Затухающие колебания

Во всяком реальном контуре обязательно присутствует активное сопротивление R. Соответственно выражение для закона Ома будет иметь вид (21.03):

Затухающие колебания - №1 - открытая онлайн библиотека или Затухающие колебания - №2 - открытая онлайн библиотека . (21.14)

Разделим (21.14) на Затухающие колебания - №3 - открытая онлайн библиотека и воспользуемся обозначением:

Затухающие колебания - №4 - открытая онлайн библиотека . (21.15)

Получаем дифференциальное уравнение, описывающее колебания в контуре с ненулевым активным сопротивлением:

Затухающие колебания - №5 - открытая онлайн библиотека (21.16)

Параметр Затухающие колебания - №6 - открытая онлайн библиотека называется коэффициентом затухания. По смыслу эта величина обратна времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.

Решение (21.16) при не слишком большом затухании имеет вид (как известно!):

Затухающие колебания - №7 - открытая онлайн библиотека (21.17)

«…при не слишком большом затухании» означает:

Затухающие колебания - №8 - открытая онлайн библиотека . (21.18)

В этом случае циклическая частота колебаний остается вещественной:

Затухающие колебания - №9 - открытая онлайн библиотека . (21.19)

Из (21.19) следует, что частота затухающих (т.е. при ненулевом сопротивлении в контуре) колебаний меньше собственной.

Для характеристики степени затухания колебаний используют логарифмический декремент затухания, который определяется соотношением:

Затухающие колебания - №10 - открытая онлайн библиотека . (21.20)

Напомним, что Затухающие колебания - №11 - открытая онлайн библиотека есть количество колебаний, совершаемых системой за время, пока амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.

В нашем случае Затухающие колебания - №12 - открытая онлайн библиотека и Затухающие колебания - №13 - открытая онлайн библиотека , поэтому

Затухающие колебания - №14 - открытая онлайн библиотека . (21.21)

поскольку Затухающие колебания - №15 - открытая онлайн библиотека определяется параметрами контура Затухающие колебания - №16 - открытая онлайн библиотека , то логарифмический декремент затухания l является характеристикой контура. Важно отметить, что соотношение (21.21) справедливо всегда, в отличии от широко используемого приближенного соотношения, которое мы сейчас рассмотрим.

При небольшом затухании Затухающие колебания - №17 - открытая онлайн библиотека ,и вторым слагаемым в (21.19) можно пренебречь. Тогда

Затухающие колебания - №18 - открытая онлайн библиотека . (21.22)

Затухающие колебания - №19 - открытая онлайн библиотека . (21.23)

Чаще для характеристики степени затухания колебаний используется добротность контура:

Затухающие колебания - №20 - открытая онлайн библиотека . (21.24)

Добротность контура, как и любой колебательной системы, пропорциональна Затухающие колебания - №21 - открытая онлайн библиотека .

Энергия, запасённая в контуре, пропорциональна квадрату напряжения на конденсаторе, а значит, уменьшается по закону:

Затухающие колебания - №22 - открытая онлайн библиотека . (21.25)

Тогда отношение энергии DW, теряемой в контуре за период к запасённой Затухающие колебания - №23 - открытая онлайн библиотека . (21.26)

Если (!) затухание невелико: l << 1, то Затухающие колебания - №24 - открытая онлайн библиотека , а значит

Затухающие колебания - №25 - открытая онлайн библиотека . (21.27)Отсюда находим, что

Затухающие колебания - №26 - открытая онлайн библиотека . (21.27)

Другими словами добротность пропорциональна отношению энергии запасённой в контуре к энергии, теряемой за период.