Отношения между множествами

В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например, нам известно, что все натуральные числа являются целыми. Поня­тие множества позволяет обобщить конкретные случаи взаи­мосвязи между различными совокупностями, позволяет по­смотреть на них с единой точки зрения.

Если множества А я В имеют общие элементы, т.е. элемен­ты, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.

Например, если А = {а, b, с, d, е}, В = {b, d, k,m), С = {х, у, z}, то можно утверждать, что множества А и В пересекаются, так как имеют общие элементы b и d, а множества А и С, В и С не пересекаются, поскольку не имеют общих элементов.

Рассмотрим теперь множества А = {а, b, с, d, е} и В = {с, d, e). Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А или что множество В является подмножеством множества А и пишут B Отношения между множествами - №1 - открытая онлайн библиотека A.

Определение. Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В явля­ется также элементом множества А. Пустое множест­во считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.

Из определения следует, что если В Отношения между множествами - №1 - открытая онлайн библиотека А, то множество В мо­жет быть пустым, и тогда Ø Отношения между множествами - №1 - открытая онлайн библиотека А, и, кроме того, множество В может совпадать с А, и тогда А Отношения между множествами - №1 - открытая онлайн библиотека А. Поэтому среди всех под­множеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А.

Образуем, например, все подмножества множества А = {2, 3, 4}. Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3}, {4}, двухэлементные: {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, а также само множество А и пустое множество 0. Таким образом, данное трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.

Доказано, что если множество А содержит и элементов, то у него 2n различных подмножеств.

Рассмотрим теперь множества А = {а, b, с, d, e} и В = {с, а, d, b, e}. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. А с В, и наоборот, каж­дый элемент множества В является элементом множества А, т.е. В с. А. В этом случае говорят, что множества А и В равны и пишут А-В.

Определение. Множества А и В называются равными, если А Отношения между множествами - №1 - открытая онлайн библиотека В и В Отношения между множествами - №1 - открытая онлайн библиотека А.

Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов множества не существен.

Отношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера.

Для этого множества представляют в виде кругов, овалов или любых других геометрических фигур. В том случае, если мно­жества А и В имеют общие элементы, но ни одно из них не является подмножеством другого, их изображают так, как

Отношения между множествами - №7 - открытая онлайн библиотека

показано на рис. 4а. Если множество В является подмножест­вом А, то круг, изображающий множество В, целиком находит­ся в круге, изображающем множество А (рис. 46). Если А с В, то множества А и В изображают так, как на рисунке 4в. Рав­ные множества представляют в виде одного круга (рис. 4г).

Если множества А и В не пере­секаются, то их изображают в виде двух фигур, не имеющих общих точек (рис. 5).

Понятие подмножества являет­ся обобщением понятия части и целого, которые осваивают млад­шие школьники, выполняя разные задания. Например: «Назови среди данных чисел четные», «Среди данных четырехугольников найди прямоугольники».

Отношения между множествами - №8 - открытая онлайн библиотека