Закон сохранения момента импульса

Для того чтобы сформулировать этот закон сохранения необходимо рассмотреть ряд определений.

Моментом импульса материальной точки относительно некоторой точки «0» (рисунок 3.6) называется вектор, равный векторному произведению радиус-вектора Закон сохранения момента импульса - №1 - открытая онлайн библиотека , проведенного из «0» в точку, где находится частица, на ее импульс Закон сохранения момента импульса - №2 - открытая онлайн библиотека :

Закон сохранения момента импульса - №3 - открытая онлайн библиотека

(3.62)

       
  Закон сохранения момента импульса - №4 - открытая онлайн библиотека   Закон сохранения момента импульса - №5 - открытая онлайн библиотека

Закон сохранения момента импульса - №6 - открытая онлайн библиотека Обратите внимание на то, что, в соответствии с определением, вектор момента импульса всегда перпендикулярен плоскости образованной векторами Закон сохранения момента импульса - №1 - открытая онлайн библиотека и Закон сохранения момента импульса - №2 - открытая онлайн библиотека (рисунок 3.6). Поэтому если частица движется параллельно одной из осей координат, то мо-

мент импульса обязательно перпендикулярен ей (рисунок 3.7).

Модуль момента импульса

Закон сохранения момента импульса - №9 - открытая онлайн библиотека (3.63)

где Закон сохранения момента импульса - №10 - открытая онлайн библиотека - расстояние от направления движения частицы до точки «О» называется плечом момента импульса.

При равномерном вращении частицы вокруг точки «О» (рисунок 3.8) по окружности радиуса Закон сохранения момента импульса - №11 - открытая онлайн библиотека плечо момента импульса остается постоянным и равным Закон сохранения момента импульса - №11 - открытая онлайн библиотека , поэтому модуль вектора момент импульса

Закон сохранения момента импульса - №13 - открытая онлайн библиотека . (3.64)

Направление момента импульса перпендикулярно плоскости вращения и связано с направлением вращения правилом правого винта.

Для определения направления момента импульса полезным может быть следующий прием: необходимо представить такое вращение некоторого твердого тела, при котором точка будет совершать заданное движение. Момент импульса направлен вдоль оси вращения в направлении, связанном с направлением вращения правилом правого винта.

Аналогично импульсу системы момент импульса системы частиц есть векторная сумма моментов импульса частиц входящих в систему:

Закон сохранения момента импульса - №14 - открытая онлайн библиотека (3.65)

Вращение относительно точки в технике встречается не часто. Гораздо чаще рассматривается вращение относительно оси. По определению в этом случае моментами импульса частицы и системы частиц относительно оси Закон сохранения момента импульса - №15 - открытая онлайн библиотеканазываются проекции соответствующих величин относительно точки, принадлежащей оси, на ось Закон сохранения момента импульса - №16 - открытая онлайн библиотека :

Закон сохранения момента импульса - №17 - открытая онлайн библиотека Закон сохранения момента импульса - №18 - открытая онлайн библиотека . (3.66)

Всякое вращение возникает под действием некоторых внешних сил. При этом воздействие внешних сил зависит не только от их величины, но и от ориентации в пространстве. Например, при вращении вокруг оси сила, направленная параллельно оси вращения не вызывает поворота тела. Эта особенность воздействия сил на тело при вращении учитывается введением в рассмотрение момента сил. По форме определение момента силы вполне аналогично определению момента импульса: моментом силы относительно точки называется векторная величина

Закон сохранения момента импульса - №19 - открытая онлайн библиотека
Закон сохранения момента импульса - №20 - открытая онлайн библиотека Закон сохранения момента импульса - №21 - открытая онлайн библиотека

(3.62)

где Закон сохранения момента импульса - №1 - открытая онлайн библиотека - есть радиус-вектор, проведенный из рассматриваемой точки (относительно которой рассматривается момент) в точку приложения силы.

Моментом силы Закон сохранения момента импульса - №23 - открытая онлайн библиотека относительно оси Закон сохранения момента импульса - №24 - открытая онлайн библиотека называется проекция момента силы относительно точки, принадлежащей оси на эту ось. Силу Закон сохранения момента импульса - №23 - открытая онлайн библиотекана рисунке 3.9 можно разложить на три взаимно перпендикулярных составляющих: Закон сохранения момента импульса - №26 - открытая онлайн библиотека - направленную параллельно оси вращения Закон сохранения момента импульса - №24 - открытая онлайн библиотека , Закон сохранения момента импульса - №28 - открытая онлайн библиотека - перпендикулярную оси вращения, Закон сохранения момента импульса - №29 - открытая онлайн библиотека - перпендикулярную плоскости, в которой лежит ось вращения, радиус-вектор Закон сохранения момента импульса - №1 - открытая онлайн библиотека и его составляющая, перпендикулярная оси вращения Закон сохранения момента импульса - №31 - открытая онлайн библиотека (плоскость Закон сохранения момента импульса - №32 - открытая онлайн библиотека ). Составляющая Закон сохранения момента импульса - №26 - открытая онлайн библиотека создает момент, перпендикулярный плоскости Закон сохранения момента импульса - №32 - открытая онлайн библиотека . Его проекция на ось Закон сохранения момента импульса - №24 - открытая онлайн библиотека равна нулю. Аналогично момент составляющей Закон сохранения момента импульса - №28 - открытая онлайн библиотека не может вызвать вращения вокруг оси Закон сохранения момента импульса - №24 - открытая онлайн библиотека , поскольку ее момент перпендикулярен плоскости Закон сохранения момента импульса - №32 - открытая онлайн библиотека . Поэтому фактически момент силы Закон сохранения момента импульса - №23 - открытая онлайн библиотека относительно оси Закон сохранения момента импульса - №24 - открытая онлайн библиотека оказывается равным

Закон сохранения момента импульса - №41 - открытая онлайн библиотека . (3.63)

Рассмотрим теперь систему, состоящую из Закон сохранения момента импульса - №42 - открытая онлайн библиотека взаимодействующих частиц. Уравнение движения Закон сохранения момента импульса - №43 - открытая онлайн библиотека тела системы имеет вид:

Закон сохранения момента импульса - №44 - открытая онлайн библиотека (3.64)

Аналогичным образом выглядят уравнения движения каждого из тел системы. Умножим левую и правую часть уравнения (3.64) векторно на соответствующий радиус вектор:

Закон сохранения момента импульса - №45 - открытая онлайн библиотека (3.65)

Сложим левые и правые части всех уравнений движения вида 3.65):

Закон сохранения момента импульса - №46 - открытая онлайн библиотека . (3.66)

В левой части(3.66), в соответствии с определением стоит сумма моментов импульсов тел системы, равная моменту импульса системы Закон сохранения момента импульса - №47 - открытая онлайн библиотека в целом. Двойная сумма в правой части состоит из одинаковых пар слагаемых с противоположными по 3 закону Ньютона знаками. Поэтому она равна нулю. Вторая сумма в правой части представляет собой сумму моментов внешних сил Закон сохранения момента импульса - №48 - открытая онлайн библиотека , действующих на тела системы, и соотношение (3.58) приводится к виду:

Закон сохранения момента импульса - №49 - открытая онлайн библиотека . (3.67)

Соотношение (3.67) означает, что скорость изменения момента импульса системы равна суммарному моменту сил, действующих на тела системы. (Сравните это утверждение со вторым законом Ньютона!)

При рассмотрении вращения относительно оси Закон сохранения момента импульса - №24 - открытая онлайн библиотека следует взять проекцию (3.67) на ось вращения:

Закон сохранения момента импульса - №51 - открытая онлайн библиотека . (3.68)

Если рассматриваемая система является замкнутой, то

Закон сохранения момента импульса - №52 - открытая онлайн библиотека или Закон сохранения момента импульса - №53 - открытая онлайн библиотека . (3.69)

Это означает, что момент импульса замкнутой системы тел остается постоянным.Это утверждение называют законом сохранения момента импульса.