Закон сложения скоростей в релятивистской механике

Пусть относительно системы К′ материальная точка движется со скоростью u′(Рис. 2.3.2). Найдем скоростьu материальной точки относительно системы К. Проекции скоростей u и u′ на оси координат в системах К и К′ соответственно можно представить следующим образом:

Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №1 - открытая онлайн библиотека , Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №2 - открытая онлайн библиотека , Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №3 - открытая онлайн библиотека , Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №4 - открытая онлайн библиотека , Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №5 - открытая онлайн библиотека , Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №6 - открытая онлайн библиотека . (2.3.10)

Согласно преобразованиям Лоренца (4 – 7),

Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №7 - открытая онлайн библиотека , Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №8 - открытая онлайн библиотека , Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №9 - открытая онлайн библиотека , Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №10 - открытая онлайн библиотека . (2.3.11)

Подставив выражения (2.3.11) в (2.3.10), поcле преобразований получим релятивистский закон сложения скоростей:

Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №11 - открытая онлайн библиотека , (2.3.12)

Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №12 - открытая онлайн библиотека , (2.3.13)

Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №13 - открытая онлайн библиотека . (2.3.14)

Если скорости v и u малы по сравнению со скоростью света, то выражения (2.3.12) – (2.3.14) переходят в закон сложения скоростей в классической механике:

Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №14 - открытая онлайн библиотека , Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №15 - открытая онлайн библиотека , Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №16 - открытая онлайн библиотека . (2.3.15)

Пусть материальная точка движется параллельно оси х .

Тогда Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №17 - открытая онлайн библиотека Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №18 - открытая онлайн библиотека и релятивистский закон сложения скоростей (2.3.12) принимает вид:

Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №19 - открытая онлайн библиотека . (2.3.16)

Если в системе К′ Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №20 - открытая онлайн библиотека , то в системе К Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №21 - открытая онлайн библиотека ,

т.е. при сложении двух скоростей результирующая скорость оказалась равной скорости света в вакууме, что является подтверждением второго постулата Эйнштейна.

Интервал

Пусть в системе отсчета К происходят два события: первое – в точке с координатами x1 , y1 , z1 в момент времени t1,

второе – в точке с координатами x2, y2, z2 в момент времени t2. Каждому событию в четырехмерном пространстве-времени соответствует точка (x,y,z,t), которую называют мировой точкой. Величину

Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №22 - открытая онлайн библиотека Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №23 - открытая онлайн библиотека (2.3.17)

называют интервалом между этими событиями или интервалом между двумя точками (x1,y1,z1,t1) и (x2,y2,z2,t2) в четырехмерном пространстве-времени. Можно показать, используя преобразования Лоренца, что эта величина имеет одно и то же значение во всех системах отсчета, т.е. является инвариантом преобразований Лоренца.

Обозначим промежуток времени между событиями t2 – t1= =t12, а пространственное расстояние между точками, в кото-рых происходят события Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №22 - открытая онлайн библиотека Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №25 - открытая онлайн библиотека .

Тогда интервал примет вид Закон сложения скоростей в релятивистской механике - №26 - открытая онлайн библиотека .

Пусть первое событие состоит в том, что в момент времени t1 из точки (x1,y1,z1) испускается световой сигнал, а второе – в том, что в момент времени t2 этот сигнал принимается в точке (x2,y2,z2). Сигнал распространяется со скоростью света, поэтому l12 = ct12. Интервал для этого случая s12 = 0. Такой интервал называется нулевым. Нулевой интервал существует между событиями, которые могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью света. При нулевом интервале события могут быть связаны между собой причинно-следственной связью в любой системе отсчета.

Если l12 > ct12 , то рассматриваемые события не могут оказывать влияния друг на друга, т.е. между ними не может существовать причинно-следственной связи, так как никакой сигнал, никакое воздействие не могут распространяться со скоростью большей, чем скорость света в вакууме. Интервал в этом случае будет мнимым. Мнимые интервалы называются пространственноподобными. События, разделенные мнимым интервалом, ни в какой системе отсчета не могут происходить в одной точке, так как в этом случае в этой системе отсчета интервал стал бы вещественным (l12 = 0). А в силу инвариантности интервал во всех системах отсчета должен оставаться мнимым. Для событий, разделенных пространственноподобным интервалом, можно найти систему отсчета, в которой они происходят в одно время (t12=0).

Если l12 < ct12, то интервал оказывается вещественным. Такие интервалы называются времениподобными. События, разделенные времениподобным интервалом, могут быть причинно связанными друг с другом. Такие события ни в одной системе отсчета не могут происходить в одно и то же время (t12 = 0), так как в этом случае интервал стал бы мнимым. Но для этих событий существует система отсчета, в которой они происходят в одной точке (l12 = 0).