Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии

Частным случаем линейного ограничения является проверка гипотезы о равенстве коэффициента Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №1 - открытая онлайн библиотека регрессии некоторому значению Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №2 - открытая онлайн библиотека . В этом случае соответстующая t-статистика равна:

Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №3 - открытая онлайн библиотека

где Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №4 - открытая онлайн библиотека - стандартная ошибка оценки коэффициента - квадратный корень из соответствующего диагонального элемента ковариационной матрицы оценок коэффициентов.

При справедливости нулевой гипотезы распределение этой статистики - Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №5 - открытая онлайн библиотека . Если значение статистики выше критического значения, то отличие коэффициента от Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №2 - открытая онлайн библиотека является статистически значимым (неслучайным), в противном случае - незначимым (случайным, то есть истинный коэффициент вероятно равен или очень близок к предполагаемому значению Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №2 - открытая онлайн библиотека )

Замечание[править | править исходный текст]

Одновыборочный тест для математических ожиданий можно свести к проверке линейного ограничения на параметры линейной регрессии. В одновыборочном тесте это «регрессия» на константу. Поэтому Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №8 - открытая онлайн библиотека регрессии это и есть выборочная оценка дисперсии изучаемой случайной величины, матрица Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №9 - открытая онлайн библиотека равна Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №10 - открытая онлайн библиотека , а оценка «коэффициента» модели равна выборочному среднему. Отсюда и получаем выражение для t-статистики, приведенное выше для общего случая.

Аналогично можно показать, что двухвыборочный тест при равенстве дисперсий выборок также сводится к проверке линейных ограничений. В двухвыборочном тесте это «регрессия» на константу и фиктивную переменную, идентифицирующую подвыборку в зависимости от значения (0 или 1): Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №11 - открытая онлайн библиотека . Гипотеза о равенстве математических ожиданий выборок может быть сформулирована как гипотеза о равенстве коэффициента b этой модели нулю. Можно показать, что соответствующая t-статистика для проверки этой гипотезы равна t-статистике, приведенной для двухвыборочного теста.

Также к проверке линейного ограничения можно свести и в случае разных дисперсий. В этом случае дисперсия ошибок модели принимает два значения. Исходя из этого можно также получить t-статистику, аналогичную приведенной для двухвыборочного теста.

Случайная величина - это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей - распределение количества «успехов» в последовательности из Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №10 - открытая онлайн библиотека независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №13 - открытая онлайн библиотека .

Для применения данного критерия необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. В случае применения двухвыборочного критерия для независимых выборок также необходимо соблюдение условия равенства дисперсий. Существуют, однако, альтернативы критерию Стьюдента для ситуации с неравными дисперсиями.

Требование нормальности распределения данных является необходимым для точного Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №14 - открытая онлайн библиотека -теста. Однако, даже при других распределениях данных возможно использование Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №14 - открытая онлайн библиотека -статистики. Во многих случаях эта статистика асимптотически имеет стандартное нормальное распределение - Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №16 - открытая онлайн библиотека , поэтому можно использовать квантили этого распределения. Однако, часто даже в этом случае используют квантили не стандартного нормального распределения, а соответствующего распределения Стьюдента, как в точном Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №14 - открытая онлайн библиотека -тесте. Асимптотически они эквивалентны, однако на малых выборках доверительные интервалы распределения Стьюдента шире и надежнее.

Пуассоновское распределение (дискретное)

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

При условии Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №18 - открытая онлайн библиотека закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №19 - открытая онлайн библиотека события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Ряд распределения:

Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №20 - открытая онлайн библиотека ….. k …..
Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №21 - открытая онлайн библиотека Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №22 - открытая онлайн библиотека Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №23 - открытая онлайн библиотека ….. Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №24 - открытая онлайн библиотека …..

Вероятности вычисляются по формуле Пуассона: Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №25 - открытая онлайн библиотека .

Числовые характеристики: Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №26 - открытая онлайн библиотека , Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №27 - открытая онлайн библиотека , Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №28 - открытая онлайн библиотека

Разные многоугольники распределения при Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №29 - открытая онлайн библиотека .

Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии - №30 - открытая онлайн библиотека