Особые точки и параметры задачи

Точки, в которых диаграмма нагрузка-перемещение расщепляется на две ветви, называются точками ветвления решения или точками бифуркации.

Для диаграммы, соответствующей примеру 1 (рис.2.1а), это точка Особые точки и параметры задачи - №1 - открытая онлайн библиотека .

Особые точки и параметры задачи - №2 - открытая онлайн библиотека

Если нагрузка достигает Особые точки и параметры задачи - №3 - открытая онлайн библиотека , стержень вследствие всегда имеющих место случайных возмущений переходит в отклоненное положение равновесия. С ростом нагрузки отклонение нарастает, вообще говоря, плавно, но в окрестности точки бифуркации малому приращению нагрузки соответствуют достаточно большие смещения.

Иначе ведет себя система в Примере 2. При достижении значения Особые точки и параметры задачи - №1 - открытая онлайн библиотека (рис.2.1б) система скачком переходит в нижнее положение равновесия.

Точки, в которых положение равновесия становится неустойчивым, называются критическими, а соответствующие им значения нагрузок - критическим нагрузками. При разгрузке системы нижнее положение равновесия остается устойчивым вплоть до значения Особые точки и параметры задачи - №5 - открытая онлайн библиотека , и только здесь происходит перескок. Значения` Особые точки и параметры задачи - №6 - открытая онлайн библиотека принято называть верхней и нижней критическими нагрузками.

Иногда точки типа А называют критическими точками бифуркации первого типа, а точки типа В и С - второго.

Кроме точек этого типа в теории устойчивости рассматривают также особые точки, характеризующиеся тем, что в них не пересекаются два различных решения, но положение равновесия скачкообразно меняется. Такие точки принято называть предельными.

Пример 2.1

Особые точки и параметры задачи - №7 - открытая онлайн библиотека

Пусть геометрия системы в ненагруженном состоянии определяется параметрами Особые точки и параметры задачи - №8 - открытая онлайн библиотека (рис.2.1), а в состоянии равновесия - параметрами Особые точки и параметры задачи - №9 - открытая онлайн библиотека , Особые точки и параметры задачи - №10 - открытая онлайн библиотека а также

Особые точки и параметры задачи - №11 - открытая онлайн библиотека

Полная энергия системы

Особые точки и параметры задачи - №12 - открытая онлайн библиотека

Положение равновесия определяется условием

Особые точки и параметры задачи - №13 - открытая онлайн библиотека (2.1)

Особые точки и параметры задачи - №14 - открытая онлайн библиотека

Графическая интерпретация уравнения дана на рис.2.3.

При значениях Особые точки и параметры задачи - №15 - открытая онлайн библиотека система имеет одно положение равновесия, при Особые точки и параметры задачи - №16 - открытая онлайн библиотека - два, а при Особые точки и параметры задачи - №17 - открытая онлайн библиотека - три.

Для исследования устойчивости системы в этих положениях необходимо оценить знак второй производной от энергии по параметру перемещения при Особые точки и параметры задачи - №10 - открытая онлайн библиотека , определяемых уравнением (2.I).

Особые точки и параметры задачи - №19 - открытая онлайн библиотека (2.2)

Аналитически такой анализ довольно трудоемок, но интуитивно ясно, что состояния Особые точки и параметры задачи - №20 - открытая онлайн библиотека неустойчивы, поскольку в этих положениях для дополнительного сжатия пружины нужно уменьшить силу Особые точки и параметры задачи - №21 - открытая онлайн библиотека .`Поэтому при увеличении силы Особые точки и параметры задачи - №22 - открытая онлайн библиотека система скачком переходит из точки А в точку А', а при уменьшении силы Особые точки и параметры задачи - №22 - открытая онлайн библиотека - из точки В в точку В'.

Таким образом, значения ` Особые точки и параметры задачи - №24 - открытая онлайн библиотека определяют верхнюю и нижнюю критическую нагрузку.

Рассмотренные наипростейшие примеры не только содержат особенности, характерные для более сложных задач устойчивости стержней, пластин и оболочек. Они позволяют также в первом приближении оценить влияние отклонений от идеальной геометрии, всегда имеющие место в реальных механических системах.

Пусть в исходном ненагруженном состоянии стержни, рассмотренные в примерах 1 и 2, расположены не строго вертикально, а отклонены на некоторый малый угол Особые точки и параметры задачи - №25 - открытая онлайн библиотека (рис.2.4a) .

Особые точки и параметры задачи - №26 - открытая онлайн библиотека

Это предположение равносильно тому, что сила Особые точки и параметры задачи - №22 - открытая онлайн библиотека прикладывается не по оси вертикально стоящего стержня, а под некоторым углом - Особые точки и параметры задачи - №28 - открытая онлайн библиотека ( рис.2.4б) и, что существенно, не меняет этого направления в процессе отклонения системы (такую нагрузку, не меняющую ни величины, ни направления, принято называть "мертвой").

Уравнения равновесия для случаев а) и б)

Особые точки и параметры задачи - №29 - открытая онлайн библиотека (2.3)

совпадают с точностью до выбора начала отсчета. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только случай "а".

Графическая интерпретация уравнения (2.3) дана на рис.2.4 в, г. Легко видеть, что график решения при Особые точки и параметры задачи - №30 - открытая онлайн библиотека асимптотически стремится к графику для идеальной системы, но при любом Особые точки и параметры задачи - №31 - открытая онлайн библиотека , точки бифуркации отсутствуют. При нагружении система плавно отклоняется и так же плавно возвращается при снятии нагрузки. Ни при какой силе Особые точки и параметры задачи - №22 - открытая онлайн библиотека система не попадает на левую ветвь, часть которой является устойчивой. Чтобы попасть на эту ветвь, систему нужно сначала отклонить на достаточно большой отрицательный угол Особые точки и параметры задачи - №10 - открытая онлайн библиотека и в этом положении уравновесить соответствующей силой Особые точки и параметры задачи - №22 - открытая онлайн библиотека . Тогда при разгрузке система скачком перейдет из точки А в А'.

На рис.2.5 дана графическая интерпретация поведения системы из Примера 1.2 с начальным отклонением Особые точки и параметры задачи - №28 - открытая онлайн библиотека .

Особые точки и параметры задачи - №36 - открытая онлайн библиотека

Равновесие этой системы описывается уравнением

Особые точки и параметры задачи - №37 - открытая онлайн библиотека

Как видно из диаграммы, точки бифуркации отсутствуют, поскольку кривые, соответствующие различным решениям, не пересекаются. Вместо них возникают предельные точки А и В, соответствующие верхнему и нижнему критическим значениям нагрузки. Причем по модулю эти значения меньше соответствующих значений для идеальной системы. Для того, чтобы попасть на левую ветвь, систему надо предварительно отклонить на отрицательный угол Особые точки и параметры задачи - №10 - открытая онлайн библиотека . Причем тогда ни при какой силе Особые точки и параметры задачи - №39 - открытая онлайн библиотека или Особые точки и параметры задачи - №40 - открытая онлайн библиотека перескока не произойдет.

Для более сложных систем описанные характерные особенности сохраняются.

Если идеализированная система имеет точку бифуркации первого рода, система с несовершенствами ее не имеет.

Точки бифуркации второго рода обращаются для систем с отклонениями в предельные точки, а соответствующие им критические нагрузки уменьшаются.

Линеаризованные уравнения

Для систем более сложных, чем рассмотренные, нелинейные уравнения равновесия настолько сложны, что, как правило, получить их аналитическое решение не удается. Численный же анализ, тоже весьма трудоемкий и сложный, не дает возможности провести качественный анализ поведения систем, подобных рассматриваемой, поскольку проводится для конкретных геометрических и жесткостных параметров системы.

Поскольку потеря статической устойчивости для большинства конструкций недопустима, нас всегда интересует не столько поведение системы в закритическом состоянии (после потери устойчивости), сколько сами критические точки и соответствующие им критические нагрузки. Их удается найти с помощью приближенных линеаризованных уравнений.

Логика рассуждений такова: раз точки бифуркации это точки пересечения различных ветвей решения, то для их отыскания достаточно установить наличие форм равновесия, смежных с исходной. Это позволяет ограничиться рассмотрением равновесия систем при малых параметрах отклонения от исходной формы равновесия. В уже рассмотренных нами примерах таким малым параметром оказывается угол Особые точки и параметры задачи - №10 - открытая онлайн библиотека . Разложив в ряд Тейлора тригонометрические функции этого угла, мы можем ограничиться первыми членами разложений

Особые точки и параметры задачи - №42 - открытая онлайн библиотека (2.4)

Обратимся снова к Примеру 1.1. Линеаризуем уравнение (1.2), т.е. удержим в разложении (2.4) для Особые точки и параметры задачи - №43 - открытая онлайн библиотека только первый линейный член.

Особые точки и параметры задачи - №44 - открытая онлайн библиотека . (2.5)

Из (2.5) получаем исходную форму равновесия Особые точки и параметры задачи - №45 - открытая онлайн библиотека . Кроме этого решения, справедливого при любом параметре Особые точки и параметры задачи - №46 - открытая онлайн библиотека , уравнение (2.5) при Особые точки и параметры задачи - №1 - открытая онлайн библиотека имеет решение Особые точки и параметры задачи - №48 - открытая онлайн библиотека , т.е. Особые точки и параметры задачи - №10 - открытая онлайн библиотека - любое, но, разумеется, малое.

Таким образом, мы определили ` Особые точки и параметры задачи - №50 - открытая онлайн библиотека .

Уравнение равновесия (1.3) для Примера 1.2 в результате линеаризации принимает вид

Особые точки и параметры задачи - №51 - открытая онлайн библиотека (2.6)

и определяет исходную форму равновесия Особые точки и параметры задачи - №45 - открытая онлайн библиотека и возможность нетривиального решения Особые точки и параметры задачи - №48 - открытая онлайн библиотека при ` Особые точки и параметры задачи - №50 - открытая онлайн библиотека .

Мы снова нашли точку бифуркации и критическую нагрузку, в данном случае - верхнюю. Естественно, что ограничившись Особые точки и параметры задачи - №10 - открытая онлайн библиотека , близкими к нулю, мы не смогли найти точку бифуркации, соответствующую Особые точки и параметры задачи - №5 - открытая онлайн библиотека . Такую точку легко найти, исследуя возможность равновесия в положении, близком к очевидному равновесию при Особые точки и параметры задачи - №57 - открытая онлайн библиотека . Для этого Особые точки и параметры задачи - №58 - открытая онлайн библиотека надо разложить в окрестности p , записав

Особые точки и параметры задачи - №59 - открытая онлайн библиотека

и приняв Особые точки и параметры задачи - №60 - открытая онлайн библиотека малым, т.е.

Особые точки и параметры задачи - №61 - открытая онлайн библиотека

Тогда уравнение (1. 3) примет вид

Особые точки и параметры задачи - №62 - открытая онлайн библиотека

откуда и находим нижнюю критического нагрузку Особые точки и параметры задачи - №5 - открытая онлайн библиотека .

Линеаризованные уравнения позволяют найти точки бифуркации в заранее известных положениях равновесия, но не дают информации ни о характере этих точек, ни о поведении системы в закритическом состоянии, т.е. при больших отклонениях. Поэтому найти с их помощью предельные точки, в которых нет ветвления форм равновесия, строго говоря, невозможно. Однако, и в этих случаях они могут оказаться полезными.

Например, если в Примере1.3 угол Особые точки и параметры задачи - №25 - открытая онлайн библиотека мал настолько, что допустимо принять

Особые точки и параметры задачи - №65 - открытая онлайн библиотека

то это тем более допустимо для функций угла Особые точки и параметры задачи - №10 - открытая онлайн библиотека . Тогда вместо (2.I) можно рассматривать приближенное выражение

Особые точки и параметры задачи - №67 - открытая онлайн библиотека (2.7)

Это уравнение нельзя назвать линеаризованным, поскольку мы удержали и вторые члены разложения (2.4) . Однако анализировать его значительно легче, чем (2.1). При сделанных допущениях вместо (2.2) имеем

Особые точки и параметры задачи - №68 - открытая онлайн библиотека

Легко видеть, что эта величина меняет знак при

Особые точки и параметры задачи - №69 - открытая онлайн библиотека (2.8)

Подставив (2.8) в (2.7), находим приближенные значения критических нагрузок в этих предельных точках.

Особые точки и параметры задачи - №70 - открытая онлайн библиотека

Исследуем с помощью линеаризованных уравнений систему не с одной, а с двумя степенями свободы.

Особые точки и параметры задачи - №71 - открытая онлайн библиотека

Пример 2.2

Уравнения равновесия такой cистемы:

Особые точки и параметры задачи - №72 - открытая онлайн библиотека Особые точки и параметры задачи - №72 - открытая онлайн библиотека Особые точки и параметры задачи - №74 - открытая онлайн библиотека (2.9)

где усилия в пружинах:

Особые точки и параметры задачи - №75 - открытая онлайн библиотека (2.10)

Система (2.9) после подстановки в нее (2.10) и линеаризации примет вид

Особые точки и параметры задачи - №76 - открытая онлайн библиотека (2.11)

Кроме тривиального решения Особые точки и параметры задачи - №77 - открытая онлайн библиотека , Особые точки и параметры задачи - №72 - открытая онлайн библиотека соответствующего вертикальному положению равновесия стержней, система может иметь и нетривиальные решения Особые точки и параметры задачи - №79 - открытая онлайн библиотека , если ее определитель:

Особые точки и параметры задачи - №80 - открытая онлайн библиотека (2.12)

Корни уравнения (2.12) дают два значения нагрузки (две точки бифуркации). Пусть для конкретности Особые точки и параметры задачи - №81 - открытая онлайн библиотека .

Тогда корни уравнения (2.12)

Особые точки и параметры задачи - №82 - открытая онлайн библиотека (2.13)

При найденных значениях нагрузки (2.13) уравнения (2.11) совпадают, что позволяет найти лишь соотношения между значениями Особые точки и параметры задачи - №83 - открытая онлайн библиотека и Особые точки и параметры задачи - №84 - открытая онлайн библиотека .

Особые точки и параметры задачи - №85 - открытая онлайн библиотека (2.14)

которым соответствуют две формы равновесия, найденные с точностью до множителя (рис. 2.7).

Рассмотренный пример позволяет сделать следующие заключения, характерные для всех задач статической устойчивости.

Особые точки и параметры задачи - №86 - открытая онлайн библиотека

1. Точки бифуркации находятся из условия нетривиальности решения и математически являются собственными значениями задачи.

2. Количество точек бифуркации совпадает с числом степеней свободы системы, если характеристическое уравнение не имеет кратных корней.

3. Формы отклоненного равновесия математически являются собственными функциями задачи и определяются с точностью до амплитуды.