Математические модели надежности комплексов программ

Математические модели позволяют оценивать характеристики ошибок в программах и прогнозировать их надежность при создании и эксплуатации. Модели имеют вероятностный характер, и достоверность прогнозов зависит от точности исходных данных и глубины прогнозирования по времени. Эти математические модели предназначены для оценки:

- показателей надежности комплексов программ в процессе отладки;

- количества ошибок, оставшихся невыявленными;

- времени, необходимого для обнаружения следующей ошибки в функционирующей программе;

- времени, необходимого для выявления всех ошибок с заданной вероятностью.

Использование моделей позволяет эффективно проводить отладку и испытания комплексов программ, помогает принять рациональное решение о времени прекращения отладочных работ.

В настоящее время используется множество различных математических моделей, основными из которых являются:

1) экспоненциальная модель изменения ошибок в зависимости от времени отладки;

2) модель, учитывающая дискретно - понижающуюся частоту появления ошибок как линейную функцию времени тестирования и испытаний;

3) модель, базирующаяся на распределении Вейбула;

4) модель, основанная на дискретном гипергеометрическом распределении.

При обосновании математических моделей выдвигаются некоторые гипотезы о характере проявления ошибок в комплексе программ.

Наиболее обоснованными представляются предположения, на которых базируется первая экспоненциальная модель изменения ошибок в процессе отладки и которые заключаются в следующем:

1) любые ошибки в программе являются независимыми и проявляются в случайные моменты времени;

2) время работы между ошибками определяется средним временем выполнения команды на данного аппаратного средства и средним числом команд, исполняемым между ошибками. Это означает, что интенсивность проявления ошибок при реальном функционировании программы зависит от среднего быстродействия аппаратного средства;

3) выбор отладочных тестов должен быть представительным и случайным, с тем чтобы исключить концентрацию необнаруженных ошибок для некоторых реальных условий функционирования программы;

4) ошибка, являющаяся причиной искажения результатов, фиксируется и исправляется после завершения тестирования либо вообще не обнаруживается.

Из этих свойств следует, что при нормальных условиях эксплуатации количество ошибок, проявляющихся в некотором интервале времени, распределено по закону Пуассона. В результате длительность непрерывной работы между искажениями распределена экспоненциально.

Предположим, что в начале отладки комплекса программ при Математические модели надежности комплексов программ - №1 - открытая онлайн библиотека в нем содержалось Математические модели надежности комплексов программ - №2 - открытая онлайн библиотека ошибок. После отладки в течении времени Математические модели надежности комплексов программ - №3 - открытая онлайн библиотека осталось Математические модели надежности комплексов программ - №4 - открытая онлайн библиотека ошибок и устранено Математические модели надежности комплексов программ - №5 - открытая онлайн библиотека ошибок ( Математические модели надежности комплексов программ - №6 - открытая онлайн библиотека ). При этом время Математические модели надежности комплексов программ - №3 - открытая онлайн библиотека соответствует длительности исполнения программ на вычислительной системе (ВС) для обнаружения ошибок и не учитывает простои машины, необходимые для анализа результатов и проведения корректировок.

Интенсивность обнаружения ошибок в программе Математические модели надежности комплексов программ - №8 - открытая онлайн библиотека и абсолютное количество устранённых ошибок связываются уравнением

Математические модели надежности комплексов программ - №9 - открытая онлайн библиотека , (3.11)

где Математические модели надежности комплексов программ - №10 - открытая онлайн библиотека – коэффициент пропорциональности.

Если предположить, что в начале отладки при Математические модели надежности комплексов программ - №1 - открытая онлайн библиотека отсутствуют обнаруженные ошибки, то решение уравнения (3.11) имеет вид

Математические модели надежности комплексов программ - №12 - открытая онлайн библиотека ,

а количество оставшихся ошибок в комплексе программ

Математические модели надежности комплексов программ - №13 - открытая онлайн библиотека ,

и пропорционально интенсивности обнаружения Математические модели надежности комплексов программ - №8 - открытая онлайн библиотека с точностью до коэффициента Математические модели надежности комплексов программ - №10 - открытая онлайн библиотека .

Среднее время безотказной работы программ до отказа или наработка на отказ, который рассматривается как обнаруживаемое искажение программ, данных или вычислительного процесса, нарушающее работоспособность, равно величине, обратной интенсивности обнаружения отказов (ошибок)

Математические модели надежности комплексов программ - №16 - открытая онлайн библиотека .

Если учесть, что до начала тестирования в комплексе программ содержалось Математические модели надежности комплексов программ - №2 - открытая онлайн библиотека ошибок и этому соответствовала наработка на отказ Математические модели надежности комплексов программ - №18 - открытая онлайн библиотека , то функцию наработки на отказ от длительности проверок можно представить в следующем виде

Математические модели надежности комплексов программ - №19 - открытая онлайн библиотека .

Если известны моменты обнаружения ошибок Математические модели надежности комплексов программ - №20 - открытая онлайн библиотека и каждый раз в эти моменты обнаруживается и достоверно устраняется одна ошибка, то, используя метод максимального правдоподобия, можно получить уравнение для определения значения начального числа ошибок Математические модели надежности комплексов программ - №2 - открытая онлайн библиотека :

Математические модели надежности комплексов программ - №22 - открытая онлайн библиотека ,

а также выражение для расчета коэффициента пропорциональности

Математические модели надежности комплексов программ - №23 - открытая онлайн библиотека .

В результате можно рассчитать число оставшихся в программе ошибок и среднюю наработку на отказ, т.е. получить оценку времени до обнаружения следующей ошибки.

Если в процессе отладки и испытаний программ для повышения наработки на отказ от значения Математические модели надежности комплексов программ - №24 - открытая онлайн библиотека до Математические модели надежности комплексов программ - №25 - открытая онлайн библиотека необходимо обнаружить и устранить Математические модели надежности комплексов программ - №26 - открытая онлайн библиотека ошибок, то величина Математические модели надежности комплексов программ - №26 - открытая онлайн библиотека определяется соотношением

Математические модели надежности комплексов программ - №28 - открытая онлайн библиотека .

Выражение для определения затрат времени Математические модели надежности комплексов программ - №29 - открытая онлайн библиотека на проведение отладки, которые позволяют устранить Математические модели надежности комплексов программ - №26 - открытая онлайн библиотека ошибок и соответственно повысить наработку на отказ от значения от Математические модели надежности комплексов программ - №24 - открытая онлайн библиотека до Математические модели надежности комплексов программ - №25 - открытая онлайн библиотека , имеет вид:

Математические модели надежности комплексов программ - №33 - открытая онлайн библиотека .

Вторая модель построена на основе гипотезы о том, что частота проявления ошибок (интенсивность отказов) линейно зависит от времени испытания Математические модели надежности комплексов программ - №20 - открытая онлайн библиотека между моментами обнаружения последовательных Математические модели надежности комплексов программ - №35 - открытая онлайн библиотека и Математические модели надежности комплексов программ - №36 - открытая онлайн библиотека ошибок.

Математические модели надежности комплексов программ - №37 - открытая онлайн библиотека ,

где Математические модели надежности комплексов программ - №2 - открытая онлайн библиотека - начальное количество ошибок;

Математические модели надежности комплексов программ - №10 - открытая онлайн библиотека – коэффициент пропорциональности, обеспечивающий равенство единице площади под кривой вероятности обнаружения ошибок.

Для оценки наработки на отказ получается выражение, соответствующее распределению Релея:

Математические модели надежности комплексов программ - №40 - открытая онлайн библиотека ,

где Математические модели надежности комплексов программ - №41 - открытая онлайн библиотека .

Отсюда плотность распределения времени наработки на отказ

Математические модели надежности комплексов программ - №42 - открытая онлайн библиотека .

Использовав функцию максимального правдоподобия, получим оценку для общего количества ошибок Математические модели надежности комплексов программ - №2 - открытая онлайн библиотека и коэффициента Математические модели надежности комплексов программ - №10 - открытая онлайн библиотека

Математические модели надежности комплексов программ - №45 - открытая онлайн библиотека ;

Математические модели надежности комплексов программ - №46 - открытая онлайн библиотека .

Особенностью третьей модели является учет ступенчатого характера изменения надёжности при устранении очередной ошибки. В качестве основной функции рассматривается распределение времени наработки на отказ. Если ошибки не устраняются, то интенсивность отказов является постоянной, что приводит к экспоненциальной модели для распределения:

Математические модели надежности комплексов программ - №47 - открытая онлайн библиотека ;

Математические модели надежности комплексов программ - №48 - открытая онлайн библиотека .

Для аппроксимации изменения интенсивности от времени при обнаружении и устранении ошибок используется функция следующего вида

Математические модели надежности комплексов программ - №49 - открытая онлайн библиотека .

Если Математические модели надежности комплексов программ - №50 - открытая онлайн библиотека , то интенсивность отказов снижается по мере отладки или в процессе эксплуатации. При таком виде функции плотность Математические модели надежности комплексов программ - №51 - открытая онлайн библиотека функции распределения наработки на отказ описывается двухпараметрическим распределением Вейбулла, которое достаточно хорошо отражает реальные зависимости при расчете функции наработки на отказ:

Математические модели надежности комплексов программ - №52 - открытая онлайн библиотека .