Исследование системы линейных уравнений

Средства, которыми мы теперь располагаем, достаточны для того, чтобы обратиться к детальному анализу систем линейных уравнений. Пусть дана система

Исследование системы линейных уравнений - №1 - открытая онлайн библиотека .

Введём в рассмотрение две матрицы: Исследование системы линейных уравнений - №2 - открытая онлайн библиотека и Исследование системы линейных уравнений - №3 - открытая онлайн библиотека .

Первая матрица составлена из коэффициентов при неизвестных в системе (1) и называется основной, а вторая получается из неё добавлением столбца свободных членов и называется расширенной матрицей системы (1) . Обозначим строки матрицы Исследование системы линейных уравнений - №4 - открытая онлайн библиотека через Исследование системы линейных уравнений - №5 - открытая онлайн библиотека , а строки матрицы Исследование системы линейных уравнений - №6 - открытая онлайн библиотека через Исследование системы линейных уравнений - №7 - открытая онлайн библиотека . Поскольку строки матрицы Исследование системы линейных уравнений - №4 - открытая онлайн библиотека являются «кусками» строк матрицы Исследование системы линейных уравнений - №6 - открытая онлайн библиотека , совершенно очевидно, что любая линейная зависимость между строками матрицы Исследование системы линейных уравнений - №6 - открытая онлайн библиотека влечёт за собой такую же точно зависимость между строками матрицы Исследование системы линейных уравнений - №4 - открытая онлайн библиотека :

Исследование системы линейных уравнений - №12 - открытая онлайн библиотека (2).

Очевидно, что уравнение вида Исследование системы линейных уравнений - №13 - открытая онлайн библиотека (3), не имеет решения. Т.к. всякая система уравнений, которая имеет уравнение вида (3) или в которой при помощи элементарных преобразований можно получить такие уравнения, будет несовместна.

Теорема Кронекера-Капелли:(критерий совместности системы линейных уравнений)Системы линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство: Приведём систему (1) к ступенчатому виду:

Исследование системы линейных уравнений - №14 - открытая онлайн библиотека , Исследование системы линейных уравнений - №15 - открытая онлайн библиотека ,

Исследование системы линейных уравнений - №16 - открытая онлайн библиотека .

Тогда ступенчатые матрицы Исследование системы линейных уравнений - №17 - открытая онлайн библиотека и Исследование системы линейных уравнений - №18 - открытая онлайн библиотека соответственно будут основной и расширенной матрицами системы (4). Если система (4) несовместна, то это значит, что в ней имеется уравнение вида (3). Т.е. в матрице Исследование системы линейных уравнений - №18 - открытая онлайн библиотека имеется строка, в которой все элементы, кроме Исследование системы линейных уравнений - №20 - открытая онлайн библиотека , равны нулю; это значит, что число ненулевых строк в матрице Исследование системы линейных уравнений - №18 - открытая онлайн библиотека будет на 1 больше, чем у матрицы Исследование системы линейных уравнений - №17 - открытая онлайн библиотека . Так как матрицы ступенчатые, то ранги их равны числу строк, поэтому получаем, что ранг матрицы Исследование системы линейных уравнений - №18 - открытая онлайн библиотека равен Исследование системы линейных уравнений - №24 - открытая онлайн библиотека , а ранг Исследование системы линейных уравнений - №17 - открытая онлайн библиотека равен Исследование системы линейных уравнений - №26 - открытая онлайн библиотека . С другой стороны, если система (4) совместна, то в ней нет уравнения вида (3), т.е. матрица Исследование системы линейных уравнений - №18 - открытая онлайн библиотека не имеет строки, в которой все элементы, кроме последнего, равны нулю, тогда число ненулевых строк в матрицах Исследование системы линейных уравнений - №17 - открытая онлайн библиотека и Исследование системы линейных уравнений - №18 - открытая онлайн библиотека будут совпадать, что говорит о равенстве рангов этих матриц. Так как элементарные преобразования не меняют множества решений системы и ранг матрицы, то можно сказать, что система (1) совместна тогда и только тогда, когда Исследование системы линейных уравнений - №30 - открытая онлайн библиотека . Теорема доказана.

Глава VI. Теория определителей

Подстановки

Определение 1: Подстановкой множества Исследование системы линейных уравнений - №31 - открытая онлайн библиотека , где Исследование системы линейных уравнений - №32 - открытая онлайн библиотека называется инъективное отображение множества М на себя.

Другими словами, подстановкой из n элементов называется замена каждого элемента из множества М вполне определенным элементом из того же множества, причем так, что различные элементы заменяются различными элементами. Всякое отображение Исследование системы линейных уравнений - №33 - открытая онлайн библиотека множества М на себя удобно записать в виде таблицы Исследование системы линейных уравнений - №34 - открытая онлайн библиотека .

Порядок чисел в первой строке этой таблицы несуществен, его можно как угодно изменить. Однако надо следить за тем, чтобы для всякого Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека число Исследование системы линейных уравнений - №36 - открытая онлайн библиотека было записано непосредственно под Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека . Например: Исследование системы линейных уравнений - №38 - открытая онлайн библиотека или Исследование системы линейных уравнений - №39 - открытая онлайн библиотека . Строки подстановки Исследование системы линейных уравнений - №40 - открытая онлайн библиотека называются перестановками элементов множества Исследование системы линейных уравнений - №41 - открытая онлайн библиотека .

Множество всех подстановок множества М обозначим через Sn; элементы этого множества называются подстановками степени п.

Произведение Исследование системы линейных уравнений - №42 - открытая онлайн библиотека двух подстановок Исследование системы линейных уравнений - №33 - открытая онлайн библиотека и Исследование системы линейных уравнений - №44 - открытая онлайн библиотека множества М определяется как композиция отображений, Исследование системы линейных уравнений - №33 - открытая онлайн библиотека и Исследование системы линейных уравнений - №44 - открытая онлайн библиотека , т.е. их последовательное выполнение. Таким образом, по определению Исследование системы линейных уравнений - №47 - открытая онлайн библиотека для Исследование системы линейных уравнений - №48 - открытая онлайн библиотека .

Обозначим через Исследование системы линейных уравнений - №49 - открытая онлайн библиотека тождественное отображение М на себя: Исследование системы линейных уравнений - №50 - открытая онлайн библиотека для Исследование системы линейных уравнений - №48 - открытая онлайн библиотека , т.е. Исследование системы линейных уравнений - №52 - открытая онлайн библиотека .

Легко видеть, что для любой подстановки Исследование системы линейных уравнений - №53 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №54 - открытая онлайн библиотека , т.е. Исследование системы линейных уравнений - №55 - открытая онлайн библиотека является нейтральным элементом относительно умножения.

Если Исследование системы линейных уравнений - №33 - открытая онлайн библиотека - подстановка множества М, то Исследование системы линейных уравнений - №57 - открытая онлайн библиотека - также подстановка множества М и Исследование системы линейных уравнений - №58 - открытая онлайн библиотека . При этом Исследование системы линейных уравнений - №59 - открытая онлайн библиотека .

Теорема 1:Алгебра подстановок n-ой степени Исследование системы линейных уравнений - №60 - открытая онлайн библиотека является группой.

Докажите самостоятельно.

Определение 2: Группа всех подстановок n-ой степени Исследование системы линейных уравнений - №60 - открытая онлайн библиотека - называется симметрической группой степени Исследование системы линейных уравнений - №62 - открытая онлайн библиотека .Тождественная подстановка Исследование системы линейных уравнений - №55 - открытая онлайн библиотека называется единичным элементом этой группы.

Пусть дана подстановка Исследование системы линейных уравнений - №64 - открытая онлайн библиотека множества Исследование системы линейных уравнений - №65 - открытая онлайн библиотека , Исследование системы линейных уравнений - №66 - открытая онлайн библиотека - элементы множества Исследование системы линейных уравнений - №41 - открытая онлайн библиотека . Говорят, что числа Исследование системы линейных уравнений - №66 - открытая онлайн библиотека образуют инверсию в строке подстановки, если Исследование системы линейных уравнений - №69 - открытая онлайн библиотека , но Исследование системы линейных уравнений - №70 - открытая онлайн библиотека стоит в этой строке раньше Исследование системы линейных уравнений - №71 - открытая онлайн библиотека . Подстановка называется чётной,если суммарноечисло инверсий в обеих строках подстановки чётно, и нечётнойв противном случае.

Так, например, в подстановке Исследование системы линейных уравнений - №72 - открытая онлайн библиотека нет инверсий, она чётная, а в подстановке Исследование системы линейных уравнений - №73 - открытая онлайн библиотека одна инверсия и она нечётная.

Если в любой строке подстановки любые два числа Исследование системы линейных уравнений - №70 - открытая онлайн библиотека и Исследование системы линейных уравнений - №71 - открытая онлайн библиотека поменять местами, то её чётность измениться на противоположную. Например, поменяем в подстановке Исследование системы линейных уравнений - №73 - открытая онлайн библиотека 2 и 1 в нижней строке. Получим подстановку Исследование системы линейных уравнений - №77 - открытая онлайн библиотека , в которой две инверсии, и она чётная.

Рассмотрим теперь частный, но важный случай подстановки. Назовем подстановку Исследование системы линейных уравнений - №33 - открытая онлайн библиотека из чисел Исследование системы линейных уравнений - №79 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №80 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека -членной циклической или Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека - членным циклом, если она Исследование системы линейных уравнений - №83 - открытая онлайн библиотека переводит в число Исследование системы линейных уравнений - №84 - открытая онлайн библиотека , отличное от Исследование системы линейных уравнений - №85 - открытая онлайн библиотека - в число Исследование системы линейных уравнений - №86 - открытая онлайн библиотека , отличное от Исследование системы линейных уравнений - №87 - открытая онлайн библиотека - в число Исследование системы линейных уравнений - №88 - открытая онлайн библиотека , и Исследование системы линейных уравнений - №89 - открытая онлайн библиотека - в исходное число Исследование системы линейных уравнений - №83 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №91 - открытая онлайн библиотека , а прочие числа ( при Исследование системы линейных уравнений - №92 - открытая онлайн библиотека ) оставляет неизменными. Циклическая подстановка обычно обозначается символом Исследование системы линейных уравнений - №93 - открытая онлайн библиотека .

Нетрудно убедиться, что всякую подстановку из чисел Исследование системы линейных уравнений - №94 - открытая онлайн библиотека можно представить как произведение независимых циклов. Независимых в том смысле, что никакие два цикла разложения не имеют общих чисел.

Для наглядности обратимся к конкретному примеру.

Исследование системы линейных уравнений - №95 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №80 - открытая онлайн библиотека

Исследование системы линейных уравнений - №97 - открытая онлайн библиотека или Исследование системы линейных уравнений - №98 - открытая онлайн библиотека

Теорема 2: Разность P между степенью n подстановки числом s независимых циклов (включая и одиночные), на которые разлагается данная подстановка, имеет ту же четность, что и данная подстановка из Исследование системы линейных уравнений - №62 - открытая онлайн библиотека элементов. Т. е. Исследование системы линейных уравнений - №100 - открытая онлайн библиотека

Без доказательства.

Примеры: Исследование системы линейных уравнений - №101 - открытая онлайн библиотека , Исследование системы линейных уравнений - №100 - открытая онлайн библиотека = 6 – 3 = 3 ; значит подстановка Исследование системы линейных уравнений - №33 - открытая онлайн библиотека - нечетна.

Обозначим через Исследование системы линейных уравнений - №104 - открытая онлайн библиотека знак подстановки Исследование системы линейных уравнений - №33 - открытая онлайн библиотека , тогда

Исследование системы линейных уравнений - №106 - открытая онлайн библиотека .

Можно сказать, что Исследование системы линейных уравнений - №107 - открытая онлайн библиотека , где Исследование системы линейных уравнений - №100 - открытая онлайн библиотека , или Исследование системы линейных уравнений - №109 - открытая онлайн библиотека , где Исследование системы линейных уравнений - №110 - открытая онлайн библиотека и Исследование системы линейных уравнений - №111 - открытая онлайн библиотека - числа инверсий в верхней и нижней строках подстановки Исследование системы линейных уравнений - №40 - открытая онлайн библиотека .

Теорема 3:Произведение двух (или четного числа) подстановок одинаковой четности есть четная подстановка.

Теорема 4:Произведение двух подстановок различной четности есть нечетная подстановка.

Теоремы 3 и 4 желательно, но не обязательно, доказать самостоятельно.

Следствие:Подстановки Исследование системы линейных уравнений - №40 - открытая онлайн библиотека и Исследование системы линейных уравнений - №114 - открытая онлайн библиотека имеют одинаковую чётность.

Действительно, Исследование системы линейных уравнений - №115 - открытая онлайн библиотека , а Исследование системы линейных уравнений - №116 - открытая онлайн библиотека - чётная подстановка.

§ 2. Определители

Определение 1: Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Число строк (столбцов) квадратной матрицы называется её порядком. Диагональ, образованная элементами Исследование системы линейных уравнений - №117 - открытая онлайн библиотека , называется главной диагональю.

Определение 2: Определителем (или детерминантом) n–го порядка квадратной матрицы А называется алгебраическая сумма всевозможных членов, представляющих собой произведение n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком, совпадающим со знаком подстановки образованной индексами элементов.

Если

Исследование системы линейных уравнений - №118 - открытая онлайн библиотека ,

то ее определитель обозначается

Исследование системы линейных уравнений - №119 - открытая онлайн библиотека .

Примеры: Если Исследование системы линейных уравнений - №120 - открытая онлайн библиотека , то Исследование системы линейных уравнений - №121 - открытая онлайн библиотека и Исследование системы линейных уравнений - №122 - открытая онлайн библиотека . Если Исследование системы линейных уравнений - №123 - открытая онлайн библиотека , то Исследование системы линейных уравнений - №124 - открытая онлайн библиотека , Исследование системы линейных уравнений - №125 - открытая онлайн библиотека .

Если Исследование системы линейных уравнений - №126 - открытая онлайн библиотека , то Исследование системы линейных уравнений - №127 - открытая онлайн библиотека .

Предложение 1:Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали.

Предложение 2: Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Квадратная матрица называется треугольной, если равны нулю все ее элементы, расположенные выше (ниже) главной диагонали.

Предложение 3:Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

Свойства определителей

1. Значение определителя Исследование системы линейных уравнений - №62 - открытая онлайн библиотека порядка не изменится, если его строки заменить столбцами, сохраняя порядок следования.

Операция замены в определителе строк столбцами с сохранением порядка следования называется транспонированием определителя. Таким образом, в свойстве 1 утверждается, что от транспонирования значение определителя не изменится.

Доказательство: Нам надо показать, что определители

Исследование системы линейных уравнений - №129 - открытая онлайн библиотека равны.

Пусть Исследование системы линейных уравнений - №130 - открытая онлайн библиотека (1) – произвольный член определителя Исследование системы линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека . Очевидно, что элементы члена (1) будут также находиться по одному и только по одному в каждой строке и каждом столбце определителя Исследование системы линейных уравнений - №132 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, (1) есть вместе с тем и член определителя Исследование системы линейных уравнений - №132 - открытая онлайн библиотека . Аналогично, каждый член определителя Исследование системы линейных уравнений - №134 - открытая онлайн библиотека является членом и определителя Исследование системы линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека . Далее, если снова (1) – член определителя Исследование системы линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека , то этот член входит в определитель Исследование системы линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека со знаком Исследование системы линейных уравнений - №138 - открытая онлайн библиотека , где Исследование системы линейных уравнений - №139 - открытая онлайн библиотека - число инверсий в строках подстановки Исследование системы линейных уравнений - №140 - открытая онлайн библиотека . В определителе Исследование системы линейных уравнений - №134 - открытая онлайн библиотека знак члена (1) совпадает со знаком подстановки Исследование системы линейных уравнений - №142 - открытая онлайн библиотека . Но Исследование системы линейных уравнений - №143 - открытая онлайн библиотека . Откуда следует, что Исследование системы линейных уравнений - №144 - открытая онлайн библиотека .

Это свойство иногда называют свойством равноправности строк и столбцов определителя.

2. Определитель n–го порядка, у которого две строки (два столбца) одинаковы, равен нулю.

Доказательство: Пусть у определителя Исследование системы линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека n–го порядка одинаковы Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека -я и Исследование системы линейных уравнений - №147 - открытая онлайн библиотека -я строки:

Исследование системы линейных уравнений - №148 - открытая онлайн библиотека , Исследование системы линейных уравнений - №149 - открытая онлайн библиотека .

Возьмем произвольный член определителя

Исследование системы линейных уравнений - №150 - открытая онлайн библиотека (2).

Знак этого члена равен (-1)t, где t – число инверсий в подстановке Исследование системы линейных уравнений - №151 - открытая онлайн библиотека . Наряду с членом (2) рассмотрим член Исследование системы линейных уравнений - №152 - открытая онлайн библиотека (4)

того же определителя. Член (3) равен члену (2), так как в силу совпадения Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека -я и Исследование системы линейных уравнений - №147 - открытая онлайн библиотека -я строк Исследование системы линейных уравнений - №155 - открытая онлайн библиотека .

Однако член (3) входит в определитель Исследование системы линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека со знаком, противоположным знаку члена (2). Действительно, знак члена (4) равен Исследование системы линейных уравнений - №157 - открытая онлайн библиотека , где Исследование системы линейных уравнений - №158 - открытая онлайн библиотека - число инверсий в подстановке

Исследование системы линейных уравнений - №159 - открытая онлайн библиотека ,

которая получается из подстановки Исследование системы линейных уравнений - №40 - открытая онлайн библиотека перестановкой чисел Исследование системы линейных уравнений - №161 - открытая онлайн библиотека и Исследование системы линейных уравнений - №162 - открытая онлайн библиотека в нижней строке. Чётности перестановок Исследование системы линейных уравнений - №40 - открытая онлайн библиотека и Исследование системы линейных уравнений - №164 - открытая онлайн библиотека противоположны. Следовательно, t и Исследование системы линейных уравнений - №158 - открытая онлайн библиотека – числа различной четности и потому знак Исследование системы линейных уравнений - №157 - открытая онлайн библиотека противоположен знаку Исследование системы линейных уравнений - №167 - открытая онлайн библиотека .

Поскольку члены (2) и (3) равны, но имеют противоположные знаки, они должны в определителе Исследование системы линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека уничтожаться. Таким образом, получается попарное уничтожение всех членов определителя, вследствие чего Исследование системы линейных уравнений - №169 - открытая онлайн библиотека .

Справедливость свойства 2 для столбцов следует из равноправности строк и столбцов определителя.

3. Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя n–го порядка умножить на одно и то же число m, то значение определителя умножится на m.

Доказательство: Умножим, например, элементы Исследование системы линейных уравнений - №71 - открытая онлайн библиотека -го столбца определителя Исследование системы линейных уравнений - №171 - открытая онлайн библиотека -го порядка на Исследование системы линейных уравнений - №172 - открытая онлайн библиотека . Тогда элементы Исследование системы линейных уравнений - №80 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №174 - открытая онлайн библиотека этого столбца превратятся в Исследование системы линейных уравнений - №175 - открытая онлайн библиотека . Если до умножения каждый член определителя имел вид: Исследование системы линейных уравнений - №176 - открытая онлайн библиотека , то после умножения он примет вид: Исследование системы линейных уравнений - №177 - открытая онлайн библиотека , т.е. умножится на Исследование системы линейных уравнений - №172 - открытая онлайн библиотека . Что касается знака, то до и после умножения член должен иметь один и тот же знак Исследование системы линейных уравнений - №167 - открытая онлайн библиотека , где Исследование системы линейных уравнений - №111 - открытая онлайн библиотека - число инверсий в подстановке Исследование системы линейных уравнений - №181 - открытая онлайн библиотека .

4. Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя n–го порядка обладают общим множителем, то его можно вынести за знак определителя.

Пример: Исследование системы линейных уравнений - №182 - открытая онлайн библиотека Исследование системы линейных уравнений - №80 - открытая онлайн библиотека

Здесь вынесли за знак определителя общий множитель 2 элементов третьего столбца.

Свойство 4 непосредственно вытекает из свойства 3.

5. Определитель п–го порядка, у которого элементы двух строк (столбцов) соответственно пропорциональны, равен нулю.

Доказательство: Пусть, например, пропорциональны Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека -я и Исследование системы линейных уравнений - №147 - открытая онлайн библиотека -я строки определителя Исследование системы линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека . Это значит, что каждый элемент Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека -й строки отличается от соответствующего элемента Исследование системы линейных уравнений - №147 - открытая онлайн библиотека -й строки на один и тот же множитель Исследование системы линейных уравнений - №172 - открытая онлайн библиотека , т.е. определитель выглядит так:

Исследование системы линейных уравнений - №190 - открытая онлайн библиотека

Если теперь на основании свойства 4 вынести общий множитель Исследование системы линейных уравнений - №172 - открытая онлайн библиотека за знак определителя, то получится определитель с двумя одинаковыми строками. Такой определитель согласно свойству 2 равен нулю.

6. Пусть каждый элемент Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека -й строки (столбца) определителя n –го порядка Исследование системы линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека есть сумма двух слагаемых. Тогда определитель Исследование системы линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека равен сумме двух определителей того же порядка, причем в одном определителе Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека -я строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а в другом – из вторых слагаемых. Остальные строки (столбцы) того и другого определителя те же, что и в определителе Исследование системы линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство: Пусть в определителе

Исследование системы линейных уравнений - №197 - открытая онлайн библиотека

каждый элемент Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека -й строки есть сумма двух слагаемых: Исследование системы линейных уравнений - №199 - открытая онлайн библиотека .

Обратимся к произвольному члену определителя: Исследование системы линейных уравнений - №200 - открытая онлайн библиотека . Он имеет знак знака подстановки Исследование системы линейных уравнений - №201 - открытая онлайн библиотека . Раскроем скобки; тогда наш член распадается на два члена: Исследование системы линейных уравнений - №202 - открытая онлайн библиотека

Но произведение Исследование системы линейных уравнений - №203 - открытая онлайн библиотека есть член определителя Исследование системы линейных уравнений - №132 - открытая онлайн библиотека и входит в него со знаком, определяющимся подстановкой Исследование системы линейных уравнений - №40 - открытая онлайн библиотека . Произведение Исследование системы линейных уравнений - №206 - открытая онлайн библиотека есть член определителя Исследование системы линейных уравнений - №207 - открытая онлайн библиотека и входит в него с таким же знаком. Отсюда справедливость свойства 6 становится очевидной: Исследование системы линейных уравнений - №208 - открытая онлайн библиотека , где

Исследование системы линейных уравнений - №209 - открытая онлайн библиотека , Исследование системы линейных уравнений - №210 - открытая онлайн библиотека .

Пользуясь методом математической индукции, нетрудно свойство 6 распространить на случай любого числа слагаемых.

7. Определитель n–го порядка не меняет своего значения от прибавления ко всем элементам какой-нибудь строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Доказательство: Прибавим к элементам Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека -й строки определителя Исследование системы линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека соответствующие элементы Исследование системы линейных уравнений - №213 - открытая онлайн библиотека -й строки того же определителя, умноженные на число Исследование системы линейных уравнений - №172 - открытая онлайн библиотека . Имеем:

Исследование системы линейных уравнений - №215 - открытая онлайн библиотека

Мы видим, что каждый элемент Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека -й строки определителя Исследование системы линейных уравнений - №217 - открытая онлайн библиотека является суммой двух слагаемых. Отсюда по свойству 6

Исследование системы линейных уравнений - №218 - открытая онлайн библиотека .

Первый определитель этой суммы есть Исследование системы линейных уравнений - №131 - открытая онлайн библиотека , а второй равен нулю, так как у него две строки пропорциональны. Следовательно, Исследование системы линейных уравнений - №220 - открытая онлайн библиотека , что и требовалось показать.

Свойство 7, как мы увидим впоследствии, значительно упрощает вычисление определителей.

8. Если поменять местами две строки (столбца) определителя n–го порядка, то определитель изменит знак на противоположный, а по абсолютной величине не изменится.

Доказательство: Подвергнем определитель

Исследование системы линейных уравнений - №221 - открытая онлайн библиотека

следующим преобразованиям. Прибавим к его Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека -й строке Исследование системы линейных уравнений - №223 - открытая онлайн библиотека -ю. Получим:

Исследование системы линейных уравнений - №224 - открытая онлайн библиотека .

В определителе Исследование системы линейных уравнений - №225 - открытая онлайн библиотека из Исследование системы линейных уравнений - №213 - открытая онлайн библиотека - й строки вычтем Исследование системы линейных уравнений - №35 - открытая онлайн библиотека -ю строку. Получим:

Исследование системы линейных уравнений - №228 - открытая онлайн библиотека .

Наконец, прибавим в определителе Исследование системы линейных уравнений - №229 - открытая онлайн библиотека к Исследование системы линейных уравнений - №230 - открытая онлайн библиотекаИсследование системы линейных уравнений - №213 - открытая онлайн библиотека - ю. Получим: Исследование системы линейных уравнений - №232 - открытая онлайн библиотека .

Все эти преобразования по свойству 7 не изменяют значения определителя. Следовательно Исследование системы линейных уравнений - №233 - открытая онлайн библиотека ,

что и требовалось доказать.