Отчет по лабораторной работе № 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ «ГОРНЫЙ» УНИВЕРСИТЕТ

Отчет по лабораторной работе № 1

По дисциплине: Методы математической статистики в маркшейдерском обеспечении

Характеристики случайного распределения результатов измерений горно-геологических показателей

Выполнил: ст. гр. ГГ-12-1 _________ Большаков А. Н.

(подпись) (Ф. И. О.)

Проверил: асс. каф. МД _________ Алексенко А. Г.

(подпись) (Ф. И. О.)

Дата: 22.11.2016

Санкт-Петербург

Цель работы – изучение начальных понятий математической статистики, способа построения вариационного ряда, нахождения числовых характеристик статистических значений показателя.

В качестве примера рассмотрена выборка представленная в таблице 1. В данной таблице указано содержание свинца в полиметаллических рудах (в %), объемом 100 значений.

Таблица 1 – Выборка результатов определения содержания свинца

Отчет по лабораторной работе № 1 - №1 - открытая онлайн библиотека

Содержание полезного компонента в рудном теле может принимать любые значения, поэтому данные случайные величины являются непрерывными. Для непрерывной случайно величины составляют интервальные вариационные ряды. Величина интервала подсчитывается по формуле Стерджеса (1):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №2 - открытая онлайн библиотека (1)

где Отчет по лабораторной работе № 1 - №3 - открытая онлайн библиотека – объем выборки; Отчет по лабораторной работе № 1 - №4 - открытая онлайн библиотека – максимальное значение из выборки; Отчет по лабораторной работе № 1 - №5 - открытая онлайн библиотека – минимальное значение из выборки.

В выборке значения показателей Отчет по лабораторной работе № 1 - №6 - открытая онлайн библиотека называются вариантами, а объем каждого варианта Отчет по лабораторной работе № 1 - №7 - открытая онлайн библиотека – его частотой.

Для сопоставимости вариационных рядов с различными объемами выборок используют значения относительных частот или частостей, вычисляемых по формуле (2):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №8 - открытая онлайн библиотека (2)

Для упрощения вычислений при отработке вариационных рядов удобно пользоваться условными значениями вариантов (3):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №9 - открытая онлайн библиотека (3)

где Отчет по лабораторной работе № 1 - №10 - открытая онлайн библиотека – среднее значение показателя в i-м интервале; Отчет по лабораторной работе № 1 - №11 - открытая онлайн библиотека – среднее значение интервала с наибольшей частотой.

Положение центра распределения определяют:

– математическим ожиданием;

– модой;

– медианой.

Для оценки рассеивания отдельных значений относительно центра пользуются:

– дисперсией;

– СКО;

–коэффициентом вариации;

– асимметрией;

– эксцессом.

Среднее выборочное значение показателя Отчет по лабораторной работе № 1 - №12 - открытая онлайн библиотека рассчитывается по формулам (4):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №13 - открытая онлайн библиотека (4)

Мода – значение показателя, которое имеет наибольшую вероятность (частоту). Мода рассчитывается по формуле (5):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №14 - открытая онлайн библиотека (5)

где Отчет по лабораторной работе № 1 - №15 - открытая онлайн библиотека и Отчет по лабораторной работе № 1 - №16 - открытая онлайн библиотека – частоты и частости предыдущего, модального и последующего интервалов вариационного ряда соответственно; Отчет по лабораторной работе № 1 - №17 - открытая онлайн библиотека – нижняя граница модального интервала.

Медиана – значение показателя в выборке, которое делит ряд распределения по частоте или частости на две равные части. Медиану определяют по формулам (6):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №18 - открытая онлайн библиотека (6)

где Отчет по лабораторной работе № 1 - №19 - открытая онлайн библиотека , Отчет по лабораторной работе № 1 - №20 - открытая онлайн библиотека – накопленные частости или частоты до начала медианного интервала.

Приближенная оценка симметричности распределения:

Отчет по лабораторной работе № 1 - №21 - открытая онлайн библиотека – симметричное распределение;

Отчет по лабораторной работе № 1 - №22 - открытая онлайн библиотека – левосторонняя асимметрия;

Отчет по лабораторной работе № 1 - №23 - открытая онлайн библиотека – правосторонняя асимметрия.

Выборочная дисперсия (7):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №24 - открытая онлайн библиотека (7)

где Отчет по лабораторной работе № 1 - №25 - открытая онлайн библиотека , Отчет по лабораторной работе № 1 - №26 - открытая онлайн библиотека – условные моменты первого и второго порядка соответственно.

Условные моменты (8):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №27 - открытая онлайн библиотека (8)

СКО (9):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №28 - открытая онлайн библиотека (9)

Коэффициент вариации характеризует относительную величину рассеивания значений показателя (10):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №29 - открытая онлайн библиотека (10)

Асимметрия (11):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №30 - открытая онлайн библиотека (11)

где Отчет по лабораторной работе № 1 - №31 - открытая онлайн библиотека – центральный момент третьего порядка: Отчет по лабораторной работе № 1 - №32 - открытая онлайн библиотека .

Оценка симметричности распределения:

Отчет по лабораторной работе № 1 - №33 - открытая онлайн библиотека –симметричное распределение;

Отчет по лабораторной работе № 1 - №34 - открытая онлайн библиотека – левосторонняя асимметрия;

Отчет по лабораторной работе № 1 - №35 - открытая онлайн библиотека – правосторонняя асимметрия.

СКО величины Отчет по лабораторной работе № 1 - №36 - открытая онлайн библиотека (12):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №37 - открытая онлайн библиотека (12)

Асимметрию считают не существенной, если Отчет по лабораторной работе № 1 - №38 - открытая онлайн библиотека .

Эксцесс (оценка «крутизны» эмпирической кривой) (13):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №39 - открытая онлайн библиотека (13)

где Отчет по лабораторной работе № 1 - №40 - открытая онлайн библиотека – центральный момент четвертого порядка: Отчет по лабораторной работе № 1 - №41 - открытая онлайн библиотека .

СКО величины Отчет по лабораторной работе № 1 - №42 - открытая онлайн библиотека (14):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №43 - открытая онлайн библиотека (14)

Эксцесс существенный, если Отчет по лабораторной работе № 1 - №44 - открытая онлайн библиотека .

Результаты вычислений представлены ниже.

Величина интервала по формуле (1):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №45 - открытая онлайн библиотека

Таблица 2 – Распределение вариационного ряда

Отчет по лабораторной работе № 1 - №46 - открытая онлайн библиотека

Среднее выборочное значение показателя Отчет по лабораторной работе № 1 - №12 - открытая онлайн библиотека по формуле (4):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №48 - открытая онлайн библиотека

Мода по формуле (5):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №49 - открытая онлайн библиотека (5)

Медиана по формуле (6):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №50 - открытая онлайн библиотека (6)

Приближенная оценка симметричности распределения:

Отчет по лабораторной работе № 1 - №22 - открытая онлайн библиотека – левосторонняя асимметрия.

Выборочная дисперсия (7):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №52 - открытая онлайн библиотека (7)

где Отчет по лабораторной работе № 1 - №25 - открытая онлайн библиотека , Отчет по лабораторной работе № 1 - №26 - открытая онлайн библиотека – условные моменты первого и второго порядка соответственно.

СКО (9):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №55 - открытая онлайн библиотека (9)

Коэффициент вариации характеризует относительную величину рассеивания значений показателя (10):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №56 - открытая онлайн библиотека (10)

Асимметрия (11):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №57 - открытая онлайн библиотека (11)

Оценка симметричности распределения:

Отчет по лабораторной работе № 1 - №34 - открытая онлайн библиотека – левосторонняя асимметрия.

СКО величины Отчет по лабораторной работе № 1 - №36 - открытая онлайн библиотека (12):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №60 - открытая онлайн библиотека (12)

Асимметрия несущественная, так как Отчет по лабораторной работе № 1 - №38 - открытая онлайн библиотека .

Эксцесс (13):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №62 - открытая онлайн библиотека (13)

СКО величины Отчет по лабораторной работе № 1 - №42 - открытая онлайн библиотека (14):

Отчет по лабораторной работе № 1 - №64 - открытая онлайн библиотека (14)

Эксцесс несущественный, так как Отчет по лабораторной работе № 1 - №65 - открытая онлайн библиотека .

Также была выполнена проверка гипотезы по двум критериям. Для этого была создана таблица, содержащая вероятности попадания в интервал, накопленные вероятности и их разности – таблица 3.

Значение Отчет по лабораторной работе № 1 - №66 - открытая онлайн библиотека рассчитано по формуле:

Отчет по лабораторной работе № 1 - №67 - открытая онлайн библиотека (15)

Значения функции плотности распределения были взяты из таблицы, а также вычислены использованием встроенной статистической функции в табличный процессор MS Excel.

Вероятность попадания в интервал Отчет по лабораторной работе № 1 - №68 - открытая онлайн библиотека получена по формуле:

Отчет по лабораторной работе № 1 - №69 - открытая онлайн библиотека (16)

где первое значение Отчет по лабораторной работе № 1 - №70 - открытая онлайн библиотека .

Теоретические частоты получаются путем умножения Отчет по лабораторной работе № 1 - №68 - открытая онлайн библиотека на число измерений Отчет по лабораторной работе № 1 - №3 - открытая онлайн библиотека .

Накопленные вероятности Отчет по лабораторной работе № 1 - №73 - открытая онлайн библиотека и Отчет по лабораторной работе № 1 - №74 - открытая онлайн библиотека получаются последовательным суммированием Отчет по лабораторной работе № 1 - №68 - открытая онлайн библиотека и Отчет по лабораторной работе № 1 - №76 - открытая онлайн библиотека . Величина Отчет по лабораторной работе № 1 - №77 - открытая онлайн библиотека .

Таблица 3 – Вероятности попадания в интервал, накопленные вероятности

Отчет по лабораторной работе № 1 - №78 - открытая онлайн библиотека

Критерий согласия Пирсона вычисляется по формуле:

Отчет по лабораторной работе № 1 - №79 - открытая онлайн библиотека (17)

где Отчет по лабораторной работе № 1 - №80 - открытая онлайн библиотека – число интервалов.

Гипотеза соответствия распределения наблюденного ряда случайных величин нормальному закону принимается, если соблюдается условие: Отчет по лабораторной работе № 1 - №81 - открытая онлайн библиотека , где Отчет по лабораторной работе № 1 - №82 - открытая онлайн библиотека – значение, выбираемое по числу степеней свободы Отчет по лабораторной работе № 1 - №83 - открытая онлайн библиотека ( Отчет по лабораторной работе № 1 - №84 - открытая онлайн библиотека при нормальном законе распределения).

Отчет по лабораторной работе № 1 - №85 - открытая онлайн библиотека , а Отчет по лабораторной работе № 1 - №86 - открытая онлайн библиотека , следовательно, можно сделать вывод о несоответствии нормальному закону распределения по критерию согласия Пирсона.

Критерий согласия Колмогорова:

Отчет по лабораторной работе № 1 - №87 - открытая онлайн библиотека (18)

Гипотеза принимается, если соблюдается условие: Отчет по лабораторной работе № 1 - №88 - открытая онлайн библиотека . Значения Отчет по лабораторной работе № 1 - №89 - открытая онлайн библиотека зависят от уровня значимости. В нашем случае Отчет по лабораторной работе № 1 - №90 - открытая онлайн библиотека .

Отчет по лабораторной работе № 1 - №91 - открытая онлайн библиотека , следовательно, можно утверждать о близости фактического распределения величин к нормальному по критерию согласия Колмогорова.

По результатам расчетов были построены эмпирическая и теоретическая кривые распределения показателя.

Отчет по лабораторной работе № 1 - №92 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 1 – Эмпирическая и теоретическая кривые распределения показателя

Вывод: в данной лабораторной работе были изучены начальные понятия математической статистики, способ построения вариационного ряда, нахождение числовых характеристик статистических значений показателя, а также некоторые критерия отнесения распределения величин к нормальному распределению.