Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций

1. Рациональной функцией или рациональной дробью называют дробь

где Рт(х), Qn(x) – многочлены степени т и п:

Qn(x) = хп+ хп -1+...+ , Рт(х) = хт+ хт -1+...+ .

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя т< п, и неправильной, если т п.

Неправильную дробь всегда можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Поскольку многочлены интегрируются очень легко, то задача интегрирования рациональных функций сводится, таким образом, к интегрированию правильных дробей. Правильные дроби, в свою очередь раскладываются на элементарные дроби. Поэтому рассмотрим интегрирование элементарных дробей.

Различают четыре вида элементарных дробей:

І. , ІІ. , ІІІ. , ІV. ,

где п=2,3,..., а трехчлен х2+рх+q не имеет действительных корней, то есть D=р2-4 q<0.

Рассмотрим, как интегрируются эти дроби.

І.

ІІ.

ІІІ. Пример.

--- = - .

2.Как известно из алгебры, многочлен Qn(x) степени п может быть разложен на линейные и квадратичные множители

Qn(x) = (х-х )k (х-хr)k (x2+p x+q )l …( x2+p x+q )l ,

где , х , p , q - действительные числа; k , I - натуральные числа; k +…+ k +2(I +…+ I )=n, р 2- 4 q <0.

Рассмотрим правильную рациональную дробь

знаменатель которой уже разложен на линейные и квадратичные множители. Тогда эту дробь можно разложить на сумму элементарных дробей по таким правилам:

1) множителю (х-а) k соответствует сумма дробей вида

+ +…+ ;

2) множителю (x2+px+q) I соответствует сумма дробей вида

+ +…+ ,

где А , М , N - неопределённые коэффициенты.

Искать эти неопределённые коэффициенты можно исходя из того, что равные многочлены имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х.

Пример. Вычислить интеграл

.

Решение.

+ ,

х+5=А(х+2)+В(х+1),

А=4, В=-3.

= 4 -3 = 4ln -3ln +C.

3.1. Интегралы вида

где R(х, у) – рациональная функция относительно х и у, , сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки

ax+b=t .

2. Интегралы вида

где R – рациональная функция, p , q - целые числа, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки

=t ,

где п – общий знаменатель дробей , ,… .

3. Интегралы вида

(6.1)

всегда сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой, универсальной тригонометрической подстановки

, , ,

х=2arctgt, dx= .

Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда приводит к цели, но в силу своей универсальности она часто требует неоправданно громоздких вычислений. Поэтому во многих случаях удобнее пользоваться другими подстановками. Рассмотрим некоторые из них.

1) Если в интеграле (6.1) R(-sin x, cos x)= - R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку cos x=t.

2) Если R(sin x,-cos x)= - R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку sin x=t.

3) Если R(-sin x, -cos x)= R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку

tg x=t, , ,

х=arctgt, dx= .

4. Рассмотрим более детально интегралы вида

,

где т, п – целые числа.

1) Если т – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку cos x=t.

2) Если п – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку sin x=t.

3) Если оба показателя т и п – чётные неотрицательные числа, то надо делать понижение степени синуса и косинуса по формулам

, .

4) Для нахождения интегралов вида

,

удобно пользоваться формулами

5. В интегралах

, , ,

надо подынтегральную функцию записать в виде суммы функций с помощью формул

Лекция 14. Тема – Задача о площади криволинейной трапеции. Определённый интеграл его геометрический смысл и свойства.