Отже, наприклад, змінна

Отже, наприклад, змінна - №1 - открытая онлайн библиотека (3.2.1)

є стандартизована нормальна змінна. Якщо Отже, наприклад, змінна - №2 - открытая онлайн библиотека відома, то важливою властивістю нормально розподіленої величини зі сподіванням Отже, наприклад, змінна - №3 - открытая онлайн библиотека і дисперсією Отже, наприклад, змінна - №4 - открытая онлайн библиотека є те, що площа під густиною розподілу між Отже, наприклад, змінна - №5 - открытая онлайн библиотека становить 68%, між Отже, наприклад, змінна - №6 - открытая онлайн библиотека – близько 95%, а між Отже, наприклад, змінна - №7 - открытая онлайн библиотека – близько 99,7%.

На практиці Отже, наприклад, змінна - №2 - открытая онлайн библиотека відома рідко і замінюється її незміщеною оцінкою Отже, наприклад, змінна - №9 - открытая онлайн библиотека . Якщо замінити в (3.2.1) Отже, наприклад, змінна - №4 - открытая онлайн библиотека на Отже, наприклад, змінна - №11 - открытая онлайн библиотека , то можна отримати

Отже, наприклад, змінна - №12 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №13 - открытая онлайн библиотека , (3.2.2)

де Отже, наприклад, змінна - №14 - открытая онлайн библиотека - стандартна помилка оцінювача Отже, наприклад, змінна - №15 - открытая онлайн библиотека . Можна показати, що визначена таким чином змінна t розподілена за законом розподілу Ст’юдента з N–2 степенями вільності. Слід звернути увагу на різницю між (3.2.1) і (3.2.2). Отже, замість того щоб застосовувати нормальний розподіл, ми можемо застосовувати розподіл Ст’юдента для побудови довірчого інтервалу величини Отже, наприклад, змінна - №16 - открытая онлайн библиотека :

Отже, наприклад, змінна - №17 - открытая онлайн библиотека , (3.2.3)

де t визначається за формулою (3.2.2), а Отже, наприклад, змінна - №18 - открытая онлайн библиотека є величиною розподілу Ст’юдента для Отже, наприклад, змінна - №19 - открытая онлайн библиотека рівня значимості і N–2 степеня вільності. Вона часто називається критичною величиною при Отже, наприклад, змінна - №19 - открытая онлайн библиотека рівні значимості. Підстановка (3.2.2) у (3.2.3) дає рівність

Отже, наприклад, змінна - №21 - открытая онлайн библиотека . (3.2.4)

Перетворюючи (3.2.4), одержуємо

Отже, наприклад, змінна - №22 - открытая онлайн библиотека . (3.2.5)

Ця рівність являє собою Отже, наприклад, змінна - №23 - открытая онлайн библиотека -й довірчий інтервал для Отже, наприклад, змінна - №16 - открытая онлайн библиотека , який може бути записаний більш компактно у вигляді

Отже, наприклад, змінна - №25 - открытая онлайн библиотека . (3.2.6)

За аналогією з цим, застосовуючи (3.2.1) і (3.2.2), ми можемо записати довірчий інтервал для Отже, наприклад, змінна - №26 - открытая онлайн библиотека :

Отже, наприклад, змінна - №27 - открытая онлайн библиотека (3.2.7)

або більш компактно

Отже, наприклад, змінна - №28 - открытая онлайн библиотека . (3.2.8)

Відзначимо важливу межу довірчих інтервалів (3.2.6) і (3.2.8). В обох випадках довжина довірчого інтервалу пропорційна стандартній помилці оцінювачів. Тобто чим більша стандартна помилка, тим більша довжина довірчого інтервалу. Інакше кажучи, чим більша стандартна помилка оцінювача, тим більша невизначеність оцінки істинного значення параметра. Так, стандартна помилка оцінювача часто описується як міра точності оцінювача, тобто наскільки точно оцінювач вимірює дійсний параметр генеральної сукупності.

Повертаючись до нашого ілюстрованого прикладу моделі “споживання-дохід”, нагадаємо, що ми знайшли Отже, наприклад, змінна - №29 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №30 - открытая онлайн библиотека і df=8. Якщо ми покладемо Отже, наприклад, змінна - №31 - открытая онлайн библиотека , тобто 95%-й довірчий коефіцієнт, тоді за таблицею розподілу Ст’юдента знаходимо критичне Отже, наприклад, змінна - №32 - открытая онлайн библиотека . Підставляючи цю величину в (3.2.5), можна перевірити, що 95%-й довірчий інтервал для Отже, наприклад, змінна - №33 - открытая онлайн библиотека буде

Отже, наприклад, змінна - №34 - открытая онлайн библиотека . (3.2.9)

Або, застосовуючи (3.2.6),

Отже, наприклад, змінна - №35 - открытая онлайн библиотека ,  

тобто

Отже, наприклад, змінна - №36 - открытая онлайн библиотека . (3.2.10)

Інтерпретація цього довірчого інтервалу така: для даного 95%-го довірчого коефіцієнта при довготривалій вибірці в 95 зі 100 випадків інтервали типу (0,4268; 0,5914) міститимуть істинне Отже, наприклад, змінна - №16 - открытая онлайн библиотека . Але, як ми попереджали раніше, зауважимо, що не можна говорити про імовірність у 95% того, що специфічний інтервал (0,4268; 0,5914) містить істинне Отже, наприклад, змінна - №16 - открытая онлайн библиотека , оскільки цей інтервал фіксований; отже, Отже, наприклад, змінна - №16 - открытая онлайн библиотека або лежить у ньому, або ні. Таким чином, імовірність знаходження Отже, наприклад, змінна - №16 - открытая онлайн библиотека у фіксованому інтервалі дорівнює або 1, або 0.

Згідно з (3.2.7) можна перевірити, що 95%-й довірчий інтервал для Отже, наприклад, змінна - №26 - открытая онлайн библиотека в нашому прикладі буде

Отже, наприклад, змінна - №42 - открытая онлайн библиотека , (3.2.11)

або, використовуючи (3.2.8), ми знаходимо

Отже, наприклад, змінна - №43 - открытая онлайн библиотека ,  

тобто

Отже, наприклад, змінна - №44 - открытая онлайн библиотека . (3.2.12)

Ще раз нагадаємо про правильну інтерпретацію цього довірчого інтервалу.

3.3. Довірчий інтервал для Отже, наприклад, змінна - №45 - открытая онлайн библиотека

Як було зазначено в розд. 2, при припущенні про нормальність розподілу Отже, наприклад, змінна - №46 - открытая онлайн библиотека змінна

Отже, наприклад, змінна - №47 - открытая онлайн библиотека (3.3.1)

розподіляється за законом розподілу Отже, наприклад, змінна - №48 - открытая онлайн библиотека з (N–2) степенями вільності. Отже, для побудови довірчого інтервалу для змінної Отже, наприклад, змінна - №2 - открытая онлайн библиотека ми можемо застосовувати Отже, наприклад, змінна - №48 - открытая онлайн библиотека закон розподілу

Отже, наприклад, змінна - №51 - открытая онлайн библиотека , (3.3.2)

де Отже, наприклад, змінна - №48 - открытая онлайн библиотека - визначена за формулою (3.3.1) змінна, що стоїть посередині нерівності, а Отже, наприклад, змінна - №53 - открытая онлайн библиотека і Отже, наприклад, змінна - №54 - открытая онлайн библиотека - дві величини Отже, наприклад, змінна - №48 - открытая онлайн библиотека (критичні величини Отже, наприклад, змінна - №48 - открытая онлайн библиотека ), отримані з таблиць розподілу згідно із законом Отже, наприклад, змінна - №48 - открытая онлайн библиотека з (N–2) степенями вільності, причому такими, що відсікають 100(a/2)% хвостових областей розподілу Отже, наприклад, змінна - №48 - открытая онлайн библиотека , як показано на рис. 3.1.

Отже, наприклад, змінна - №59 - открытая онлайн библиотека

Рис. 3.1. 95%-й довірчий інтервал для Отже, наприклад, змінна - №48 - открытая онлайн библиотека розподілу з df = 8

Підставляючи в (3.3.2) Отже, наприклад, змінна - №48 - открытая онлайн библиотека з рівності (3.3.1) і перерозподіляючи члени, одержуємо

Отже, наприклад, змінна - №62 - открытая онлайн библиотека , (3.3.3)

який дає 100(1–а)%-й довірчий інтервал для Отже, наприклад, змінна - №2 - открытая онлайн библиотека .

Як ілюстрацію розглянемо досліджений раніше приклад (2.6.1)-(2.6.2):

Отже, наприклад, змінна - №64 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №65 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №66 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №29 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №68 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №30 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №70 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №71 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №72 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №73 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №74 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №75 - открытая онлайн библиотека .  

Тут ми маємо Отже, наприклад, змінна - №71 - открытая онлайн библиотека і Отже, наприклад, змінна - №77 - открытая онлайн библиотека . Якщо вибрати a=5%, то таблиця Отже, наприклад, змінна - №48 - открытая онлайн библиотека розподілу для Отже, наприклад, змінна - №74 - открытая онлайн библиотека дає такі критичні величини: Отже, наприклад, змінна - №80 - открытая онлайн библиотека і Отже, наприклад, змінна - №81 - открытая онлайн библиотека . Вони показують, що імовірність величини Отже, наприклад, змінна - №48 - открытая онлайн библиотека бути не менше 17,5346 складає 2,5% і не перевищувати 2,1797 є 97,5%. Отже, обмежений цими двома значеннями інтервал є 95%-й довірчий інтервал для Отже, наприклад, змінна - №48 - открытая онлайн библиотека , як показано на рис. 3.1.

Підставляючи дані нашого прикладу в (3.3.3), можна перевірити справедливість такого 95%-го довірчого інтервалу для Отже, наприклад, змінна - №2 - открытая онлайн библиотека :

Отже, наприклад, змінна - №85 - открытая онлайн библиотека , Отже, наприклад, змінна - №86 - открытая онлайн библиотека .  

Інтерпретація цього інтервалу така: якщо ми встановимо 95%-ві довірчі межі і будемо повторювати багато разів цю процедуру, то в 95 випадках зі ста Отже, наприклад, змінна - №2 - открытая онлайн библиотека лежатиме всередині цих інтервалів.