Напряженность и потенциал — характеристики электрического поля

Силовой характеристикой электрического поля является напряженность, равная отношению силы, действующей в данной точке поля на точечный заряд, к этому заряду

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №1 - открытая онлайн библиотека (12.1)

Напряженность - вектор, направление которого совпадает с направлением силы, действующей в данной точке поля на положительный точечный заряд.

Напряженность электрического поля в произвольных точках аналитически задается следующими тремя уравнениями:

Ех = f1(x, у, z); Еу = f2(х, у, z); Ez = f3(x, у, z), (12.2)

где Ех, Еу и Ez - проекции вектора напряженности на соответствующие координатные оси, введенные для описания поля. Электрическое поле графически удобно представлять силовыми линиями,касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности в соответствующих точках поля.

Обычно эти линии проводят с такой густотой, чтобы число линий, проходящих сквозь единичную площадку, перпендикулярную им, было пропорционально значению напряженности электрического поля в месте расположения площадки.

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №2 - открытая онлайн библиотека Представим себе, что заряд q перемещается в электрическом поле по траектории 1-а-2 (рис. 12.1). Силы поля при этом совершают работу, которую можно выразить через напряженность [см. (12.1)]:

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №3 - открытая онлайн библиотека (12.3)

где dl - элементарное перемещение; El - проекция вектора Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №4 - открытая онлайн библиотека на направление Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №5 - открытая онлайн библиотека . Покажем, что работа сил электростатического поля (электрического поля неподвижных зарядов) не зависит от траектории, по которой перемещается заряд в этом поле. Поля, обладающие таким свойством, называют потенциальными.

Пусть заряд q переместился по замкнутой траектории 1-а-2-б-1 (рис. 12.1). Так как поле электростатическое, то положение зарядов, создающих поле, при этом не изменилось, и потенциальная энергия, зависящая от их взаимного положения, осталась прежней. Поэтому работа сил электростатического поля по переме­щению заряда по замкнутой траектории равна нулю:

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №6 - открытая онлайн библиотека

(12.4)

Так как силы, действующие на заряд q, определяются его положением в поле, то выражения для работ сил поля при перемещении заряда по одной и той же траектории в противоположных направлениях отличаются только знаком:

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №7 - открытая онлайн библиотека

(по б) (по б)

Подстановка этого выраже­ния в (12.4)дает

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №8 - открытая онлайн библиотека

(12.5)

Равенство (12.5) означает, что работа сил электростатического поля не зависит от траектории заряда, а зависит от величины заряда, положения начальной и конечной точек траектории и от напряженности поля.

На основании этого свойства вводят понятие разности потенциалов Dj, которая для электростатического поля равна напряжению U.

Разностью потенциалов между точками поля называют отношение работы, совершаемой силами поля при перемеще­нии точечного положительного заряда из одной точки поля в другую, к этому заряду:

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №9 - открытая онлайн библиотека (12.6)

где j1 и j2 - потенциалы в точках 1 и 2 электрического поля, U12 - напряжение между этими точками. Разность потенциалов между двумя точками зависит от положения выбранных точек и от на­пряженности электрического поля, как следует из (12.6).

Наряду с разностью потенциалов в качестве характеристики электрического поля используют понятие потенциала. Однако для данной точки поля оно имеет однозначный смысл только в том случае, если задан потенциал какой-либо произвольной точки поля. На практике принято считать, что потенциал проводников, соединенных с землей, или потенциал шасси, на котором смонти­ровано радиоустройство (и в том и в другом случаях говорят о за­землении), равны нулю. В теоретических задачах обычно считают равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек.

Вычислим потенциал поля точечного заряда,расположенного в однородном изотропном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью e (рис. 12.2). Пусть точки 1 и 2 находятся на одной силовой линии ни расстояниях соответственно r1 и r2 от источника поля - заряда Q. Проинтегрируем выражение (12.6) по отрезку 1-2, учитывая, что в соответствии с законом Кулона (для точечного заряда) Еl = E = Q/(4pe e0r2) и dr = dl:

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №10 - открытая онлайн библиотека Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №11 - открытая онлайн библиотека (12.7)

где e0 » 8,85 - 10 12 Ф/м - электрическая постоянная1.

(1 Размерность электрической постоянной e0 выражается также в виде Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №12 - открытая онлайн библиотека , что следует из закона Кулона).

Предположим, что потенциал в бесконечно удаленной точке равен нулю: j2 ®0 при r2 ® ¥. Тогда из (12.7) получаем

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №13 - открытая онлайн библиотека

или в более общем виде (12.8)

Могли быть и другие предположения относительно значения потенциала в бесконечно удаленной точке, однако сделанное выше допущение привело к наиболее простому выражению (12.8), по которому обычно и вычисляют потенциал поля точечного заряда.

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №14 - открытая онлайн библиотека Потенциалы электрического поля в различных точках наглядно можно представить в виде поверхностей одинакового потенциала (эквипотенциальных поверхностей). Обычно проводят экви­потенциальные поверхности, отличающиеся от соседних на одно и то же значение потенциала. На рис. 12.3 изображены эквипотенциальные поверхности (штриховые линии) и силовые линии (сплошные) поля двух разноименных одинаковых точечных зарядов.

Аналитически зависимость электрического потенциала от координат в разных точках поля задается некоторой функцией координат

j = f(x, у, г),(12.9)

которая в частных случаях может иметь, например, вид (12.8). Так как напряженность электрического поля определяется через силу, а потенциал - через работу сил поля, то эти характеристики связаны между собой аналогично силе и работе. Интегральная зависимость напряженности поля и потенциала дается формулой (12.6) или выражением

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №15 - открытая онлайн библиотека (12.10)

Здесь с учетом знака «-» изменены пределы интегрирования: верхнему пределу интеграла соответствует в левой части уменьшаемое j2, нижнему - вычитаемое j1.

Получим дифференциальную связь между Е и j. Предположим, что точки 2 и 1 расположены сколь угодно близко, тогда из (12.10) получим

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №16 - открытая онлайн библиотека (12.11)

Производная от потенциала по направлению dj/dl характеризует отношение приращения потенциала dj к соответствующему расстоянию dl в некотором направлении l; Еl - проекция вектора Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №4 - открытая онлайн библиотека на это направление.

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №18 - открытая онлайн библиотека Смысл формулы (12.11) виден из рис. 12.4. В точке 0 проведен вектор Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №4 - открытая онлайн библиотека , который спроецирован на направления l1, l2 и l3. Эти проекции по модулю равны производным от потенциала по соответствующим направлениям: çdj/dl1ç, çdj/dl2ç, çdj/dl3ç.Наиболь­шее изменение потенциала, приходящееся на единицу длины, происходит вдоль прямой, совпадающей с Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №20 - открытая онлайн библиотека ; знак «минус» в (12.11) означает, что потенциал быстрее всего убывает в направлении Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №4 - открытая онлайн библиотека и быстрее всего возрастает в направлении - Е. Можно сказать, что вектор Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №4 - открытая онлайн библиотека равен взятому с обратным знаком градиенту потенциала:

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №23 - открытая онлайн библиотека (12.12)

В направлении, перпендикулярном силовой линии, имеем

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №24 - открытая онлайн библиотека (12.13)

Из этого следует, что силовые линии и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны.Если поле однородно, например поле плоского конденсатора, то из формулы (12.6) находим что для двух точек, расположенных на одной силовой линии на расстоянии l,

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №25 - открытая онлайн библиотека (12.14)

Учитывая (12.11) и (12.9), можно записать проекции вектора напряженности электрического поля по трем координатным осям:

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №26 - открытая онлайн библиотека

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №27 - открытая онлайн библиотека (12.15)

Тогда напряженность определяют по формуле

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №28 - открытая онлайн библиотека (12.16)

Если поле создано N точечными зарядами, то напряженность в некоторой точке можно вычислить как векторную сумму напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом отдельно (принцип суперпозиции):

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №29 - открытая онлайн библиотека (12.17)

а электрический потенциал в этой точке - как алгебраическую сумму потенциалов от каждого заряда, предполагая, что потенциал бесконечно удаленных точек равен нулю:

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №30 - открытая онлайн библиотека (12.18)

Существующие электроизмерительные приборы рассчитаны на измерение разности потенциалов, а не напряженности. Ее можно найти из этих измерений, используя связь Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №4 - открытая онлайн библиотека и j.

Электрический диполь

Электрическим диполем (диполем) называют систему, состоящую из двух равных, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (плечо диполя).

Основной характеристикой диполя (рис. 12.5) является его электрический момент (диполъный момент) - вектор, равный произведению заряда на плечо диполя l, направленный от отрицательного заряда к положительному:

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №32 - открытая онлайн библиотека (12.19)

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №33 - открытая онлайн библиотека

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №34 - открытая онлайн библиотека Единицей электрического момента диполя является кулон-метр. Поместим диполь в однородное электрическое поле напряженностью Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №4 - открытая онлайн библиотека (рис. 12.6).

На каждый из зарядов диполя действуют силы Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №36 - открытая онлайн библиотека и Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №37 - открытая онлайн библиотека , эти силы равны по модулю, противоположно направлены и создают момент пары сил. Как видно из рисунка, он равен

М = qElsin a = pEsin a, (12.20)

или в векторной форме

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №38 - открытая онлайн библиотека . (12.21)

Таким образом, на диполь в однородном электрическом поле действует момент силы, зависящий от электрического момента и ориентации диполя, а также напряженности поля.

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №39 - открытая онлайн библиотека Рассмотрим теперь диполь в неоднородном электрическом поле. Предположим, что диполь расположен вдоль силовой линии (рис. 12.7). На него действуют силы

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №40 - открытая онлайн библиотека и Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №41 - открытая онлайн библиотека

где Е+ и Е_ - напряженности поля соответственно в месте нахождения положительного и отрицательного зарядов (на рис. 12.7 Е- > Е+). Значение равнодействующей этих сил

F = F_ - F+ = qE_ - qE+ = q(E_ - Е+). (12.22)

Введем отношение (Е_ - Е+)/l, характеризующее среднее изменение напряженности, приходящееся на единицу длины плеча диполя. Так как обычно плечо невелико, то приближенно можно считать

(Е_ - E+)/l = dE/dx, (12.23)

где dE/dx - производная от напряженности электрического поля по направлению оси ОХ, являющаяся мерой неоднородности электрического поля вдоль соответствующего направления. Из (12.23)следует, что

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №42 - открытая онлайн библиотека

тогда формулу (12.22) можно представить в виде

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №43 - открытая онлайн библиотека (12.24)

Итак, на диполь действует сила, зависящая от его электрического момента и степени неоднородности поля dE/dx. Если диполь ориентирован в неоднородном электрическом поле не вдоль силовой линии, то на него дополнительно действует еще и момент силы. Таким образом, свободный диполь ориентируется вдоль силовых линий и втягивается в область больших значений напряженности поля.

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №44 - открытая онлайн библиотека До сих пор рассматривался диполь, помещенный в электрическое по­ле, однако сам диполь также является источником поля. На основании (12.18) запишем выражение для электрического потенциала поля, со­зданного диполем, в некоторой точке А, удаленной от зарядов соответ­ственно на расстояния гиг, (рис. 12.8):

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №45 - открытая онлайн библиотека (12.25)

Обычно предполагают, что l << r, l << r1, тогда r » r1, и

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №46 - открытая онлайн библиотека (12.26)

где a - угол между вектором Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №47 - открытая онлайн библиотека и направлением от диполя на точку А (рис. 12.8). Используя (12.26), из (12.25) получаем

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №48 - открытая онлайн библиотека (12.27)

Рассмотрим некоторые приложения формулы (12.27).

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №49 - открытая онлайн библиотека Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №50 - открытая онлайн библиотека

Пусть диполь, электрический момент которого равен Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №47 - открытая онлайн библиотека , находится в точке О (рис. 12.9), а его плечо мало. Используя (12.27), запишем разность потенциалов двух точек поля А и В, равноотстоящих от диполя (углы aА и aВ показаны на рис. 12.9):

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №52 - открытая онлайн библиотека (12.28)

Угол между Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №47 - открытая онлайн библиотека и прямой АВ или ОС обозначим a, ÐAOB = b, углы aА = a + b/2 + +p/2, aВ = a - b/2 + p/2.

Учитывая эти равенства, выполним тригонометрические преобразования:

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №54 - открытая онлайн библиотека (12.29)

Подставляя (12.29) в (12.28), имеем

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №55 - открытая онлайн библиотека (12.30)

Как видно из (12.30), разность потенциалов двух точек поля диполя, равноотстоящих от него (при данных e и r), зависит от синуса половинного угла, под которым видны эти точки от диполя (рис. 12.10), и проекции электрического момента диполя р cos a на прямую, соединяющую эти точки (рис. 12.11). Эти замечания справедливы в рамках тех ограничений, которые были сделаны при выводе формулы (12.27).

Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №56 - открытая онлайн библиотека Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №57 - открытая онлайн библиотека

Пусть диполь, создающий электрическое поле, находится в центре равностороннего треугольника ABC (рис. 12.12). Тогда на основании (12.30) можно получить, что напряжения на сторонах этого треугольника относятся как проекции вектора Напряженность и потенциал - характеристики электрического поля - №47 - открытая онлайн библиотека на его стороны:

UAB : UBC : UCA = pAB : pBC : pCA (12.31)