Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока

Объемные плотности заряда и тока для случаев типа распределения зарядов по поверхности, линии и других ограниченных областей записываются в виде скалярной и векторной функций, определенных во всем трехмерном пространстве. Свойства дельта-функции и ступенчатой функции и их применение даны в задачнике [1]. Желательно прорешать задачи 80,81,88 и проработать приложения о свойствах указанных обобщенных функций в [1].

Разберем подробно решения двух задач из [1].

149 г): В плоскости ху по бесконечно тонкому кольцу радиуса R течет линейный ток J, образуя правовинтовую систему с осью z, которая проходит через центр кольца. Используя дельта-функцию Дирака определить распределение объемной плотности тока Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №1 - открытая онлайн библиотека .

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №2 - открытая онлайн библиотека

Рис.10

Решение: Некоторое значение азимутального угла Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №3 - открытая онлайн библиотека определяет плоскость Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №4 - открытая онлайн библиотека . Согласно определению понятия силы тока имеем нормировочное условие для искомой объемной плотности тока:

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №5 - открытая онлайн библиотека (9.1)

Плотность тока отлична от нуля при следующих значениях цилиндрических координат:

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №6 - открытая онлайн библиотека (9.2)

Поэтому вектор объемной плотности тока нужно искать в виде:

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №7 - открытая онлайн библиотека (9.3)

А - нормировочный множитель.

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №8 - открытая онлайн библиотека В силу того, что

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №9 - открытая онлайн библиотека (9.4)

получаем

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №10 - открытая онлайн библиотека (9.5)

Задача решена.

149 д): Найти Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №11 - открытая онлайн библиотека , если равномерно заряженная с поверхностной плотностью Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №12 - открытая онлайн библиотека поверхность кругового конуса с вершиной в начале координат вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №13 - открытая онлайн библиотека , направленной вдоль оси z.

Решение: Известно, что

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №14 - открытая онлайн библиотека (9.6)

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №15 - открытая онлайн библиотека (9.7)

Поэтому сначала найдем распределение объемной плотности заряда Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №16 - открытая онлайн библиотека . Очевидно, что в сферической системе координат

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №17 - открытая онлайн библиотека (9.8)

Следовательно,

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №18 - открытая онлайн библиотека (9.9)

Нормировочный множитель А найдем из условия:

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №19 - открытая онлайн библиотека (9.10)

Вычислив объемный интеграл в этой формуле по всему трехмерному пространству получим, что

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №20 - открытая онлайн библиотека (9.11)

Найдем результат векторного произведения (9.7) в сферической системе координат.

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №21 - открытая онлайн библиотека

Рис.11

Пусть

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №22 - открытая онлайн библиотека (*)

тогда

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №23 - открытая онлайн библиотека (**)

Легко видеть, что

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №24 - открытая онлайн библиотека (9.12)

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №25 - открытая онлайн библиотека (9.13)

В силу взаимной ортогональности базисных ортов сферической системы координат для них имеет место следующая таблица векторных произведений:

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №26 - открытая онлайн библиотека (9.14)

Следовательно,

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №27 - открытая онлайн библиотека (9.15)

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №28 - открытая онлайн библиотека (9.16)

Задача решена.

Закон Био-Савара

Распределения объемных плотностей тока, типа полученных выше формул, позволяют сводить к квадратурам задачу об определении компонент вектора напряженности магнитного поля на основе закона Био-Савара:

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №29 - открытая онлайн библиотека (10.1)

Найти напряженность магнитного поля в вакууме, создаваемое током, силы I, текущим по прямому тонкому проводу бесконечной длины.

Решение:Ось z цилиндрической системы координат совместим с проводом.

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №30 - открытая онлайн библиотека

Рис.12

Используя нормировочное условие

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №31 - открытая онлайн библиотека (10.2)

и очевидное соотношение

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №32 - открытая онлайн библиотека (10.3)

найдем, что

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №33 - открытая онлайн библиотека (10.4)

Рассмотрим точку Р с координатами Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №34 - открытая онлайн библиотека . Вычислим Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №35 - открытая онлайн библиотека , создаваемое участком Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №36 - открытая онлайн библиотека .

Предельный переход Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №37 - открытая онлайн библиотека даст поле бесконечного провода, которое обладает осевой симметрией относительно вращений (вокруг оси z) и трансляционной симметрией для сдвигов по оси z.

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №38 - открытая онлайн библиотека Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №39 - открытая онлайн библиотека

Рис.13

Радиус-вектор Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №40 - открытая онлайн библиотека положения элемента объема Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №41 - открытая онлайн библиотека в интеграле (10.1) пробегает все трехмерное пространство:

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №42 - открытая онлайн библиотека (10.5)

Точка наблюдения Р определяется радиус-вектором:

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №43 - открытая онлайн библиотека (10.6)

Отсюда следует, что

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №44 - открытая онлайн библиотека (10.7)

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №45 - открытая онлайн библиотека (10.8)

Таблица векторных произведений базисных ортов цилиндрической системы координат имеет вид:

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №46 - открытая онлайн библиотека (10.9)

Следовательно,

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №47 - открытая онлайн библиотека (10.10)

Подставим все полученные результаты в формулу (10.1) и получаем

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №48 - открытая онлайн библиотека (*)

Учтем, что

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №49 - открытая онлайн библиотека

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №50 - открытая онлайн библиотека

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №51 - открытая онлайн библиотека

Окончательно, имеем

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №52 - открытая онлайн библиотека (10.11)

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №53 - открытая онлайн библиотека (10.12)

Задача решена.

Теория потенциала

11.1 Метод частного интегрирования

11.1.1. Представление неопределенного интеграла как обратного оператора для дифференцирования функции

Любой известной функции Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №54 - открытая онлайн библиотека от одного переменного можно сопоставить её производную, равную пределу

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №55 - открытая онлайн библиотека . (11.1)

Значение производной является новой функцией, которую обозначим следующим образом

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №56 - открытая онлайн библиотека (11.2)

Можно сформулировать обратную задачу: по заданной функции Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №57 - открытая онлайн библиотека найти такую функцию Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №58 - открытая онлайн библиотека , которая удовлетворяет уравнению (11.2). Последняя функция в математическом анализе называется первообразной исходной функции Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №57 - открытая онлайн библиотека . Умножая уравнение (11.2) на дифференциал аргумента получим эквивалентную форму этого дифференциального уравнения как равенство бесконечно малых величин первого порядка

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №60 - открытая онлайн библиотека (11.3)

Введем оператор интеграла как обратное к дифференциалу действие на функцию

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №61 - открытая онлайн библиотека (11.4)

Можно написать символическое уравнение для взаимно обратных и перестановочных операторов интегрирования и дифференцирования

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №62 - открытая онлайн библиотека (11.5)

Умножая (11.3) на оператор интегрирования получаем соотношение

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №63 - открытая онлайн библиотека (11.6)

Последнее слагаемое, равное произвольной постоянной, при дифференцировании этого соотношения исчезает. Оно известно как константа интегрирования. Подстановка (11.6) превращает (11.3) в тождество и поэтому она является общим решением дифференциального уравнения (11.3). Здесь «дифференциальным» называем уравнение, содержащее символы дифференцирования неизвестной функции. Покажем, что (11.6) удовлетворяет уравнению (11.2)

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №64 - открытая онлайн библиотека (11.7)

Отсюда следует, что оператор полной производной и неопределенный интеграл от функции взаимно обратны

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №65 - открытая онлайн библиотека (11.8)

Символические вычисления позволяет доказать перестановочность этих двух операций

Применение дельта-функции Дирака и ступенчатой функции для описания распределения объемной плотности тока - №66 - открытая онлайн библиотека (11.9)

Литература

1. Алексеев А.Н. Сборник задач по классической электродинамике. М.: Наука, 1977.