Относительный покой жидкости

Относительным покоем жидкости называется случай её движения, при котором вся масса жидкости движется как твердое тело, отдельные
её части не смещаются одна относительно другой.

Рассмотрим два случая.

Случай первый. Сосуд с жидкостью движется прямолинейно
и равноускоренно (рис. 1.13).

Пусть сосуд движется с ускорением a. Сила инерции Относительный покой жидкости - №1 - открытая онлайн библиотека направлена в сторону, обратную ускорению, сила тяжести Относительный покой жидкости - №2 - открытая онлайн библиотека направлена вниз. Найдем направление и величину равнодействующей массовой силы:

Относительный покой жидкости - №3 - открытая онлайн библиотека (1.30)

где Относительный покой жидкости - №1 - открытая онлайн библиотека и Относительный покой жидкости - №2 - открытая онлайн библиотека – векторы единичных сил инерции и тяжести. Для всех частиц рассматриваемого объема жидкости равнодействующие массовые силы параллельны друг другу, а поверхности уровня перпендикулярны к этим силам, в том числе и свободная поверхность.

Относительный покой жидкости - №6 - открытая онлайн библиотека

Рис. 1.13. Схема относительного покоя жидкости

Давление в любой точке определяется по формуле:

Относительный покой жидкости - №7 - открытая онлайн библиотека (1.31)

где Относительный покой жидкости - №8 - открытая онлайн библиотека – давление на свободной поверхности, j – единичная массовая сила, r – плотность жидкости, l – расстояние по нормали от точки до свободной поверхности. Если Относительный покой жидкости - №9 - открытая онлайн библиотека , то Относительный покой жидкости - №10 - открытая онлайн библиотека , и уравнение (1.31) превратится
в основное уравнение гидростатики.

Случай второй. Сосуд равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Относительный покой жидкости - №11 - открытая онлайн библиотека (рис. 1.14).

В данном случае массовыми силами являются сила тяжести
и центробежная сила.

Воспользуемся основным дифференциальным уравнением гидростатики (1.3):

Относительный покой жидкости - №12 - открытая онлайн библиотека

Относительный покой жидкости - №13 - открытая онлайн библиотека

Рис. 1.14. Равновесие жидкости во вращающемся сосуде

Для решения задачи перейдем к цилиндрической системе координат r, j, z. Нетрудно доказать, что:

Относительный покой жидкости - №14 - открытая онлайн библиотека (1.32)

где Относительный покой жидкости - №15 - открытая онлайн библиотека – единичная центробежная (отнесенная к единице массы) сила. Тогда вместо (1.3) получим:

Относительный покой жидкости - №16 - открытая онлайн библиотека (1.33)

Запишем граничное условие: при Относительный покой жидкости - №17 - открытая онлайн библиотека

Проинтегрировав (1.33) и воспользовавшись граничным условием, получим:

Относительный покой жидкости - №18 - открытая онлайн библиотека (1.34)

Уравнение (1.34) представляет собой закон распределения давления внутри жидкости в зависимости от координат r и z.

Выражение в скобках Относительный покой жидкости - №19 - открытая онлайн библиотека представляет собой глубину погружения рассматриваемой точки А под свободной поверхностью. Подставляя значение h в уравнение (1.34), получим:

Относительный покой жидкости - №20 - открытая онлайн библиотека (1.35)

Уравнение (1.35) совпадает с уравнением (1.7), записанным для покоящейся жидкости. Однако форма свободной поверхности, от которой отсчитывается глубина погружения для уравнения (1.35), иная. Как известно, на свободной поверхности Относительный покой жидкости - №21 - открытая онлайн библиотека . Тогда из уравнения (1.34) получим формулу свободной поверхности в виде:

Относительный покой жидкости - №22 - открытая онлайн библиотека . (1.36)

В уравнении (1.36) z является текущей координатой свободной поверхности.

Уравнение (1.36) описывает кривую в виде параболы, а свободная поверхность, полученная на основе этой кривой, является параболоидом вращения.

На практике чаще всего встречаются случаи, когда Относительный покой жидкости - №23 - открытая онлайн библиотека . Тогда поверхности уровня жидкости без большой ошибки можно считать круглыми цилиндрами с общей осью – осью вращения сосуда. Тогда
для давления получим выражение:

Относительный покой жидкости - №24 - открытая онлайн библиотека (1.37)

где Относительный покой жидкости - №25 - открытая онлайн библиотека – внутренний радиус ротора, Относительный покой жидкости - №26 - открытая онлайн библиотека – радиус свободной поверхности жидкости.