Теорема Лагранжа

Пусть G – группа, и H – подгруппа в G. Введем на множестве G бинарное отношение ~ : для элементов g1, g2 Î G будем считать по определению, что g1 ~ g2 Û g1g2-1Î Н. Выражение g1g2-1 называется групповой разностью.

Очевидно, g1g2-1= h Î Н Û g1= h g2.

Утверждение.Отношение ~ является отношением эквивалентности на G.

Доказательство.Очевидно, отношение ~ - рефлексивно, то есть "gÎ G g ~ g , так как g g -1 = e Î H. Кроме того, отношение ~ - симметрично, так как если g1 ~ g2, то

g1g2-1= h Î Н Þ h -1ÎH, h -1= g2g1-1Î H Þ g2 ~ g1 . И наконец, отношение ~ - транзитивно, так как если g1~ g2, g2 ~ g3, то g1g2-1= h1Î Н, g2g3-1= h2 Î Н Þ h1h2 = g1g3-1Î Н Þ g1 ~ g3.



Таким образом, множество G разбивается в объединение непересекающихся классов эквивалентных элементов. Причем cl g1 = {g Î G| g ~ g1} = {g Î G| g = hg1, h Î Н } = Hg1 . Класс Hg1 называется правым смежным классом элемента g1 по подгруппе Н. Аналогично, левым смежным классом элемента g1 по подгруппе Н называется подмножество g1H.

Упражнение. Найти фактормножество G / ~ в случаях, когда H = G и H = {e}.

Пусть G – конечная группа, и число элементов группы G равно п: |G| = n . Число элементов группы называется порядком группы. Пусть Н – подгруппа в G, |H| = m.

Теорема Лагранжа. m | n, причем n = km, где k – число правых смежных классов группы G по подгруппе Н.

Доказательство.Пусть H = { h1,…, hm}. Тогда

Hg ={ h1g,…, hmg }, причем все элементы h1g,…,hmg – различ-

ны, так как если hig = hjg , то higg -1 = hjgg -1 Þ hi = hj . Следовательно, |Hg| = m = |H|, то есть число элементов во всех правых смежных классах одинаково и равно т. Так как количество смежных классов равно k, они не пересекаются и их объединение совпадает с G, то n = mk Þ m = n / k.



Аналогично доказывается теорема Лагранжа для левых смежных классов группы G по подгруппе Н. И количество их также равно n / k = т.

Определение.Количество смежных классов (правых или левых) группы G по подгруппе Н называется индексом подгруппы Н в группе G и обозначается (G:H).

В новых обозначениях теорема Лагранжа может быть сформулирована так: |G| / |H| = (G:H).