Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой

Импульс (количество движения): Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №1 - открытая онлайн библиотека .

Второй закон (в формулировке самого Ньютона):

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №2 - открытая онлайн библиотека .

1. Закон сохранения импульса для двух взаимодействующих тел (см. рис. 1 лекции 3)

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №3 - открытая онлайн библиотека , Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №4 - открытая онлайн библиотека . По третьему закону Ньютона Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №5 - открытая онлайн библиотека . Отсюда

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №6 - открытая онлайн библиотека , Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №7 - открытая онлайн библиотека . Значит полный импульс двух взаимодействующих тел

сохраняется:

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №8 - открытая онлайн библиотека .

2. Закон сохранения импульса для замкнутой системы из Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №9 - открытая онлайн библиотека взимодействущих

материальных точек

Замкнутая система – на каждую из материальных точек действуют лишь силы со стороны

других точек, входящих в систему (нет внешних сил).

Уравнения второго закона Ньютона для Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №9 - открытая онлайн библиотека точек:

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №11 - открытая онлайн библиотека ,

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №12 - открытая онлайн библиотека ,

. . . . . . . . . . . . . . . ,

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №13 - открытая онлайн библиотека .

Складывая эти уравнения и группируя слагаемые в правой части, получаем

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №14 - открытая онлайн библиотека (по третьму закону Ньютона).

Значит полный импульс системы Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №15 - открытая онлайн библиотека сохраняется: Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №16 - открытая онлайн библиотека , Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №17 - открытая онлайн библиотека .

3. Изменение полного импульса незамкнутой системы

В этом случае на каждую материальную точку действует внешняя сила Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №18 - открытая онлайн библиотека . Проводя

аналогичное суммирование, получаем

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №19 - открытая онлайн библиотека , Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №20 - открытая онлайн библиотека . (1)

Введем понятие центра масс системы материальных точек

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №21 - открытая онлайн библиотека , где Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №22 - открытая онлайн библиотека - полная масса системы, Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №23 - открытая онлайн библиотека - радиус-вектор Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №24 - открытая онлайн библиотека -ой точки.

Тогда уравнение (1) можно записать в виде

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №25 - открытая онлайн библиотека .

4. Импульс силы. Движение тела с переменной массой.

Удобно использовать еще одну форму записи второго закона Ньютона

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №26 - открытая онлайн библиотека . (2)

Величина Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №27 - открытая онлайн библиотека называется импульсом силы.

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №28 - открытая онлайн библиотека Рассмотрим реактивное движение ракеты с учетом изменения ее массы из-за сгорания топлива. На рис. 1 представлены величины для ракеты и продуктов сгорания (индекс “г”) в момент времени Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №29 - открытая онлайн библиотека . Пусть в момент Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №30 - открытая онлайн библиотека масса ракеты равна Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №31 - открытая онлайн библиотека , а скорость Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №32 - открытая онлайн библиотека . В момент Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №33 - открытая онлайн библиотека скорость ракеты равна Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №34 - открытая онлайн библиотека , а масса - Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №35 - открытая онлайн библиотека .

Тогда уравнение (2) для ракеты можно представить в виде:

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №36 - открытая онлайн библиотека .

Отсюда, с точностью до величин первого порядка малости, получим

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №37 - открытая онлайн библиотека . (3)

Уравнение (2) для продуктов сгорания:

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №38 - открытая онлайн библиотека , (4)

где Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №39 - открытая онлайн библиотека - скорость продуктов сгорания относительно ракеты. Так как Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №40 - открытая онлайн библиотека , то из уравнений (3), (4) следует, что

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №41 - открытая онлайн библиотека Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №42 - открытая онлайн библиотека или Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №43 - открытая онлайн библиотека .

Последнее уравнение называется уравнением Мещерского. В проекции на направление движения ракеты получим

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №44 - открытая онлайн библиотека или Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №45 - открытая онлайн библиотека .

После интегрирования последнего уравнения приходим к формуле Циолковского

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №46 - открытая онлайн библиотека . (5)

Эта формула сыграла очень важную роль в истории космонавтики. Она позволяет оценить количество топлива необходимого для космических полетов. Можно, например, провести такую оценку для полета за пределы солнечной системы. Минимальное значение скорости, которую должна в этом случае развить ракета равно Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №47 - открытая онлайн библиотека (третья космическая скорость). Современное химическое топливо дает значение Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №48 - открытая онлайн библиотека . Тогда из формулы (5) получим

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №49 - открытая онлайн библиотека .

Для полета туда и обратно необходимо значение Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №50 - открытая онлайн библиотека . Однако, скорости Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №51 - открытая онлайн библиотека недостаточно для полета к другим звездам за разумные промежутки времени. От ближайшей к нам звезды α-Центавра свет доходит до Земли за 4 года. Следовательно, ракета должна развивать скорость сравнимую со скоростью света. С учетом прогресса в области разработки новых видов топлива возьмем завышенное значение Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №52 - открытая онлайн библиотека . Тогда при Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №53 - открытая онлайн библиотека получим

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №54 - открытая онлайн библиотека .

Нереальность такой величины очевидна по той причине, что масса всей нашей Галактики составляет ≈ 1041 кг. Один из гипотетических вариантов осуществления межзвездных полетов предполагает использование фотонных ракетных двигателей со значением Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой - №55 - открытая онлайн библиотека . Однако, до практической реализации таких идей еще далеко.

ЛЕКЦИЯ 5