Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Названные числовые характеристики дают представление о разбросе случайных величин относительно их среднего значения.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №1 - открытая онлайн библиотека

Для вычисления дисперсии можно использовать слегка преобразованную формулу

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №2 - открытая онлайн библиотека

т.к. М(х), 2 и Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №3 - открытая онлайн библиотека постоянные величины, то

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №4 - открытая онлайн библиотека

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №5 - открытая онлайн библиотека .

Свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю. По определению

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №6 - открытая онлайн библиотека

Свойство 2. Постоянную можно выносить за знак дисперсии с возведением в квадрат.

Доказательство:

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №7 - открытая онлайн библиотека

Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №8 - открытая онлайн библиотека

Центрированная величина обладает двумя удобными для преобразования свойствами:

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №9 - открытая онлайн библиотека

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №10 - открытая онлайн библиотека

Свойство 3. Если случайные величины Х и У независимы, то

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №11 - открытая онлайн библиотека

Доказательство. Обозначим Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №12 - открытая онлайн библиотека . Тогда Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №13 - открытая онлайн библиотека и Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №14 - открытая онлайн библиотека . Поэтому

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №15 - открытая онлайн библиотека

Во втором слагаемом в силу независимости случайных величин и свойств центрированных случайных величин

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №16 - открытая онлайн библиотека

поэтому равенство можно продолжить

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №17 - открытая онлайн библиотека

Пример. Если a и b – постоянные, то D(ax+b)=D(ax)+D(b)= Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №18 - открытая онлайн библиотека

Дисперсия, как характеристика разброса случайной величины, имеет один недостаток. Если, например, Х – ошибка измерения имеет размерность ММ, то дисперсия имеет размерность Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №19 - открытая онлайн библиотека . Поэтому часто предпочитают пользоваться другой характеристикой разброса – средним квадратическим отклонением, которое равно корню квадратному из дисперсии.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №20 - открытая онлайн библиотека

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Дисперсия числа появления события в схеме независимых испытаний.

Производится n независимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равна р. Выразим, как и прежде, число появления события Х через число появления события в отдельных опытах

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №21 - открытая онлайн библиотека

Так как опыты независимы, то и связанные с опытами случайные величины Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №22 - открытая онлайн библиотека независимы. А в силу независимости Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №22 - открытая онлайн библиотека имеем

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №24 - открытая онлайн библиотека

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №22 - открытая онлайн библиотека
Р 1-р р


Но каждая из случайных величин имеет закон распределения и Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №26 - открытая онлайн библиотека , поэтому по определению дисперсии

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №27 - открытая онлайн библиотека ,

где q=1-p

В итоге имеем Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №28 - открытая онлайн библиотека , Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №29 - открытая онлайн библиотека

Среднее квадратическое отклонение числа появления событий в n независимых опытах равно Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №30 - открытая онлайн библиотека .

Моменты случайных величин.

Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой случайной величины.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №31 - открытая онлайн библиотека

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени соответствующей центрированной величины.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №32 - открытая онлайн библиотека

Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, т.к. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №33 - открытая онлайн библиотека .

Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.

Числовые характеристики системы случайных величин составляют числовые характеристики каждой из величин, входящих в систему, и числовые характеристики, дающие представление о характере связи между величинами. Числовые характеристики каждой из величин по отдельности определяются как числовые характеристики обычных случайных величин. Из числовых характеристик зависимости между величинами назовем лишь наиболее употребимую.

Корреляционным моментом или ковариацией случайных величин Х и У называется математическое ожидание произведения соответствующих центрированных величин

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №34 - открытая онлайн библиотека

Если случайные величины независимы, то их ковариация равна нулю. Обратное утверждение верно не всегда. Равенство нулю ковариации независимых случайных величин следует из теоремы о математическом ожидании произведения независимых случайных величин

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №35 - открытая онлайн библиотека

часто силу зависимости между случайными величинами характеризуют безразмерным коэффициентом Дисперсия и среднее квадратическое отклонение - №36 - открытая онлайн библиотека .

ВОПРОС