Оценка точности формул интегрирования

При приближенном интегрировании функций необходимо знать погрешность, с которой получено приближенное значение интеграла, так как без нее полученный результат не представляет ценности. Из геометрического смысла интеграла ясно, что каждая из рассмотренных формул дает результат тем точнее, чем больше n, и что наиболее точной является формула Симпсона, а наименее точными – формулы правых и левых прямоугольников. Однако увеличение nведет к возрастанию объема вычислительной работы, что нежелательно, особенно при ручных вычислениях на ЭКВМ.

В математическом анализе выводят формулы для оценки погрешности Оценка точности формул интегрирования - №1 - открытая онлайн библиотека приближенного интегрирования, имеющие вид для

1) формулы средних прямоугольников

Оценка точности формул интегрирования - №2 - открытая онлайн библиотека (6.14)

2) формулы трапеций:

Оценка точности формул интегрирования - №3 - открытая онлайн библиотека (6.15)

3) формулы Симпсона:

Оценка точности формул интегрирования - №4 - открытая онлайн библиотека (6.16)

где Оценка точности формул интегрирования - №5 - открытая онлайн библиотека ; Оценка точности формул интегрирования - №6 - открытая онлайн библиотека Оценка точности формул интегрирования - №7 - открытая онлайн библиотека – длина отрезка интегрирования; Оценка точности формул интегрирования - №8 - открытая онлайн библиотека – точное значение интеграла; Оценка точности формул интегрирования - №9 - открытая онлайн библиотека – приближенное значение интеграла, вычисленное по формуле средних прямоугольников, трапеций или Симпсона.

Пользуясь этими формулами, можно по заранее заданной точности Оценка точности формул интегрирования - №10 - открытая онлайн библиотека приближенно вычислить необходимое число отрезков Оценка точности формул интегрирования - №11 - открытая онлайн библиотека . Ясно, что формулы (6.14), (6.15) и (6.16) неприменимы, если функция Оценка точности формул интегрирования - №12 - открытая онлайн библиотека задана графически или таблично. Практически ими редко пользуются и при аналитическом задании функции Оценка точности формул интегрирования - №12 - открытая онлайн библиотека , так как вычисление производных Оценка точности формул интегрирования - №14 - открытая онлайн библиотека и их оценка обычно весьма трудоемки. Кроме того, промежуточные результаты (ординаты, их суммирование и т. п.) вычисляются приближенно и с округлением, поэтому в окончательном результате надо учитывать и эти погрешности.

При вычислениях на ЭВМ для оценки погрешности интегрирования используется так называемый метод автоматического выбора шага интегрирования для достижения заданной точности. Алгоритм этого метода состоит из следующих этапов:

1. Выбирается начальное значение nи вычисляется шаг интегрирования Оценка точности формул интегрирования - №15 - открытая онлайн библиотека

2. Вычисляется значение интеграла Оценка точности формул интегрирования - №16 - открытая онлайн библиотека для этого начального шага Оценка точности формул интегрирования - №17 - открытая онлайн библиотека .

3. Затем шаг Оценка точности формул интегрирования - №17 - открытая онлайн библиотека уменьшается в два раза Оценка точности формул интегрирования - №19 - открытая онлайн библиотека , и для него вычисляется значение интеграла Оценка точности формул интегрирования - №20 - открытая онлайн библиотека .

4. Сравниваются полученные два значения Оценка точности формул интегрирования - №21 - открытая онлайн библиотека

5. Полученная погрешность Оценка точности формул интегрирования - №1 - открытая онлайн библиотека сравнивается с заранее заданной точностью Оценка точности формул интегрирования - №10 - открытая онлайн библиотека . Если Оценка точности формул интегрирования - №24 - открытая онлайн библиотека , то точность не достигнута, и величине Оценка точности формул интегрирования - №16 - открытая онлайн библиотека присваивается более точное значение Оценка точности формул интегрирования - №20 - открытая онлайн библиотека , после чего повторяются этапы 3, 4 и 5 до выполнения условия Оценка точности формул интегрирования - №27 - открытая онлайн библиотека .

6. При выполнении условия Оценка точности формул интегрирования - №27 - открытая онлайн библиотека за искомое значение интеграла Оценка точности формул интегрирования - №29 - открытая онлайн библиотека принимается последнее значение величины Оценка точности формул интегрирования - №20 - открытая онлайн библиотека .

Этот алгоритм реализуется в стандартной подпрограмме вычисления значения интеграла по формуле Симпсона с заранее заданной точностью Оценка точности формул интегрирования - №10 - открытая онлайн библиотека . Она включается в библиотеку стандартных подпрограмм (БСП) современных вычислительных машин. Причем число делений заданного отрезка интегрирования выбирается из ряда чисел, начиная с Оценка точности формул интегрирования - №32 - открытая онлайн библиотека , то есть Оценка точности формул интегрирования - №33 - открытая онлайн библиотека , представляющих собой степени основания двоичной системы счисления ( Оценка точности формул интегрирования - №34 - открытая онлайн библиотека ). Такой выбор обусловлен точностью преобразования этих чисел из десятичной системы счисления в двоичную.

При вычислениях на ЭВМ по формуле Симпсона для достижения заданной точности в три – четыре значащие цифры, как правило, табулируют функцию при Оценка точности формул интегрирования - №32 - открытая онлайн библиотека (17 ординат) и вычисляют интеграл Оценка точности формул интегрирования - №36 - открытая онлайн библиотека , затем вычисляют интеграл с удвоенным шагом Оценка точности формул интегрирования - №37 - открытая онлайн библиотека , делая выборку значений функции через одно и оставляя в промежуточных вычислениях до шести значащих цифр.

В качестве приближенного значения интеграла принимают значение Оценка точности формул интегрирования - №38 - открытая онлайн библиотека , руководствуясь при этом таким практическим правилом: считается, что в Оценка точности формул интегрирования - №38 - открытая онлайн библиотека , точных значащих цифр на одну больше, чем совпадающих цифр в Оценка точности формул интегрирования - №40 - открытая онлайн библиотека , и Оценка точности формул интегрирования - №38 - открытая онлайн библиотека . Погрешность Оценка точности формул интегрирования - №38 - открытая онлайн библиотека не превосходит числа

Оценка точности формул интегрирования - №43 - открытая онлайн библиотека

Если приближенное значение интеграла вычисляют по формулам средних прямоугольников или трапеций с двойным пересчетом (то есть с вычислением Оценка точности формул интегрирования - №40 - открытая онлайн библиотека , и Оценка точности формул интегрирования - №38 - открытая онлайн библиотека ), то для оценки погрешности Оценка точности формул интегрирования - №38 - открытая онлайн библиотека приближенного интегрирования получают

Оценка точности формул интегрирования - №47 - открытая онлайн библиотека

Поскольку вычисление и оценка производных Оценка точности формул интегрирования - №48 - открытая онлайн библиотека обычно трудоемки, то в формулах (14) - (16) вместо производных часто используют отношения соответствующих конечных разностей к шагу интегрирования, то есть полагают

Оценка точности формул интегрирования - №49 - открытая онлайн библиотека

Аналогично оценивают погрешность квадратурных формул и в тех случаях, когда подынтегральная функция задана таблично или графически.

Контрольные вопросы

1. Что такое квадратурная формула? Что такое узлы и веса?

2. Какие квадратурные формулы Вы знаете? Каково их общее название?

3. С какой целью и как интерполируют подынтегральные функции?

4. Как вычисляются и какими свойствами обладают коэффициенты Котеса?

5. Приведете иллюстрации использования формулы прямоугольников (срединных, левых, правых).

6. Сравните по ошибке интегрирования частные случаи формулы Ньютона-Котеса.

7. Сравните по ошибке интегрирования формулы прямоугольников (срединных, левых, правых).

8. Численное интегрирование, постановка задачи.

9. Оценка точности формул интегрирования.

10. В чем состоит суть методов численного интегрирования функций?

11. Охарактеризуйте метод трапеций.

12. Опишите формулу Симпсона.

13. Приведите оценку погрешности для каждого из методов на частичном отрезке и на всем интервале интегрирования.

14. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул.

15. Как оценивается погрешности приближенного вычисления интегралов по правилу Рунге?