Метод наименьших квадратов

При использовании графического метода берутся все данные за исследуемый период, все точки наносятся на график и заполняется корреляционное поле. Затем визуально проводится линия совокупных затрат, которая пересекаясь с осью ординат, показывает величину общих издержек в общей сумме затрат [6,24].

На практике очень часто пользуются более простым методом разделения затрат на по­стоянные и переменные - методом высшей и низшей точек. Его сущность заключается в том, что изучаются данные за определенное время, в котором выделяются периоды с максимальным и мини­мальным объемами производства, и определяется отклонение в объемах производства (∆Х) по формуле:

∆Х = Xmax - Хmin, ( 1.3)

где Xmax, Xmin - объем производства соответственно в

максимальной и минимальной точках.

Затем рассчитывается отклонение в затратах (∆3) на производ­ство в тех же периодах (максимального и минимального объемов производства) по формуле:

∆3 = 3max - 3min, (1.4)

где Зmах, Зmin- затраты соответственно в максимальной

и минималь­ной точках.

Рассчитав данные величины, можно определить ставку перемен­ных затрат на единицу продукции С:

С = ∆3 : ∆Х. ( 1.5)

Зная ставку переменных расходов на единицу продукции, объем производства (максимальный или минимальный) и совокупные затраты в исследуемом периоде, можно найтиусредненное значение по­стоянных затрат в данном периоде:

а = Y- bХ, (1.6)

где а - постоянные затраты в определенный

промежуток времени;

Y - совокупные затраты в исследуемом периоде;

b - переменные затраты на единицу продукции

(ставка переменных расходов на единицу

продукции);

X - объем производства в исследуемом периоде.

Подставляя рассчитанные значения постоянных, переменных затрат и разные значения объема производства в формулу (1.2), можно получать информацию о предполагаемом размере совокуп­ных затрат, которые должно произвести предприятие, чтобы выпус­тить запланированный объем продукции. На основе этой же форму­лы можно построить график зависимости совокупных затрат от объема производства, что позволит более наглядно представить перспективы производства. Особенность построенного графика со­стоит в том, что он пересекает ось, показывающую изменение за­трат, в точке, соответствующей значению постоянных затрат. Но не следует забывать, что, используя в исходных расчетах изменения объемов производства и затрат, мы получим приблизительные дан­ные о совокупных затратах.

При разделении затрат на постоянные и переменные нужно помнить, что переменные затраты изменяются пропорционально уровню деловой активности. Значит, увеличение объема производ­ства в несколько раз повлечет за собой увеличение размера пере­менных затрат в такое же количество раз. Но важно понимать и то, что совокупные переменные затраты зависят от объема производст­ва, а переменные затраты на единицу продукции - это постоянная величина [24].

Пример

Рассмотрим метод «мини-макси», используя следующие данные.

Таблица 1.2

Показатель Объем, шт. Затраты, руб.
Максимальное значение
Минимальное значение
Разность

Переменные затраты на единицу = Разность затрат / Разность объемов продукции » 3,14 руб.

Определив, что переменные затраты составляют 3,14 руб. на единицу, мы можем определить величину постоянных затрат. Для этого используем исходные данные о максимальном или минималь­ном объемах производства. Постоянные затраты а рассчитываются вычитанием переменных затрат при соответствующем объеме из общей суммы затрат.

512 =а +3,14 х 24;

а = 512 - 3,14 х 24 = 512 - 75,36 = 436,64 » 437.

Отсюда формула затрат для нашего примера:

Y= 437 + 3,14Х

Заметим, что формула вычисления затрат по методу «мини-макси» справедлива только в области релевантности (область релевант­ности - диапазон, в пределах которого сохраняется определенная модель поведения затрат) и может не дать нужных результатов вне этой области. Метод «мини-макси» прост в применении, но его не­достаток заключается в том, что для определения затрат использу­ются только две точки. В общем же случае двух точек недостаточно для определения зависимости и расчета сумм затрат. В частности, периоды, в которых объем производства был необычайно низким или высоким вследствие различных причин (отсутствия сырья, про­стоя оборудования, поломки, т.е. случайные точки), могут исказить общую картину, поэтому для более точного расчета величины за­трат используют методы, основанные на большом количестве на­блюдений за поведением затрат.

Для установления зависимости между затратами и объемом про­изводства и определения суммы затрат используют методы матема­тической статистики, в частности метод наименьших квадратов (МНК). Дифференциация затрат с помощью МНК дает наиболее; точные результаты. Согласно этому методу прямая затрат строится таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений расстояний от всех точек до теоретической линии регрессии была бы минималь­ной. Функция Y = a + bХ, отражающая связь между зависимой и независимой переменными, называется уравнением регрессии, а и b - параметры уравнения.

Применительно к задачам управления затратами функция Y в этом уравнении - зависимая переменная (общая сумма затрат, сме­шанные затраты); а - общая сумма постоянных затрат; b - пере­менные затраты на единицу продукции; X - независимая перемен­ная (объем производства).

Математический аппарат МНК описан достаточно подробно в специальной литературе. Итак, сумма квадратов отклонений факти­ческих значений функции Y от значений, найденных по уравнению регрессии, должна быть наименьшей:

å( Yф - Yi) => min, ( 1.7)

где Уф - фактические значения;

Yi - расчетные значения, вычисляемые по заданной

формуле.

Это условие приводит к системе нормальных уравнений, реше­ние которых позволяет определить параметры уравнения регрессии. Эти уравнения имеют вид:

åху = aåx + båx2;

åу = åа + båх, (1.8)

где х - объем производства;

у - совокупные затраты;

п - количество наблюдений.

Алгоритм решения следующий.

Шаг 1. Рассчитываются åx; åy; åxy; åx2 и п.

Шаг 2. Рассчитанные величины подставляются в уравнения.

Шаг 3. Система уравнений решается относительно одного из па­раметров, обычно параметра b, т.е. переменных затрат на единицу продукции.

Шаг 4. Зная один из параметров, находим другой, т.е. а или по­стоянные затраты [24].

По степени управляемостизатраты делятся на релевантные и нерелевантные.

Релевантные затраты – затраты, отличающие одну альтернативу от другой, т.е. которые изменяются в результате принятия управленческого решения. Они учитываются при принятии решений.