Оценка для дисперсии случайной величины

В качестве оценки для дисперсии рассмотрим следующую величину:

Оценка для дисперсии случайной величины - №1 - открытая онлайн библиотека .

Оценку (5.2.8) принято называть выборочной дисперсией. Проверим ее на состоятельность и несмещенность. Преобразуем выражение (5.2.8) к другому виду:

Оценка для дисперсии случайной величины - №2 - открытая онлайн библиотека

Оценка для дисперсии случайной величины - №3 - открытая онлайн библиотека .

Первый член в выражении представляет собой среднее арифметическое n наблюдаемых значений случайной величины X2, значит он сходится по вероятности к MX2. Второй член Оценка для дисперсии случайной величины - №4 - открытая онлайн библиотека сходится по вероятности к Оценка для дисперсии случайной величины - №5 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, правая часть сходится по вероятности к величине Оценка для дисперсии случайной величины - №6 - открытая онлайн библиотека , что означает, что оценка состоятельная.

Теперь проверим, является ли выборочная дисперсия несмещенной оценкой:

Оценка для дисперсии случайной величины - №7 - открытая онлайн библиотека

Оценка для дисперсии случайной величины - №8 - открытая онлайн библиотека .

Так как дисперсия Оценка для дисперсии случайной величины - №9 - открытая онлайн библиотека не зависит от того, в какой точке выбрать начало координат, выберем его в точке Оценка для дисперсии случайной величины - №10 - открытая онлайн библиотека ; затем найдем математическое ожидание величины Оценка для дисперсии случайной величины - №11 - открытая онлайн библиотека . Имеем Оценка для дисперсии случайной величины - №12 - открытая онлайн библиотека .

В силу независимости случайных величин Оценка для дисперсии случайной величины - №13 - открытая онлайн библиотека , Оценка для дисперсии случайной величины - №14 - открытая онлайн библиотека , и, следовательно,

Оценка для дисперсии случайной величины - №15 - открытая онлайн библиотека .

Очевидно, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой. Однако, если умножить величину Оценка для дисперсии случайной величины - №11 - открытая онлайн библиотека на Оценка для дисперсии случайной величины - №17 - открытая онлайн библиотека , то мы получим для дисперсии Оценка для дисперсии случайной величины - №9 - открытая онлайн библиотека оценку, обладающую свойством несмещенности, ибо

Оценка для дисперсии случайной величины - №19 - открытая онлайн библиотека .

Эту оценку принято называть «исправленной» выборочной дисперсией и определять формулой

Оценка для дисперсии случайной величины - №20 - открытая онлайн библиотека .

Величину Оценка для дисперсии случайной величины - №21 - открытая онлайн библиотека называют «исправленным» средним квадратическим отклонением. Так как множитель Оценка для дисперсии случайной величины - №17 - открытая онлайн библиотека стремится к 1 при Оценка для дисперсии случайной величины - №23 - открытая онлайн библиотека , то оценка будет также, как и Оценка для дисперсии случайной величины - №11 - открытая онлайн библиотека , состоятельной.

Если имеем интервальное выборочное распределение, нетрудно убедиться, что формулы для выборочной средней выборочной дисперсии и «исправленной» выборочной дисперсии можно переписать в виде

Оценка для дисперсии случайной величины - №25 - открытая онлайн библиотека

Оценка для дисперсии случайной величины - №26 - открытая онлайн библиотека

Оценка для дисперсии случайной величины - №27 - открытая онлайн библиотека

здесь Оценка для дисперсии случайной величины - №28 - открытая онлайн библиотека – среднее значение случайной величины X на интервале Оценка для дисперсии случайной величины - №29 - открытая онлайн библиотека , т.е. Оценка для дисперсии случайной величины - №28 - открытая онлайн библиотека =(xi-1+xi)/2.

Задача. Имеется статистический ряд для случайной величины X.

Оценка для дисперсии случайной величины - №31 - открытая онлайн библиотека 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10
nx

Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, «исправленную» выборочную дисперсию, «исправленное» среднее квадратическое отклонение.

Решение. Для удобства вычислений составим таблицу.

Оценка для дисперсии случайной величины - №28 - открытая онлайн библиотека Оценка для дисперсии случайной величины - №33 - открытая онлайн библиотека Оценка для дисперсии случайной величины - №28 - открытая онлайн библиотека Wi Оценка для дисперсии случайной величины - №35 - открытая онлайн библиотека Оценка для дисперсии случайной величины - №36 - открытая онлайн библиотека Оценка для дисперсии случайной величины - №37 - открытая онлайн библиотека
0,12 0,12 -4,08 16,65 1,988
0,16 0,48 -2,08 4,33 0,693
0,40 2,00 -0,08 0,01 0,04
0,20 1,40 1,92 3,69 0,738
0,12 1,08 3,92 15,37 1,844
    Оценка для дисперсии случайной величины - №38 - открытая онлайн библиотека =5,08     Оценка для дисперсии случайной величины - №39 - открытая онлайн библиотека

Значения Оценка для дисперсии случайной величины - №40 - открытая онлайн библиотека и Оценка для дисперсии случайной величины - №41 - открытая онлайн библиотека получены из таблицы Имеем Оценка для дисперсии случайной величины - №42 - открытая онлайн библиотека .

Интервальные оценки. Доверительный интервал.
Нахождение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной величины

В ряде задач требуется не только найти с помощью статистических данных точечную оценку Оценка для дисперсии случайной величины - №43 - открытая онлайн библиотека для параметра Оценка для дисперсии случайной величины - №44 - открытая онлайн библиотека распределения, но и оценить ее точность и надежность, так как в силу случайности Оценка для дисперсии случайной величины - №43 - открытая онлайн библиотека приближенная замена Оценка для дисперсии случайной величины - №44 - открытая онлайн библиотека на Оценка для дисперсии случайной величины - №43 - открытая онлайн библиотека может привести к серьезным ошибкам. Для точности оценки в математической статистике используют доверительные интервалы.

Пусть для параметра Оценка для дисперсии случайной величины - №44 - открытая онлайн библиотека распределения случайной величины Х получена несмещенная оценка Оценка для дисперсии случайной величины - №43 - открытая онлайн библиотека . Задаем достаточно высокую вероятность Оценка для дисперсии случайной величины - №50 - открытая онлайн библиотека (например, Оценка для дисперсии случайной величины - №51 - открытая онлайн библиотека ) и находим такое значение e > 0, для которого

Оценка для дисперсии случайной величины - №52 - открытая онлайн библиотека .

Равенство можно переписать в другом виде

Оценка для дисперсии случайной величины - №53 - открытая онлайн библиотека .

Последнее равенство можно истолковать следующим образом: неизвестное значение параметра а с вероятностью Оценка для дисперсии случайной величины - №54 - открытая онлайн библиотека попадает в интервал Оценка для дисперсии случайной величины - №55 - открытая онлайн библиотека .

Но так как неизвестное значение параметра Оценка для дисперсии случайной величины - №44 - открытая онлайн библиотека является неслучайной величиной, оценка Оценка для дисперсии случайной величины - №43 - открытая онлайн библиотека этого параметра – случайной, то равенство можно истолковать более точно следующим образом: интервал Оценка для дисперсии случайной величины - №58 - открытая онлайн библиотека с высокой вероятностью Оценка для дисперсии случайной величины - №50 - открытая онлайн библиотека покрывает неизвестный параметр Оценка для дисперсии случайной величины - №44 - открытая онлайн библиотека .

Интервал Оценка для дисперсии случайной величины - №58 - открытая онлайн библиотека называется доверительным интервалом; центр его находится в точке Оценка для дисперсии случайной величины - №43 - открытая онлайн библиотека , радиус его e. Вероятность Оценка для дисперсии случайной величины - №50 - открытая онлайн библиотека называется доверительной вероятностью или надежностью.

Итак, доверительный интервал Оценка для дисперсии случайной величины - №64 - открытая онлайн библиотека – это интервал с центром в точке Оценка для дисперсии случайной величины - №43 - открытая онлайн библиотека и радиусом e, который с высокой вероятностью (надежностью) покрывает неизвестный параметр Оценка для дисперсии случайной величины - №66 - открытая онлайн библиотека . Найти доверительный интервал – это значит по статистическим данным найти центр интервала Оценка для дисперсии случайной величины - №43 - открытая онлайн библиотека и радиус его e> 0.