Основы теории стохастической индикации

Индикатор любого случайного события Основы теории стохастической индикации - №1 - открытая онлайн библиотека является случайной величиной, обладающей следующими свойствами [7,11]

 
Основы теории стохастической индикации - №2 - открытая онлайн библиотека (7.1)

Из соотношения (7.1) следует

Основы теории стохастической индикации - №3 - открытая онлайн библиотека (7.2)

Поскольку случайные переменные обозначаются символом Основы теории стохастической индикации - №4 - открытая онлайн библиотека , то сформулированный выше (2.2) единожды неопределённый предикат Основы теории стохастической индикации - №5 - открытая онлайн библиотека < Основы теории стохастической индикации - №6 - открытая онлайн библиотека будет представлять собой неопределённое высказывание или, другими словами, случайное событие Основы теории стохастической индикации - №1 - открытая онлайн библиотека . Здесь неопределённость ситуации заложена в неопределённость переменной Основы теории стохастической индикации - №5 - открытая онлайн библиотека , являющейся случайной величиной. Для определения вероятности p этого высказывания достаточно знать закон распределения (функцию распределения) случайной величины (нагрузки) Основы теории стохастической индикации - №5 - открытая онлайн библиотека и заданное значение сопротивляемости (прочности) Основы теории стохастической индикации - №6 - открытая онлайн библиотека , то есть

Основы теории стохастической индикации - №11 - открытая онлайн библиотека . (7.3)

Пусть Основы теории стохастической индикации - №12 - открытая онлайн библиотека - индикатор множества A = ( Основы теории стохастической индикации - №13 - открытая онлайн библиотека . Тогда из выражений (7.2),(7.3) следует, что

Основы теории стохастической индикации - №14 - открытая онлайн библиотека , (7.4)

а плотность Основы теории стохастической индикации - №15 - открытая онлайн библиотека и функция распределения Основы теории стохастической индикации - №16 - открытая онлайн библиотека случайной величины Основы теории стохастической индикации - №17 - открытая онлайн библиотека примут вид [7,11,12]

Основы теории стохастической индикации - №18 - открытая онлайн библиотека (7.5)

Основы теории стохастической индикации - №19 - открытая онлайн библиотека (7.6)

где Основы теории стохастической индикации - №20 - открытая онлайн библиотека - дельта-функция;

Основы теории стохастической индикации - №21 - открытая онлайн библиотека - единичная функция.

Поскольку противоположные гипотезы A и Основы теории стохастической индикации - №22 - открытая онлайн библиотека всегда образуют полную группу, поэтому всегда имеет место формула

Основы теории стохастической индикации - №23 - открытая онлайн библиотека

На основе (7.5), (7.6) числовые характеристики индикатора Основы теории стохастической индикации - №24 - открытая онлайн библиотека могут быть определены следующим образом [5]

Основы теории стохастической индикации - №25 - открытая онлайн библиотека ; (7.7)

Основы теории стохастической индикации - №26 - открытая онлайн библиотека (7.8)

Таким образом, как это следует из выражения (7.7), вероятность случайного события Основы теории стохастической индикации - №1 - открытая онлайн библиотека равна математическому ожиданию его индикатора Основы теории стохастической индикации - №28 - открытая онлайн библиотека [5].

В рассматриваемом случае (7.8) дисперсия Основы теории стохастической индикации - №29 - открытая онлайн библиотека характеризует степень неопределённости предиката

Основы теории стохастической индикации - №30 - открытая онлайн библиотека

При этом, как это следует из свойств плотности Основы теории стохастической индикации - №31 - открытая онлайн библиотека , максимальная неопределённость будет при медианном значении случайной величины Основы теории стохастической индикации - №32 - открытая онлайн библиотека , то есть Основы теории стохастической индикации - №33 - открытая онлайн библиотека [5,7].

Пусть в предикате Основы теории стохастической индикации - №34 - открытая онлайн библиотека , случайной является переменная Основы теории стохастической индикации - №5 - открытая онлайн библиотека . Тогда будет иметь место единожды неопределённый предикат Основы теории стохастической индикации - №36 - открытая онлайн библиотека , то есть случайное событие Основы теории стохастической индикации - №37 - открытая онлайн библиотека , зависящее от неслучайной переменной Основы теории стохастической индикации - №6 - открытая онлайн библиотека . Тогда

Основы теории стохастической индикации - №39 - открытая онлайн библиотека (7.9)

где Основы теории стохастической индикации - №40 - открытая онлайн библиотека - индикатор множества A = Основы теории стохастической индикации - №41 - открытая онлайн библиотека .

Из выражения (7.9) видно, что в рассматриваемом случае

Основы теории стохастической индикации - №42 - открытая онлайн библиотека . (7.10)

Индикатор Основы теории стохастической индикации - №43 - открытая онлайн библиотека графически представлен на рис 7.1

Основы теории стохастической индикации - №44 - открытая онлайн библиотека
Основы теории стохастической индикации - №45 - открытая онлайн библиотека
Основы теории стохастической индикации - №46 - открытая онлайн библиотека
 
 
 
 
Основы теории стохастической индикации - №47 - открытая онлайн библиотека
Основы теории стохастической индикации - №48 - открытая онлайн библиотека
Основы теории стохастической индикации - №49 - открытая онлайн библиотека
Основы теории стохастической индикации - №50 - открытая онлайн библиотека
Основы теории стохастической индикации - №51 - открытая онлайн библиотека

Рис 7.1 Индикатор Основы теории стохастической индикации - №43 - открытая онлайн библиотека случайного события Основы теории стохастической индикации - №36 - открытая онлайн библиотека .

Пусть переменная Основы теории стохастической индикации - №6 - открытая онлайн библиотека также случайна, тогда имеет место неравенство Основы теории стохастической индикации - №55 - открытая онлайн библиотека и, следовательно, случайное событие Основы теории стохастической индикации - №56 - открытая онлайн библиотека , в свою очередь, зависит также и от случайной величины Основы теории стохастической индикации - №57 - открытая онлайн библиотека . В этом случае предикат Основы теории стохастической индикации - №55 - открытая онлайн библиотека становится уже дважды неопределённым.

При этом сразу же встаёт задача определения вероятности события Основы теории стохастической индикации - №56 - открытая онлайн библиотека .

При независимости случайных величин Основы теории стохастической индикации - №5 - открытая онлайн библиотека и Основы теории стохастической индикации - №57 - открытая онлайн библиотека , что является наиболее важной практической задачей с учетом (7.9) и формулы полной вероятности, а также с учетом возможных значений случайных величин Основы теории стохастической индикации - №62 - открытая онлайн библиотека и Основы теории стохастической индикации - №63 - открытая онлайн библиотека , имеют место зависимости Основы теории стохастической индикации - №64 - открытая онлайн библиотека и Основы теории стохастической индикации - №65 - открытая онлайн библиотека , откуда

Основы теории стохастической индикации - №66 - открытая онлайн библиотека (7.11)

Основы теории стохастической индикации - №67 - открытая онлайн библиотека (7.12)

С учётом изложенного выше ввёдем в выражениях (7.11), (7.12) следующие обозначения

Основы теории стохастической индикации - №68 - открытая онлайн библиотека (7.13)

Основы теории стохастической индикации - №69 - открытая онлайн библиотека (7.14)

с учётом которых выражения (7.11) и (7.12) преобразуются к виду

Основы теории стохастической индикации - №70 - открытая онлайн библиотека (7.15)

Случайные величины Основы теории стохастической индикации - №71 - открытая онлайн библиотека и Основы теории стохастической индикации - №72 - открытая онлайн библиотека называются стохастическими индикаторами.

Из (7.11), (7.12), (7.13) следует, что

Основы теории стохастической индикации - №73 - открытая онлайн библиотека Основы теории стохастической индикации - №74 - открытая онлайн библиотека

Основы теории стохастической индикации - №75 - открытая онлайн библиотека

откуда Основы теории стохастической индикации - №76 - открытая онлайн библиотека (7.16)

где Основы теории стохастической индикации - №77 - открытая онлайн библиотека - соответственно функции распределения индикаторов Основы теории стохастической индикации - №71 - открытая онлайн библиотека и Основы теории стохастической индикации - №72 - открытая онлайн библиотека , представленные в единичных квадратах на рис. 7.2а, 7.2б, на которых априорные вероятности событий Основы теории стохастической индикации - №80 - открытая онлайн библиотека и Основы теории стохастической индикации - №81 - открытая онлайн библиотека равны их усредненным априорным вероятностям Основы теории стохастической индикации - №82 - открытая онлайн библиотека и Основы теории стохастической индикации - №83 - открытая онлайн библиотека .

Заштрихованные площади над кривыми функций распределения Основы теории стохастической индикации - №84 - открытая онлайн библиотека и Основы теории стохастической индикации - №85 - открытая онлайн библиотека , показанные на рис. 7.2а и 7.2б, геометрически представляют собой математические ожидания Основы теории стохастической индикации - №82 - открытая онлайн библиотека и Основы теории стохастической индикации - №83 - открытая онлайн библиотека случайных величин Основы теории стохастической индикации - №88 - открытая онлайн библиотека и Основы теории стохастической индикации - №89 - открытая онлайн библиотека .

Кроме того, обозначив через Основы теории стохастической индикации - №90 - открытая онлайн библиотека уровень гарантии интересующего нас события, то есть вероятность того, что событие Основы теории стохастической индикации - №91 - открытая онлайн библиотека или Основы теории стохастической индикации - №92 - открытая онлайн библиотека произойдет (станет достоверным), можно, отложив на оси ординат значение Основы теории стохастической индикации - №93 - открытая онлайн библиотека , и, войдя с ним в графики (рис. 7.2а и 7.2б) до пересечения с кривыми Основы теории стохастической индикации - №94 - открытая онлайн библиотека , Основы теории стохастической индикации - №95 - открытая онлайн библиотека , и, отложив на оси абсцисс точку пересечения, получить значения Основы теории стохастической индикации - №96 - открытая онлайн библиотека и Основы теории стохастической индикации - №97 - открытая онлайн библиотека , то есть гарантированные значения вероятностей выполнения событий Основы теории стохастической индикации - №98 - открытая онлайн библиотека или Основы теории стохастической индикации - №99 - открытая онлайн библиотека .

Основы теории стохастической индикации - №100 - открытая онлайн библиотека
Основы теории стохастической индикации - №101 - открытая онлайн библиотека
Основы теории стохастической индикации - №102 - открытая онлайн библиотека
Основы теории стохастической индикации - №102 - открытая онлайн библиотека
Основы теории стохастической индикации - №104 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 7.2б – Функция распределения 2-го стохастического индикатора.  

Рисунок 7.2a – Функция

распределения

1-го стохастического

индикатора.