Основы метода конечных элементов

В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является основным инженерным методом расчета сложных строительных, авиационных, ракетно-космических, судовых и других конструкций. Это обусловлено инвариантностью метода по отношению к геометрии конструкции, условиям ее закрепления и нагружения, а также высокой степенью приспособленности к автоматизации основных этапов расчета конструкции. С математической точки зрения МКЭ является приближенным численным методом минимизации полной потенциальной энергии упругой системы (конструкции), что имеет место в состоянии ее равновесия. В МКЭ конструкция представляется набором типовых конечных элементов. Типы используемых конечных элементов (КЭ) зависят от вида напряженного состояния конструкции и ее геометрии (рис. 4.1).

Основы метода конечных элементов - №1 - открытая онлайн библиотека

Основы метода конечных элементов - №2 - открытая онлайн библиотека Основная процедура МКЭ состоит в представлении (аппроксимации) полей перемещений конечных элементов через перемещения их узлов с помощью некоторых функций, называемых функциями распределения. Рассмотрим, к примеру, простейший КЭ - прямолинейный стержень при одноосном однородном напряженном состоянии (рис. 4.2). Перемещение Основы метода конечных элементов - №3 - открытая онлайн библиотека произвольной точки КЭ можно выразить через узловые перемещения Основы метода конечных элементов - №4 - открытая онлайн библиотека и Основы метода конечных элементов - №5 - открытая онлайн библиотека так, чтобы выполнялись условия Основы метода конечных элементов - №6 - открытая онлайн библиотека : Основы метода конечных элементов - №7 - открытая онлайн библиотека . Отсюда следуют функции распределения Основы метода конечных элементов - №8 - открытая онлайн библиотека . Данные функции удовлетворяют условиям: в узле 1 Основы метода конечных элементов - №9 - открытая онлайн библиотека ; в узле 2 Основы метода конечных элементов - №10 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, полная потенциальная энергия Основы метода конечных элементов - №11 - открытая онлайн библиотека конечно-элементной конструкции в конечном итоге может быть представлена как функция ее узловых перемещений Основы метода конечных элементов - №12 - открытая онлайн библиотека . В состоянии равновесия конструкции Основы метода конечных элементов - №11 - открытая онлайн библиотека имеет минимальное значение. Необходимое условие этого записывается в виде вариационного уравнения Лагранжа Основы метода конечных элементов - №14 - открытая онлайн библиотека (варьируемыми параметрами являются узловые перемещения Основы метода конечных элементов - №12 - открытая онлайн библиотека ), что приводит к системе линейных алгебраических уравнений

Основы метода конечных элементов - №16 - открытая онлайн библиотека .

Здесь Основы метода конечных элементов - №17 - открытая онлайн библиотека , Основы метода конечных элементов - №18 - открытая онлайн библиотека - соответственно матрица жесткости и вектор внешних узловых сил (вектор нагрузки) конечно-элементной модели конструкции. Смысл полученной системы уравнений состоит в равновесии внутренних (в левой части) и внешних (в правой части) узловых сил. После определения узловых перемещений Основы метода конечных элементов - №12 - открытая онлайн библиотека находятся деформации и напряжения во всех элементах конструкции.