Проверка доказательных рассуждений

Предметом анализа здесь будут формальные законы построения суждений и умозаключений естественного языка.

Пример 2.4.[K78] Рассмотрим рассуждение: “Если бы он не сказал ей, она бы и не узнала. А не спроси она его, он и не сказал бы ей. Но она узнала. Следовательно, она спросила.” Это сложное рассуждение представляет собой конъюнкцию трех утверждений, за которыми следует некоторый вывод. Представим рассуждение структурно в табл. 2.3:

Таблица 2.3

F1: Если бы он не сказал ей, она бы и не узнала.
F2: А не спроси она его, он и не сказал бы ей.
F3: Но она узнала.
\R: Следовательно, она спросила.

В предложениях можно выделить атомы (элементарные высказывания): “он сказал ей” (Ск), “она узнала” (У), “она спросила” (Сп), и, кроме того, отдельные утверждения F1, F2, F3 и вывод R. Схема, модель этого рассуждения приведена в табл.2.4. Кроме логических связок отрицания и импликации в схему входит символ “\”, заменяющий “Следовательно”. Он показывает, что в рассуждении утверждается, что формула, стоящая за ним, является следствием приведенных ранее утверждений.ÿ

Таблица 2.4

F1: ØСкÞØУ
F2: ØСпÞØСк
F3: У
\R: \ Сп

Одной из главных проблем логики, сформулированной еще великим Аристотелем, является разработка методов определения того, является ли заключительное утверждение (R) действительно следствием высказанных утверждений единственно в силу формальной структуры рассуждения при условии истинности приведенных фактов, а не исходя из смысла утверждения R или фактов F1, F2, F3. Формальная логика как раз позволяет определить это, т.е. логика позволяет определить, является ли утверждение R логическим следствием фактов F1, F2, F3.

Пример 2.5.Рассмотрим другое рассуждение: “В хоккей играют настоящие мужчины. Трус не играет в хоккей. Я в хоккей не играю. Значит, я трус(?!)” Элементарными высказываниями здесь будут: “я играю в хоккей (Х)”, “я -настоящий мужчина, не трус (М)”. Схема этого рассуждения:

Таблица 2.5

F1: ХÞМ
F2: ØМÞØХ
F3: ØХ
\R: \ ØМ

Если согласиться с посылками рассуждения, то следует ли из посылок его вывод? ÿ

В формальной логике разработано несколько методов проверки правильности рассуждений, т.е. проверки того, является ли некоторое утверждение логическим следствием других утверждений. Логическое следствие можно считать новым знанием, новой информацией, полученной из уже известных фактов.

Силлогизмы. Силлогизмы - это правильные схемы рассуждений. Исторически впервые силлогизмы исследовались еще Аристотелем и имели вполне определенную фиксированную форму, описываемую предикатами. В этой главе мы под силлогизмами будем понимать исторически сложившийся стандартный, фиксированный набор схем рассуждений, в которых заключение всегда верно в силу именно формы рассуждения, а не его содержания. Рассмотрим следующие силлогизмы:

РÞQ модус поненс (способ спуска)
P  
\ Q  
РÞQ модус толленс
ØQ (доказательство от противного)
\ ØР  
РÚQ дизъюнктивный силлогизм
ØР  
\ Q  
РÞQ гипотетический силлогизм
QÞR (транзитивность импликации)
\ РÞR  
РÅQ разделительный силлогизм
Р  
\ ØQ  
РÞQ простая дилемма
RÞQ  
PÚR  
\ Q  
РÞQ конструктивная дилемма
RÞS  
PÚR  
\ QÚS  
РÞQ деструктивная дилемма
RÞS  
ØQÚØS  
\ ØPÚØR  

Рассуждения, построенные на основе силлогизмов, правильны именно в силу своей структуры. Применение в рассуждениях таких стандартных схем гарантирует правильность полученных выводов. Если рассуждение построено не в соответствии со схемой силлогизма, можно попытаться последовательным применением нескольких силлогизмов доказать справедливость заключения. Для рассуждения “Узнала - спросила” из F2 и F1 в соответствии с правилом вывода «гипотетический силлогизм» можем заключить, что утверждение “F4: ØСпÞØУ” истинно. Далее, пара утверждений F4 и F3 в соответствии с модус толленс гарантирует истинность заключения R этого рассуждения.

Однако, подбор правильных образцов рассуждений - силлогизмов не является систематическим методом, позволяющим всегда ответить на вопрос, является ли схема данного рассуждения правильной, если она не совпадает ни с одним из указанных силлогизмов. Например, в рассуждении “о хоккее” справедливо ли утверждать, что не играющий в хоккей - трус? Хотя схема этого рассуждения не совпадает ни с одним силлогизмом, уже в предыдущем примере мы видели, что не все правильные схемы рассуждений задаются силлогизмами. В действительности, правильных схем рассуждений бесконечное количество. Далее мы рассмотрим систематические методы проверки правильности рассуждений, применимые к любым схемам рассуждений.

Логическое следствие.

Определение 2.3.. Формула R называется логическим следствием формулы Ф (или: R логически следует из Ф), тогда и только тогда, когда для всякой интерпретации, на которой формула Ф истинна, R тоже истинна.ÿ

Очевидно, что сама формула является логическим следствием самой себя, причем наиболее сильным следствием. Наиболее слабым следствием любой формулы является тавтология - тождественно истинная функция. Например, человек, выводящий из фактов только тривиальную истину, всегда прав. С другой стороны, из ложных фактов можно вывести любое утверждение. Например, знаменитый пример Гильберта “Если 2*2=5, то Луна сделана из зеленого сыра” с точки зрения логики является совершенно правильным умозаключением.

Теорема 2.1. Логическим следствием формулы Ф является Falseтогда и только тогда, когда Ф невыполнима.

Доказательство этой теоремы легко провести на основании определения 2.3. ÿ

Очевидно, что если формула Ф невыполнима, то кроме False из нее можно получить любые следствия.

Определение 2.4. Формула R называется логическим следствием формул F1, F2, ..., Fk (или: R логически следует из F1, F2, ..., Fk), тогда и только тогда, когда для всякой интерпретации, на которой формула F1&F2&...&Fk истинна, R тоже истинна. ÿ

Из определения 2.4 очевидно, что наиболее сильным логическим следствием нескольких фактов является просто конъюнкция этих фактов.

Пример 2.6 [C85]. Инспектора Крейга из Скотланд-Ярда направили для проверки лечебницы для умалишенных. Каждый из обитателей лечебницы - врач либо пациент - мог быть либо здоров, либо лишен рассудка. Если он был здоров, то говорил правду, если лишен рассудка, то только лгал.

В лечебнице Крейг побеседовал с двумя обитателями, Джонсом и Смитом. Джонс сказал, что Смит - один из врачей больницы, а Смит сказал, что Джонс - пациент. Поразмыслив, Крейг догадался, что либо в клинике или есть доктора, лишенные рассудка, или пациенты, которые нормальны (очевидно, и то, и другое следует пресекать). Как он догадался об этом? В [C85] приведено долгое рассуждение, обосновывающее вывод инспектора. Однако, вывод этот можно получить чисто механически. Действительно, обозначим:

Дд - Джонс доктор (следовательно, ØДд - Джонс пациент);

Нд - Джонс нормален (следовательно, ØНд - Джонс болен);

Дс -Смит доктор (следовательно, ØДс - Смит пациент);

Нс -Смит нормален (следовательно, ØНс - Смит болен).

Информация, полученная Крейгом, сводится к четырем фактам:

1) Нд Þ Дс;

2) ØНд ÞØДс;

3) Нс ÞØДд;

4) ØНс Þ Дд.

Какой вывод можно сделать из этих фактов? Для построения наиболее сильного следствия возьмем их конъюнкцию:

(НдÞДс)(ØНдÞØДс)(НсÞØДд)(ØНсÞДд) =

(ØНдÚДс)(НдÚØДс)(ØНсÚØДд)(НсÚДд) =

(ØНдØДс ÚДсНд)(ØНсДд ÚØДдНс) =

ØНдØДсØНсДдÚØНдØДсØДдНсÚ ДсНдØНсДд Ú ДсНдØДдНс.

Первый терм говорит о том, что Джонс доктор, но ненормальный, последний - что он пациент, но нормален. Второй и третий термы говорят подобное же о Смите. Их дизъюнкция говорит о том, что по крайней мере одна из этих возможностей реализуется. Каждая из них аномальна. Поэтому у инспектора Крейга есть все основания для расследования. ÿ

Пусть теперь мы имеем произвольную схему рассуждений. Определение 2.4 дает нам возможность систематической проверки правильности любой схемы рассуждений с высказываниями, например, по таблице истинности. Построим таблицы истинности формул F1&F2&...&Fk и R для рассуждения “Узнала - спросила” примера 2.1 (табл.2.6).

Таблица 2.6

Ск Сп У F1=ØСкÞØУ F2=ØСпÞØСк F3=У F1&F2&F3 R= Сп
f f f t t f f f
f f t f t t f f
f t f t t f f t
f t t f t t f t
t f f t f f f f
t f t t f t f f
t t f t t f f t
t t t t t t t t

Формула F1&F2&F3 истинна в табл.2.6 только на последней интерпретации аргументов, и на этой же интерпретации R тоже истинна. Следовательно, схема для рассуждения “Узнала - спросила” правильна, вывод с необходимостью следует из истинности фактов. Заключительное утверждение здесь является новым знанием, оно не проверялось в реальной жизни специально: проверялись другие, а это является логическим следствием указанных фактов. Для того, чтобы сделать вывод о его истинности, достаточно только убедиться в истинности других высказываний (фактов): F1, F2, F3. Конечно, формальная логика не может гарантировать, что эти высказывания истинны - определение этого выходит за рамки логики, но уж если их истинность установлена, то истинность результата R можно не устанавливать: она будет следовать формально.

Проанализируем рассуждение “о хоккее” примера 2.2. Построим таблицу истинности:

Таблица 2.7

X M F1=ХÞМ F2=ØМÞØХ F3=ØХ F1&F2&F3 R=ØМ
f f t t t t t
f t t t t t f
t f f f f f t
t t t t f f f

Табл. 2.7 показывает, что в этом рассуждении вывод не является логическим следствием утверждений F1, F2, F3. Интерпретация (f,t) является контрпримером: на ней все факты истинны, а утверждение R - ложно. Это означает, что установить, является ли говорящий трусом или мужчиной, считая истинными только высказывания F1, F2 и F3 этого утверждения, нельзя, решение этой проблемы требует привлечения каких-то других фактов. Интересно, что хотя две строки этой популярной песни: “В хоккей играют настоящие мужчины,” и “Трус не играет в хоккей” звучат по-разному, с логической точки зрения они не отличаются: соответствующие логические функции ХÞМ и ØМÞØХ эквивалентны, одна является контрапозицией другой.

Используя таблицы истинности, легко проверить, что каждый приведенный выше силлогизм является “правильной” схемой рассуждений. Читатель может на основании этого подхода с построением таблиц истинности легко придумать свои правильные схемы рассуждений.

При всей ясности метода, таблицы истинности неудобны при большом числе аргументов в рассуждении. Поэтому в логике были разработаны также и другие методы анализа рассуждений, основывающиеся на определении понятия логического следствия.