Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера)

Основное уравнение определяет напор, создаваемый машиной.

В настоящее время существует две теории, с помощью которых получают основное уравнение центробежных машин – вихревая
и струйная теории.

Рассмотрим струйную теорию Эйлера.

При протекании жидкости через канал между лопатками колеса каждая частица жидкости участвует в двух основных движениях: относительном – вдоль линии канала со скоростью w и переносном
с окружной скоростью Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №1 - открытая онлайн библиотека , где w – угловая скорость вращения колеса,
r – радиус окружности, на которой находится в данный момент частица жидкости.

Абсолютная скорость c частицы складывается геометрически
из скоростей переносного и относительного движений:

Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №2 - открытая онлайн библиотека (6.19)

В данном случае скорости переносного движения различны
для различных точек.

Будем считать, что траектория частицы жидкости совпадает
с очертанием профиля лопатки. Такую картину наблюдали бы, если бы число лопаток было бесконечно велико, а их толщина была бесконечно малой. Это означает, что относительная скорость Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №3 - открытая онлайн библиотека является касательной во всех точках к профилю лопатки. Переносная скорость u направлена
по касательной к окружности.

Индексами 1 обозначим величины, относящиеся к входному сечению, а индексами 2 – к выходному. Углы Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №4 - открытая онлайн библиотека и Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №5 - открытая онлайн библиотека (между касательной к окружности и касательной к лопатке) называются углами входа и выхода лопаток, углы Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №6 - открытая онлайн библиотека и Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №7 - открытая онлайн библиотека (между касательной к окружности и абсолютной скоростью) – углами входа и выхода жидкости (рис. 6.6).

Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №8 - открытая онлайн библиотека Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №9 - открытая онлайн библиотека

Рис. 6.6. Картина скоростей рабочего колеса центробежного насоса

Для вывода основного уравнения центробежных машин воспользуемся теоремой о моменте количества движения. Для нашего случая она может быть сформулирована следующим образом: изменение
в единицу времени момента количества движения относительно оси колеса равна крутящему моменту на валу машины.

Крутящий момент на валу машины Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №10 - открытая онлайн библиотека определяется как:

Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №11 - открытая онлайн библиотека (6.20)

Здесь Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №12 - открытая онлайн библиотека – мощность на валу машины, w – угловая скорость вращения вала, Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №13 - открытая онлайн библиотека – весовая подача машины, Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №14 - открытая онлайн библиотека – теоретический напор машины при бесконечном числе лопаток.

Момент количества движения жидкости в единицу времени

на входе жидкости в рабочее колесо:

Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №15 - открытая онлайн библиотека

на выходе:

Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №16 - открытая онлайн библиотека

изменение:

Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №17 - открытая онлайн библиотека (6.21)

Здесь Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №18 - открытая онлайн библиотека – массовая подача жидкости.

В выражении (6.21) неизвестные величины Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №19 - открытая онлайн библиотека заменим через известные. С этой целью общую скорость Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №20 - открытая онлайн библиотека разложим на две составляющие:

Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №21 - открытая онлайн библиотека (6.22)

Здесь Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №22 - открытая онлайн библиотека – меридианальная (радиальная) скорость, проходящая через центр рабочего колеса и момента не дает; Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №23 - открытая онлайн библиотека – проекция абсолютной скорости на направление переносной скорости u, для которой плечо r. С учетом этого перепишем уравнение (6.21):

Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №24 - открытая онлайн библиотека (6.23)

По теореме о количестве движения:

Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №25 - открытая онлайн библиотека или Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №26 - открытая онлайн библиотека (6.24)

Решая зависимость относительно Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №14 - открытая онлайн библиотека , получим:

Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №28 - открытая онлайн библиотека (6.25)

Это и есть основное уравнение центробежных машин – уравнение Эйлера. Оно было получено Эйлером в 1754 году, а центробежный насос был изобретен в 1835 году.

С целью достижения максимального значения Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №14 - открытая онлайн библиотека рабочие колеса обычно выполняют так, что жидкость входит на лопатку почти радиально. В этом случае a1 = 90 ° и Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №30 - открытая онлайн библиотека . Тогда получим:

Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №31 - открытая онлайн библиотека (6.26)

Действительный напор H, создаваемый насосом, меньше теоретического по двум причинам:

– часть напора затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений внутри насоса;

– не все частицы жидкости в канале между двумя лопатками движутся по одинаковым траекториям, вследствие этого возникает циркуляция жидкости в канале.

Первое учитывается гидравлическим КПД Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №32 - открытая онлайн библиотека , второй – коэффициентом конечного числа лопаток Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №33 - открытая онлайн библиотека .

В результате для действительного напора Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №34 - открытая онлайн библиотека получим выражение:

Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №35 - открытая онлайн библиотека (6.27)

где Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №36 - открытая онлайн библиотека f – коэффициент напора, f – коэффициент закручивания потока f = Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №37 - открытая онлайн библиотека .

Для насосов со спиралеобразным отводом жидкости из рабочего колеса Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №38 - открытая онлайн библиотека , для насосов турбинного типа (с направляющим аппаратом в корпусе насоса) Основное уравнение центробежных машин (уравнение Эйлера) - №39 - открытая онлайн библиотека .

По формуле (6.27) определяется, обычно, ориентировочное значение напора центробежного насоса.