Оценка точности прямых и косвенных измерений

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2003 г.

Цель работы - обработать данные прямых и косвенных измерений физических величин.

Общие сведения

Сила тока I, текущего по металлическому проводнику (при отсутствии сторонних сил), пропорциональна падению напряжения U на проводнике:

I = U/R.

Величина R называется сопротивлением проводника и зависит от его формы, размеров, а также свойств материала, из которого он изготовлен. Сопротивление однородного цилиндрического проводника

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №1 - открытая онлайн библиотека ,                    (1)

где Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека  - длина проводника; S - площадь его поперечного сечения; r - удельное сопротивление.

В системе СИ r измеряется в ом-метрах (Ом×м). Удельное сопротивление характеризует способность вещества проводить электрический ток и зависит от химической природы вещества и условий, в которых находится проводник.

Из формулы (1) очевидно, что

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №3 - открытая онлайн библиотека

Площадь поперечного сечения S рассчитывается по измеренному значению диаметра d: Оценка точности прямых и косвенных измерений - №4 - открытая онлайн библиотека Сопротивление R вычисляется по измеренным значениям напряжения U и тока I в цепи согласно закону Ома: R = U/ I.

Таким образом, значения величин l, d, U, I можно получить в результате прямых измерений, а удельное сопротивление можно вычислить по формуле

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №5 - открытая онлайн библиотека                  (2)

Чтобы определить величину удельного сопротивления, необходимо знать длину Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека , диаметр проволоки d, напряжение U и силу тока I. Каждую из этих физических величин можно измерить непосредственно соответствующими приборами (прямые измерения). Величина удельного сопротивления r непосредственно не измеряется, а вычисляется по формуле (косвенные измерения).

Величины Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека , d, U и I измеряются соответствующими приборами с определенной точностью. В общем случае результат любого измерения величины х представляют в виде

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №8 - открытая онлайн библиотека

где Оценка точности прямых и косвенных измерений - №9 - открытая онлайн библиотека  - погрешность или ошибка в измерениях х.

Для однократных измерений за величину ошибки принимается систематическая погрешность, которую вносит сам прибор, а средним считается измеренное значение физической величины.

Измерения длины Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека  и диаметра d проволоки проводится с использованием маркированных шкал линейки, штангенциркуля и микрометра. Погрешность измерения линейкой определяется как половина цены наименьшего деления. Погрешность измерения штангенциркулем и микрометром указана на приборах.

В наших измерениях диаметра исследуемого куска проволоки возможна неоднозначная ситуация. Вполне вероятно, что диаметр не одинаков по всей длине проволоки. Если измерения проводятся штангенциркулем или более грубо линейкой, то может показаться, что он везде одинаков. Это понятно, так как погрешность указанных приборов достаточно велика, чтобы почувствовать незначительные изменения диаметра проволоки. В этом случае величину d следует воспринимать, как результат однократного измерения со средней величиной Оценка точности прямых и косвенных измерений - №11 - открытая онлайн библиотека  и с поправкой Dd, принятой за точность прибора.

Измеряя диаметр прибором более точным, например микрометром, получим серию результатов: Оценка точности прямых и косвенных измерений - №12 - открытая онлайн библиотека , где n - число измерений. Как величина случайная диаметр варьирует около некоторого среднего значения, которое определяется как среднее арифметическое:

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №13 - открытая онлайн библиотека .

Величина средней абсолютной ошибки

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №14 - открытая онлайн библиотека .                 (3)

В случае, если она меньше точности используемого прибора, то за величину абсолютной ошибки следует принять последнюю.

Измерения величины тока I и напряжения U проводят с помощью электроизмерительных приборов (амперметра и вольтметра). Точность этих приборов характеризуют приведенной погрешностью

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №15 - открытая онлайн библиотека

где хпр - наибольшее значение величины, которое может быть измерено по шкале прибора.

Приведенная погрешность, измеренная в процентах, определяет класс точности прибора (указан на шкале).

Абсолютная погрешность прибора в любом месте шкалы

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №16 - открытая онлайн библиотека                       (4)

где К - класс точности прибора.

Какова же будет погрешность Оценка точности прямых и косвенных измерений - №17 - открытая онлайн библиотека  косвенного определения удельного сопротивления по результатам прямых измерений величин, входящих в формулу (2)?

Известно, что для нахождения среднего значения функции, например y = f(x, z), нужно вычислить ее значение в точках Оценка точности прямых и косвенных измерений - №18 - открытая онлайн библиотека  С учетом этого, используя среднее значение удельного сопротивления в виде Оценка точности прямых и косвенных измерений - №19 - открытая онлайн библиотека Оценка точности прямых и косвенных измерений - №20 - открытая онлайн библиотека найдем относительную погрешность

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №21 - открытая онлайн библиотека                (5)

Отсюда

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №22 - открытая онлайн библиотека .               (6)

Погрешности в определении r, определенные формулами (5) и (6), представляют собой верхний предел систематических и случайных ошибок. Но погрешности, рассчитанные на основании указанных правил, могут быть неоправданно завышенными.

Считается, что если погрешности прямых измерений каждой из определяемых величин (в нашем случае I, U, Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека  и d) независимы, случайны и подчиняются нормальному закону распределения, то более реалистичной (и меньшей) оценкой окончательной погрешности результата измерения является средняя квадратичная ошибка s.

В нашем случае при прямых однократных измерениях I, U и Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека  за среднюю квадратичную ошибку принимается погрешность прибора. Результаты прямых многократных измерений диаметра проволоки будут иметь среднюю квадратичную ошибку

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №25 - открытая онлайн библиотека .                                      (7)

При косвенных измерениях (в нашем случае измерение r) средняя квадратичная погрешность вычисляется по формуле:

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №26 - открытая онлайн библиотека  .                  (8)

где Оценка точности прямых и косвенных измерений - №27 - открытая онлайн библиотека  - частная производная функции r(I , U , Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека , d) по каждой из переменных, рассчитанная по средним значениям прямых измерений:

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №29 - открытая онлайн библиотека Оценка точности прямых и косвенных измерений - №20 - открытая онлайн библиотека        (9)

Несложно убедиться, что в результате подстановки выражений (9) в уравнение (8) получим

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №31 - открытая онлайн библиотека             (10)

Порядок выполнения работы

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №32 - открытая онлайн библиотека Для определения удельного сопротивления отрезка проволоки используется простейшая электрическая цепь (см. рисунок), которая состоит из источника тока e, амперметра A, вольтметра V и исследуемого участка АВ.

Последовательность проведения эксперимента следующая:

1) измерить с помощью штангенциркуля диаметр проволоки d в 10-12 точках и определить погрешность d (табл.1);

2) повторить измерения d с помощью микрометра (табл.1);

3) выполнить измерения тока I и напряжения U для десяти значений длины Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека  (измерения проводить в точках проводника от 0,1 Оценка точности прямых и косвенных измерений - №34 - открытая онлайн библиотека  до Оценка точности прямых и косвенных измерений - №34 - открытая онлайн библиотека ) (табл. 2);

Таблица 1

Физ. величина Dd1 d d2 Dd3 ... dn   Оценка точности прямых и косвенных измерений - №36 - открытая онлайн библиотека   Dd   sd Оценка точности прямых и косвенных измерений - №37 - открытая онлайн библиотека Оценка точности прямых и косвенных измерений - №38 - открытая онлайн библиотека
              Ед. измерения Прибор              
Штангенциркуль                    
Микрометр                    

4) определить погрешность электрических приборов по классу точности (формула (4)) и занести в табл.2.

Таблица 2

Физ. величина Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека D Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека I DI U DU R DR sR
Ед. измерения Номер опыта        
1                  
2                  
. . .                  
10                  

Обработка результатов измерений проводится следующим образом:

1. По результатам измерений диаметра проволоки рассчитать его среднее значение Оценка точности прямых и косвенных измерений - №41 - открытая онлайн библиотека . Определить среднюю абсолютную (Dd) и среднюю квадратичную (sd) погрешности измерения диаметра по формулам (3) и (7).

2. Используя полученные данные для тока и напряжения, вычислить значение сопротивления R.

3. Вывести формулы и вычислить погрешности косвенного измерения сопротивления DR и sR. Считать, что DI = sI и DI = sU.

4. Построить график зависимости R = R( Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека ). Экспериментальные точки нанести на координатную плоскость, откладывая по оси х величину Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека , а по оси у соответствующее ей сопротивление R. Каждую точку изобразить с указанием погрешностей D Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека  и DR, как пересечение двух отрезков длиной 2D Оценка точности прямых и косвенных измерений - №2 - открытая онлайн библиотека вдоль оси х и 2DR вдоль оси у с центрами в измеренных значениях.

5. Определить графически среднее значение удельного сопротивления:

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №46 - открытая онлайн библиотека

где Оценка точности прямых и косвенных измерений - №47 - открытая онлайн библиотека

6. Вычислить погрешности Dr и sr результатов косвенного определения удельного сопротивления, используя формулы (6) и (10) соответственно.

Результаты измерения удельного сопротивления следует представить в виде Оценка точности прямых и косвенных измерений - №48 - открытая онлайн библиотека  и Оценка точности прямых и косвенных измерений - №49 - открытая онлайн библиотека

Контрольные вопросы

1). Что называют прямыми измерениями?

2). Чему равна абсолютная, относительная и средняя квадратичная ошибки прямых измерений?

3). Что называют косвенными измерениями?

4). Чему равна максимальная абсолютная, относительная и средняя квадратичная ошибки косвенных измерений?

5). Как определяются погрешности, вносимые различными измерительными приборами?

6). Что такое класс точности прибора?

Штангенциркуль

       Штангенциркуль предназначен для измерения длины до 150-500 мм, с точностью до 0.1 или 0.05 мм.

       Штангенциркуль состоит из масштабной линейки – М с выступом А, называемым губкой, и подвижной рамки К, с другой губкой В. Рамка передвигается вдоль масштабной линейки, часть рамки снабжена нониусом.

Измеряемый объект зажимается между губками масштабной линейки и рамки.

Оценка точности прямых и косвенных измерений - №50 - открытая онлайн библиотека Нуль масштабной линейки смещен на некоторое расстояние от плоскости губки А, на такое же расстояние смещен и нуль нониуса относительно плоскости губки В на рамке К. Таким образом, измеряемая длина предмета равна расстоянию между нулем масштабной линейки и нулем нониуса.