Математичні властивості середньої

1) Алгебраїчна сума відхилень всіх варіант від середньої дорівнює 0:

Математичні властивості середньої - №1 - открытая онлайн библиотека

2) Якщо одну із варіант збільшити або зменшити на певну величину, то і середня зміниться на таку ж величину:

Математичні властивості середньої - №2 - открытая онлайн библиотека

3) Якщо кожну варіанту розділити чи помножити на довільне число, то і середня збільшиться або зменшиться на те ж саме число.

Математичні властивості середньої - №3 - открытая онлайн библиотека

4) Якщо частоти всіх варіант помножити чи поділити на довільне число, то середня не зміниться.

Математичні властивості середньої - №4 - открытая онлайн библиотека

5) Сума квадратів відхилень варіант від середньої менша за будь-яку іншу величину:

Математичні властивості середньої - №5 - открытая онлайн библиотека

Середні структурні

До середніх структурних відносяться дві величини, які називаються "мода" і "медіана".

Мода (модальна величина) ряду – це така величина, яка найбільш часто зустрічається в даному розподілі.

Математичні властивості середньої - №6 - открытая онлайн библиотека

x0 – це нижня межа модального інтервалу.

i – величина інтервалу.

f2 – частота модального інтервалу,

f1 – частота передмодального інтервалу (того, що передує модальному)

f3 – частота позамодального інтервалу (того, що йде після модального інтервалу)

Розрахуймо моду до прикладу №2.

Математичні властивості середньої - №7 - открытая онлайн библиотека

Медіаноюназивається така величина, що займає серединне положення у варіаційному ряду, в якому варіанти розташовані в зростаючому або спадаючому порядку.

Для дискретного ряду: Математичні властивості середньої - №8 - открытая онлайн библиотека

Для варіаційного ряду (приклад №2): Математичні властивості середньої - №9 - открытая онлайн библиотека

x0 – це нижня межа медіального інтервалу.

i – величина інтервалу.

Sm-1 – сума накопичених частот до медіанного інтервалу.

fm – частота медіанного інтервалу.

Групування робітників за розміром зарплати (x) Кількість робітників (f) Середини інтервалу Фонд заробітної плати Наростаючий підсумок частот (накопичені частки)
До 100
100 – 120
120 – 140
140 – 160
Понад 160
Разом    

(синім позначено медіанний інтервал: серединою кількості робітників є 500, і він належить до накопиченої частки у третьому ряду)

Математичні властивості середньої - №10 - открытая онлайн библиотека

Структурні величини мода і медіана застосовуються для вивчення внутрішньої будови рядів розподілу, тобто їх структури.