открытая онлайн библиотека , а Основные методы интегрирования - №135 - открытая онлайн библиотека - существует по условию. Тогда существует интеграл Основные методы интегрирования - №129 - открытая онлайн библиотека , причем Основные методы интегрирования - №137 - открытая онлайн библиотека , или Основные методы интегрирования - №131 - открытая онлайн библиотека

Практика показывает, что большая часть интегралов, которые вычисляются по формуле интегрирования по частям, может быть разбита на 3 группы:

1) Основные методы интегрирования - №139 - открытая онлайн библиотека ; Основные методы интегрирования - №140 - открытая онлайн библиотека , где Основные методы интегрирования - №141 - открытая онлайн библиотека - многочлен m-й степени. Эти интегралы вычисляются путём m-кратного интегрирования по частям по формуле (2), причём каждый раз за u(x) обозначают многочлен, т.е. Основные методы интегрирования - №142 - открытая онлайн библиотека , а Основные методы интегрирования - №143 - открытая онлайн библиотека .

2) Интегралы, в которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций: ln x, arcsin x, arccos x, arctgx, ln Основные методы интегрирования - №144 - открытая онлайн библиотека и т.д. Для вычисления интеграла за u(x) обозначают одну из указанных функций.

3) Интегралы вида: Основные методы интегрирования - №145 - открытая онлайн библиотека ; Основные методы интегрирования - №146 - открытая онлайн библиотека ; Основные методы интегрирования - №147 - открытая онлайн библиотека ; Основные методы интегрирования - №148 - открытая онлайн библиотека и т.д. Путём двукратного интегрирования по частям получают уравнение для данного интеграла.

Примеры.

1) Основные методы интегрирования - №149 - открытая онлайн библиотека . Основные методы интегрирования - №150 - открытая онлайн библиотека

2) Основные методы интегрирования - №151 - открытая онлайн библиотека .

3) Основные методы интегрирования - №152 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №153 - открытая онлайн библиотека .

4) Основные методы интегрирования - №154 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №155 - открытая онлайн библиотека .

Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.

5) Основные методы интегрирования - №156 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №157 - открытая онлайн библиотека

Основные методы интегрирования - №158 - открытая онлайн библиотека Основные методы интегрирования - №159 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, интеграл Основные методы интегрирования - №160 - открытая онлайн библиотека вычислен двукратным интегрированием по частям.

6) Основные методы интегрирования - №161 - открытая онлайн библиотека . Положим Основные методы интегрирования - №162 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №163 - открытая онлайн библиотека . Тогда Основные методы интегрирования - №164 - открытая онлайн библиотека , Основные методы интегрирования - №165 - открытая онлайн библиотека . Откуда по формуле интегрирования по частям имеем

Основные методы интегрирования - №166 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, получилось линейное уравнение относительно Основные методы интегрирования - №167 - открытая онлайн библиотека Основные методы интегрирования - №168 - открытая онлайн библиотека , откуда находим Основные методы интегрирования - №169 - открытая онлайн библиотека .

7) В заключение вычислим интеграл Основные методы интегрирования - №170 - открытая онлайн библиотека , который понадобится в дальнейшем. При Основные методы интегрирования - №96 - открытая онлайн библиотека имеем табличный интеграл

Основные методы интегрирования - №172 - открытая онлайн библиотека

Пусть Основные методы интегрирования - №173 - открытая онлайн библиотека . Представив 1 в числителе как разность Основные методы интегрирования - №174 - открытая онлайн библиотека , получим

Основные методы интегрирования - №175 - открытая онлайн библиотека

Во втором интеграле применим метод интегрирования по частям:

Основные методы интегрирования - №176 - открытая онлайн библиотека ,

тогда

Основные методы интегрирования - №177 - открытая онлайн библиотека

следовательно,

Основные методы интегрирования - №178 - открытая онлайн библиотека

откуда

Основные методы интегрирования - №179 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, интеграл Основные методы интегрирования - №180 - открытая онлайн библиотека выражен через интеграл Основные методы интегрирования - №181 - открытая онлайн библиотека :

Основные методы интегрирования - №182 - открытая онлайн библиотека

Такие формулы называются рекуррентными формулами.

Разделы: 6.3. Интегрирование рациональных функций. 6.4. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций изучаются на практических занятиях и самостоятельно.