Закон сохранения момента импульса

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения относительно неподвижной оси для материальной точки

Закон сохранения момента импульса - №1 - открытая онлайн библиотека ,

т.е. производная по времени момента импульса материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна суммарному моменту действующих на нее внешних сил относительно той же оси.

В общем случае на материальную точку действуют как внешние силы, так и внутренние силы системы.

Закон сохранения момента импульса - №2 - открытая онлайн библиотека

Закон сохранения момента импульса - №3 - открытая онлайн библиотека Т.к. внутренние силы всегда попарно равны, противоположны по направлению и лежат вдоль одной прямой (рис. 1), независимо от расположения оси вращения О их плечи Закон сохранения момента импульса - №4 - открытая онлайн библиотека одинаковы, моменты этих сил относительно одной и той же оси так же всегда попарно равны и противоположны по направлению, поэтому

Закон сохранения момента импульса - №5 - открытая онлайн библиотека

Закон сохранения момента импульса - №6 - открытая онлайн библиотека

где Закон сохранения момента импульса - №7 - открытая онлайн библиотека = Закон сохранения момента импульса - №8 - открытая онлайн библиотека - общий момент импульса всех точек системы.

Для системы материальных точек:

Закон сохранения момента импульса - №9 - открытая онлайн библиотека ,

т.е. производная момента импульса системы материальных точек относительно какой-либо неподвижной оси равна суммарному моменту внешних сил относительно той же оси.

В частности, если для какой-то оси Закон сохранения момента импульса - №10 - открытая онлайн библиотека Закон сохранения момента импульса - №11 - открытая онлайн библиотека .

Это уравнение выражает закон сохранения момента импульса системы материальных точек: момент импульса системы относительно какой-либо неподвижной оси остается постоянным, если момент внешних сил относительно этой оси равен нулю.

Если система замкнута, Закон сохранения момента импульса - №12 - открытая онлайн библиотека Закон сохранения момента импульса - №10 - открытая онлайн библиотека Закон сохранения момента импульса - №14 - открытая онлайн библиотека , момент импульса замкнутой системы есть величина постоянная.

Если момент импульса сохраняется, то сохраняется и положение оси вращения тела, поэтому вращающееся тело при отсутствии внешних моментов устойчивее неподвижного. Это учитывается при изготовлении нарезного оружия, поскольку оно дает лучшую прицельность, чем гладкоствольное. Выпущенный из нарезного орудия снаряд вращается вокруг своей продольной оси и поэтому его полет является устойчивым.

Закон сохранения импульса был впервые сформулирован в 1746 г отечественным ученым Л.Эйлером. Применив этот закон к военному делу, генерал артиллерии Майевский в середине 19 века разработал научно обоснованную теорию прицельной стрельбы снарядами из нарезных орудий.

Гироскоп.

Гироскопом называют симметричное массивное однородное тело, способное вращаться вокруг своей оси симметрии с большой угловой скоростью.

Вращающийся гироскоп обладает рядом свойств:

1. Ось уравновешенного гироскопа с 3-мя степенями свободы стремится сохранить в мировом пространстве свое первоначальное положение (следствие из закона сохранения момента импульса):

т.к. Закон сохранения момента импульса - №10 - открытая онлайн библиотека Закон сохранения момента импульса - №16 - открытая онлайн библиотека

Это свойство используют для ориентации в космическом пространстве космических кораблей, для поддержания заданного направления движения транспортных средств (судно - авторулевой, самолет - автопилот и т.п.), для автоматического управления движением самодвижущихся снарядов; стабилизации судов при качке, орудийных установок, для создания гиростабилизаторов.

2. Гироскопический эффект обнаруживается, когда на ось гироскопа действует сила или пара сил, создающая вращающий эту ось момент сил.

Закон сохранения момента импульса - №17 - открытая онлайн библиотека Т.к. Закон сохранения момента импульса - №18 - открытая онлайн библиотека ,

т.е. направления Закон сохранения момента импульса - №19 - открытая онлайн библиотека совпадают.

За время dt момент импульса гироскопа Закон сохранения момента импульса - №20 - открытая онлайн библиотека получит приращение Закон сохранения момента импульса - №21 - открытая онлайн библиотека , тогда Закон сохранения момента импульса - №22 - открытая онлайн библиотека

Направление вектора Закон сохранения момента импульса - №20 - открытая онлайн библиотека совпадает с новым направлением оси вращения. Если время действия силы dt мало, Закон сохранения момента импульса - №24 - открытая онлайн библиотека - тоже мало, поэтому кратковременное действие сил не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве, для этого необходимо длительное воздействие силы.

Гироскопический эффект - свойство вращающегося гироскопа поворачиваться под действием сил вокруг оси, ^ той оси, вокруг которой он повернулся бы в отсутствии вращения.

Это свойство используется в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпасах, гирогоризонтах). Гирокомпасы в отличие от компасов с магнитной стрелкой не реагирует на наличие ферромагнитных предметов и на его показания не нужно вносить поправки на магнитное склонение, т.е. угол между магнитным и географическим меридианом.

Гирокомпас представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Под влиянием суточного вращения Земли ось гирокомпаса устанавливается в такое положение, при котором угол между этой осью и осью вращения Земли минимален, т.е. указывает на север.

3. Прецессия гироскопа - непрерывный поворот оси гироскопа вокруг некоторой оси под действием постоянного момента сил. Прецессия - движение оси вращения по круговому конусу. Сила лобового сопротивления, действующая на снаряд в полете, создает вращающий момент, под действием которого невращающийся снаряд будет беспорядочно кувыркаться. Если снаряд вращается вследствие прецессии вокруг прямой, вдоль которой направлена скорость снаряда, его полет становится более устойчивым, дальность полета и точность попадания возрастают.

Закон сохранения момента импульса - №25 - открытая онлайн библиотека Закон сохранения момента импульса - №26 - открытая онлайн библиотека

Закон сохранения момента импульса - №27 - открытая онлайн библиотека

4. Нутация гироскопа становится заметной при уменьшении его угловой скорости. При этом ось прецессирует не по окружности, а описывает сложную циклоидную кривую.

Т.о., гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Эту ось называют осью гироскопа. Если гироскоп закреплен так, что на него не действуют моменты внешних сил, то он называется свободным. Такой гироскоп обладает важным свойством сохранять неизменным направление Закон сохранения момента импульса - №20 - открытая онлайн библиотека . Это используется как указатель фиксированного направления в пространстве. Массивные гироскопы применяются в качестве стабилизаторов прямого действия (например, стабилизатор качки судов). Легкие гироскопы используются в качестве стабилизаторов непрямого действия; они выполняют роль чувствительного элемента, передающего сигналы двигателям привода соответствующих рулей. Гироскопы широко используются и в навигационных приборах: гирокомпасы, гирогоризонты, указатели поворотов и т.п., их достоинство - они не зависят от магнитных полей.

Гироскопы используются в системах управления и стабилизации ракет, кораблей и т.д., применяются для стабилизации орудийных установок на кораблях и танках, являются основными элементами в измерительных устройствах приборов, управляющих полетом ракеты (гироскопы направления, гировертикали, гиротахометры, интегрирующие гироскопы, гиростабилизаторы).

3. Работа и кинетическая энергия при вращательном движении.

Закон сохранения момента импульса - №29 - открытая онлайн библиотека За dt тело поворачивается на dj, при этом точка проходит путь dS.

При малых углах Закон сохранения момента импульса - №30 - открытая онлайн библиотека .

Предположим для упрощения вывода, что Закон сохранения момента импульса - №31 - открытая онлайн библиотека и Закон сохранения момента импульса - №32 - открытая онлайн библиотека сонаправлены, Закон сохранения момента импульса - №33 - открытая онлайн библиотека , и Закон сохранения момента импульса - №34 - открытая онлайн библиотека ,

Закон сохранения момента импульса - №35 - открытая онлайн библиотека

Работа при вращательном движении тела равна произведению момента вращающей силы на угол поворота тела.

Определим кинетическую энергию вращающегося тела.

Закон сохранения момента импульса - №36 - открытая онлайн библиотека

где Закон сохранения момента импульса - №37 - открытая онлайн библиотека - момент инерции материальной точки;

Закон сохранения момента импульса - №38 - открытая онлайн библиотека - момент инерции тела.

Пример: катящийся обруч.

Закон сохранения момента импульса - №39 - открытая онлайн библиотека .