Особенности машинной арифметики

Знание основных особенностей машинной арифметики необходимо для грамотного использования ЭВМ при численном решении задач.

Будем считать, что все вычислительные машины работают в двоичной системе счисления. Для хранения числа в памяти ЭВМ отводится поле стандартной длины (машинное слово), в котором число записывается в виде последовательности двоичных цифр (0 или 1). Целое число n представляется в виде

Особенности машинной арифметики - №1 - открытая онлайн библиотека (1.3)

где Особенности машинной арифметики - №2 - открытая онлайн библиотека - некоторое стандартное для ЭВМ целое число, Особенности машинной арифметики - №3 - открытая онлайн библиотека – двоичные числа.

Всего для хранения числа Особенности машинной арифметики - №4 - открытая онлайн библиотека отводят Особенности машинной арифметики - №5 - открытая онлайн библиотека разрядов (один из них для хранения знака).

Из представления (1.3) видно, что максимальное по модулю целое число, представимое в ЭВМ, есть Особенности машинной арифметики - №6 - открытая онлайн библиотека . Операции сложения, вычитания и умножения над целыми числами реализованы так, что если результат не превышает по модулю число Особенности машинной арифметики - №7 - открытая онлайн библиотека , то он получается точным. Однако, если модуль результата превышает Особенности машинной арифметики - №7 - открытая онлайн библиотека , то на ряде вычислительных машин эта ситуация не доводится до сведения пользователя, происходит присвоение результату некоторого значения, меньшего Особенности машинной арифметики - №7 - открытая онлайн библиотека по модулю, и вычисления продолжаются далее.

Для вещественных чисел принята форма представления с плавающей точкой, когда каждое число представляется в виде

Особенности машинной арифметики - №10 - открытая онлайн библиотека (1.4)

где Особенности машинной арифметики - №11 - открытая онлайн библиотека – двоичные цифры. Число x нормализуется так, чтобы Особенности машинной арифметики - №12 - открытая онлайн библиотека и поэтому в ЭВМ хранятся только значащие цифры. Число Особенности машинной арифметики - №13 - открытая онлайн библиотека называется мантиссой числа Особенности машинной арифметики - №14 - открытая онлайн библиотека . Количество Особенности машинной арифметики - №15 - открытая онлайн библиотека цифр, которое отводится для записи мантиссы, называется разрядностью мантиссы, Особенности машинной арифметики - №16 - открытая онлайн библиотека - целое число, называемое двоичным порядком. Порядок также записывают, как двоичное целое число Особенности машинной арифметики - №17 - открытая онлайн библиотека для хранения которого в машинном слове отводится 2+l двоичных разрядов.

Так как нуль – ненормированное число (его нельзя представить в виде (1.4) при 0 1 ¹ Особенности машинной арифметики - №18 - открытая онлайн библиотека ), то для его хранения предусматривают особый способ записи.

Отметим следующие моменты:

1. В ЭВМ представимы не все числа, а лишь конечный набор рациональных чисел специального вида. Эти числа образуют представимое множество вычислительной машины. Для всех остальных чисел x возможно лишь их приближенное представление с ошибкой, которую принято называть ошибкой представления (или ошибкой округления). Обычно приближенное представление числа Особенности машинной арифметики - №14 - открытая онлайн библиотека в ЭВМ обозначают как Особенности машинной арифметики - №20 - открытая онлайн библиотека . Если округление производят по дополнению, то граница относительной погрешности представления равна единице первого отброшенного разряда мантиссы, т.е Особенности машинной арифметики - №21 - открытая онлайн библиотека . Если же округление производят усечением, то Особенности машинной арифметики - №22 - открытая онлайн библиотека Величина Особенности машинной арифметики - №23 - открытая онлайн библиотека играет в вычислениях на ЭВМ фундаментальную роль, ее называют относительной точностью ЭВМ, а также машинной точностью (или машинным эпсилон). Значение этой величины определяется разрядностью мантиссы и способом округления.

Можно считать, что точное число x и отвечающее ему округленное число Особенности машинной арифметики - №24 - открытая онлайн библиотека связаны равенством Особенности машинной арифметики - №25 - открытая онлайн библиотека

Среди представимых на ЭВМ чисел нет не только ни одного иррационального (в том числе и таких важных постоянных, Особенности машинной арифметики - №26 - открытая онлайн библиотека ), но и даже такого широко используемого в вычислениях числа, как 0,1.

Дело в том, что двоичная запись числа 0,1 является бесконечной периодической дробью: Особенности машинной арифметики - №27 - открытая онлайн библиотека . Поэтому это число представляется на ЭВМ приближенно, с погрешностью, вызванной необходимостью округления.

2. Диапазон изменения чисел в ЭВМ ограничен. Для всех представимых на ЭВМ чисел Особенности машинной арифметики - №14 - открытая онлайн библиотека (за исключением нуля) имеем: Особенности машинной арифметики - №29 - открытая онлайн библиотека Все числа по модулю большие Особенности машинной арифметики - №30 - открытая онлайн библиотека рассматриваются, как машинная бесконечность.

Попытка получить такое число приводит к аварийному останову (авосту) ЭВМ по переполнению. Все числа по модулю меньшие Особенности машинной арифметики - №31 - открытая онлайн библиотека для ЭВМ не различимы и представляются, как нуль (машинный нуль). Получение числа x , такого, что Особенности машинной арифметики - №32 - открытая онлайн библиотека , называют исчезновением порядка. Обычно, при исчезновении порядка, автоматически полагается Особенности машинной арифметики - №33 - открытая онлайн библиотека и вычисления продолжаются.

3. Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления просты и легко реализуются на ЭВМ. Однако в процессе проведения вычислений погрешности округлений (в силу ограниченной разрядности мантиссы арифметические операции над представимыми в ЭВМ вещественными числами не могут быть реализованы точно) могут накапливаться, так как выполнение каждой из четырех арифметических операций вносит некоторую погрешность. Считается, что выполнение каждой арифметической операции вносит относительную погрешность не большую, чем Особенности машинной арифметики - №34 - открытая онлайн библиотека Это предположение можно записать в виде: Особенности машинной арифметики - №35 - открытая онлайн библиотека (1.5)

где звездочка означает любую из операций Особенности машинной арифметики - №36 - открытая онлайн библиотека и Особенности машинной арифметики - №37 - открытая онлайн библиотека . Если результат выполнения арифметической операции является машинным нулем, то в формуле (1.5) надо положить Особенности машинной арифметики - №38 - открытая онлайн библиотека .

Отметим еще раз, что в отличие от обычных математических операций, машинные арифметические операции из-за ограниченной разрядности мантиссы обладают иными свойствами. Например, не выполняется известное правило арифметики «от перемены мест слагаемых сумма не меняется».

Контрольные вопросы

1. Из каких основных этапов состоит процесс решения задачи с помощью ЭВМ? Дайте характеристику каждого этапа.

2. Из каких частей складывается общая погрешность решения задачи? Предмет и задачи численных методов.

3. Основные отличия аналитических и приближенных численных решений.

4. Погрешность как атрибут численных методов.

5. ЭВМ - толчок к стремительному развитию численных исследований.

6. Роль численного анализа в инженерной практике.

7. Что такое абсолютная погрешность приближенного значения величины?

8. Что такое граница абсолютной погрешности?

9. Как с помощью границы абсолютной погрешности ∆x известного приближенного значения х можно указать возможные значения его нижней и верхней границ?

10. Каким образом определяется граница абсолютной ошибки ∆x для приближенного значения х, получаемого в результате многократных измерений?

11. Что такое относительная погрешность приближенного значения величины?

12. Что такое граница относительной погрешности?

13. Как можно вычислить абсолютную погрешность приближения х, если известна его относительная погрешность?

14. Как определить количество верных значащих цифр результата вычислений.

15. Чему равны погрешности суммы, разности, произведения, частного, степени и корня.

16. Какие цифры в записи приближенного числа называются верными в широком смысле, а какие верными в строгом смысле?

17. Верно ли утверждение, что ЭВМ, округляющая числа по методу отбрасывания, всегда выдает результаты, записанные только верными цифрами? Почему?

18. Какие цифры в записи приближенного числа называются значащими?

19. Что такое округление числа? Что такое погрешность округления?

20. Как различаются погрешности округление методом отбрасывания и симметрическое округление?

21. Из чего складывается полная погрешность округленного числа?

22. Понятие вычислительного алгоритма.

23. Приближенное значение величины.

24. Верные, значащие, сомнительные цифры числа.

25. Погрешности арифметических действий.