Примеры применения Марковского метода

2.4.4.1 Система с восстановлением с двумя состояниями. В качестве примера применения Марковского метода для определения показателей надежности рассмотрим восстанавливаемый объект (рис. 2.18), у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока Примеры применения Марковского метода - №1 - открытая онлайн библиотека , а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления Примеры применения Марковского метода - №2 - открытая онлайн библиотека ( Примеры применения Марковского метода - №3 - открытая онлайн библиотека – средняя наработка между отказами, Примеры применения Марковского метода - №4 - открытая онлайн библиотека – среднее время восстановления).

Примеры применения Марковского метода - №5 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 2.18 – Диаграмма графа состояний

Для данного примера:

- Примеры применения Марковского метода - №6 - открытая онлайн библиотека – работоспособное состояние;

- Примеры применения Марковского метода - №7 - открытая онлайн библиотека – состояние отказа;

- Примеры применения Марковского метода - №8 - открытая онлайн библиотека – вероятность работоспособного состояния при Примеры применения Марковского метода - №9 - открытая онлайн библиотека ;

- Примеры применения Марковского метода - №10 - открытая онлайн библиотека – вероятность неработоспособного состояния при Примеры применения Марковского метода - №9 - открытая онлайн библиотека .

Система дифференциальных уравнений для данного графа состояний имеет вид:

Примеры применения Марковского метода - №12 - открытая онлайн библиотека (2.53)

Начальные условия: при Примеры применения Марковского метода - №13 - открытая онлайн библиотека Примеры применения Марковского метода - №14 - открытая онлайн библиотека , а Примеры применения Марковского метода - №15 - открытая онлайн библиотека , поскольку состояния Примеры применения Марковского метода - №6 - открытая онлайн библиотека и Примеры применения Марковского метода - №7 - открытая онлайн библиотека представляют полную группу событий, то Примеры применения Марковского метода - №18 - открытая онлайн библиотека .

Будем решать систему уравнений относительно Примеры применения Марковского метода - №8 - открытая онлайн библиотека :

Примеры применения Марковского метода - №20 - открытая онлайн библиотека . (2.54)

Найдем решение дифференциального уравнения (2.54) при ненулевых условиях.

Примеры применения Марковского метода - №21 - открытая онлайн библиотека

Тогда

Примеры применения Марковского метода - №22 - открытая онлайн библиотека , (2.55)

Примеры применения Марковского метода - №23 - открытая онлайн библиотека . (2.56)

С помощью полученных выражений (2.55) и (2.56) можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент Примеры применения Марковского метода - №9 - открытая онлайн библиотека .

Коэффициент готовности системы Примеры применения Марковского метода - №25 - открытая онлайн библиотека определяется при установившемся режиме Примеры применения Марковского метода - №26 - открытая онлайн библиотека , при этом Примеры применения Марковского метода - №27 - открытая онлайн библиотека , поэтому система уравнений (2.53) преобразуется в систему алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями:

Примеры применения Марковского метода - №28 - открытая онлайн библиотека (2.54)

Решая систему уравнений (2.54) получим:

Примеры применения Марковского метода - №29 - открытая онлайн библиотека (2.55)

Параметр Примеры применения Марковского метода - №30 - открытая онлайн библиотека потока отказов

Примеры применения Марковского метода - №31 - открытая онлайн библиотека . (2.56)

При Примеры применения Марковского метода - №26 - открытая онлайн библиотека (стационарный установившийся режим восстановления)

Примеры применения Марковского метода - №33 - открытая онлайн библиотека . (2.58)

Средняя наработка между отказами ( Примеры применения Марковского метода - №26 - открытая онлайн библиотека )

Примеры применения Марковского метода - №35 - открытая онлайн библиотека . (2.59)

Среднее время восстановления

Примеры применения Марковского метода - №36 - открытая онлайн библиотека . (2.60)

Используя выражения (2.49), (2.55), (2.59) и (2.60)

Примеры применения Марковского метода - №37 - открытая онлайн библиотека

Примеры применения Марковского метода - №38 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, коэффициент готовности характеризует долю времени, в течении которого система работоспособна, а коэффициент простоя характеризует долю времени, в течении которого система ремонтируется.

Анализ изменения Примеры применения Марковского метода - №8 - открытая онлайн библиотека позволяет сделать выводы:

- при мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности Примеры применения Марковского метода - №40 - открытая онлайн библиотека

- Примеры применения Марковского метода - №41 - открытая онлайн библиотека ;

- при отсутствии восстановления Примеры применения Марковского метода - №42 - открытая онлайн библиотека

- Примеры применения Марковского метода - №43 - открытая онлайн библиотека ,

т.е. вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.

2.4.4.2 Система без восстановления с двумя состояниями. Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем). В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности Примеры применения Марковского метода - №44 - открытая онлайн библиотека выхода из этих состояний исключаются. Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид (рис. 2.19).

Примеры применения Марковского метода - №45 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 2.19 –Диаграмма графа состояний

Для данного примера:

- Примеры применения Марковского метода - №6 - открытая онлайн библиотека – работоспособное состояние;

- Примеры применения Марковского метода - №7 - открытая онлайн библиотека – состояние отказа («поглощающее» состояние).

Система дифференциальных уравнений для данного графа состояний имеет вид:

Примеры применения Марковского метода - №48 - открытая онлайн библиотека

А вероятность безотказной работы

Примеры применения Марковского метода - №49 - открытая онлайн библиотека .

2.4.4.3 Связь структурной схемы надежности с графом состояний. Переход от структурной схемы надежности к графу состояний необходим:

1) при смене методов расчета надежности и сравнении результатов;

2) для оценки выигрыша в надежности при переходе от невосстанавливаемой системы к восстанавливаемой.

Рассмотрим типовые структурные схемы надежности (табл. 2.3). Типовые соединения рассмотрены для невосстанавливаемых систем (граф – однонаправленный, переходы характеризуются переходами интенсивности отказов Примеры применения Марковского метода - №50 - открытая онлайн библиотека ). Для восстанавливаемых систем в графах состояний добавляются обратные переходы, соответствующие интенсивностям восстановлений Примеры применения Марковского метода - №44 - открытая онлайн библиотека .

Таблица 2.3 – Структурные схемы надежности и диаграммы графа состояний

Структурная схема надежности Диаграмма графа состояний
Элементы различной надежности Равнонадежные элементы
Примеры применения Марковского метода - №52 - открытая онлайн библиотека Примеры применения Марковского метода - №53 - открытая онлайн библиотека Примеры применения Марковского метода - №54 - открытая онлайн библиотека Примеры применения Марковского метода - №55 - открытая онлайн библиотека
Примеры применения Марковского метода - №56 - открытая онлайн библиотека Примеры применения Марковского метода - №57 - открытая онлайн библиотека Примеры применения Марковского метода - №58 - открытая онлайн библиотека Примеры применения Марковского метода - №59 - открытая онлайн библиотека
Примеры применения Марковского метода - №60 - открытая онлайн библиотека Примеры применения Марковского метода - №61 - открытая онлайн библиотека Примеры применения Марковского метода - №62 - открытая онлайн библиотека Примеры применения Марковского метода - №63 - открытая онлайн библиотека

2.4.4.4. Система с восстановлением с множеством состояниями. Определим коэффициент готовности и коэффициент простоя системы, содержащей основной и Примеры применения Марковского метода - №64 - открытая онлайн библиотека резервных элементов, находящихся в нагруженном режиме (рис. 2.20). Отказавшие элементы образуют очередь на ремонт, который осуществляется с интенсивностью Примеры применения Марковского метода - №44 - открытая онлайн библиотека . Интенсивность отказа любого элемента равна Примеры применения Марковского метода - №50 - открытая онлайн библиотека .

Примеры применения Марковского метода - №67 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 2.20 – Система с параллельным нагруженным резервом

Введём в рассмотрение состояния Примеры применения Марковского метода - №6 - открытая онлайн библиотека , Примеры применения Марковского метода - №7 - открытая онлайн библиотека , Примеры применения Марковского метода - №70 - открытая онлайн библиотека ,…, Примеры применения Марковского метода - №71 - открытая онлайн библиотека :

- Примеры применения Марковского метода - №6 - открытая онлайн библиотека - работоспособны все Примеры применения Марковского метода - №73 - открытая онлайн библиотека элементов;

- Примеры применения Марковского метода - №7 - открытая онлайн библиотека - отказал один элемент, остальные работоспособны;

- Примеры применения Марковского метода - №70 - открытая онлайн библиотека - отказали два элемента, остальные исправны;

- Примеры применения Марковского метода - №76 - открытая онлайн библиотека - отказали Примеры применения Марковского метода - №77 - открытая онлайн библиотека элементов, остальные исправны;

- Примеры применения Марковского метода - №71 - открытая онлайн библиотека - отказала вся система, т.е. отказали все Примеры применения Марковского метода - №73 - открытая онлайн библиотека элементов.

Построим граф состояний (рис. 2.21).

Примеры применения Марковского метода - №80 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 2.21 – Диаграмма графа состояний

Система дифференциальных уравнений имеет вид:

Примеры применения Марковского метода - №81 - открытая онлайн библиотека (2.61)

В установившемся режиме имеем Примеры применения Марковского метода - №82 - открытая онлайн библиотека

В результате из (2.61) получим систему алгебраических уравнений вида:

Примеры применения Марковского метода - №83 - открытая онлайн библиотека (2.61)

Из системы алгебраических уравнений (2.61) имеем:

Примеры применения Марковского метода - №84 - открытая онлайн библиотека (2.62)

Для вероятностей состояний справедливо следующее соотношение:

Примеры применения Марковского метода - №85 - открытая онлайн библиотека ,

или

Примеры применения Марковского метода - №86 - открытая онлайн библиотека ;

Примеры применения Марковского метода - №87 - открытая онлайн библиотека .

Из системы (2.62)

Примеры применения Марковского метода - №88 - открытая онлайн библиотека Примеры применения Марковского метода - №89 - открытая онлайн библиотека .

Примеры применения Марковского метода - №88 - открытая онлайн библиотека Примеры применения Марковского метода - №91 - открытая онлайн библиотека .