Основы кинематики и динамики жидкости

2.5. Уравнение неразрывности для элементарной струйки

Одним из важнейших следствий гипотезы сплошности является так называемое уравнение неразрывности потока – уравнение, выражающее зависимости между скоростями в потоке, в котором гидродинамические величины непрерывны. Для капельной жидкости уравнение непрерывности выражает условие, при котором в потоке отсутствуют разрывы струй, и поэтому называется уравнением неразрывности.

Выведем уравнение неразрывности для элементарной струйки (рис.2.8).

Основы кинематики и динамики жидкости - №1 - открытая онлайн библиотека

Рис.2.8 - Схема элементарной струйки в неразрывном потоке

Рассмотрим отсек струйки длиной Основы кинематики и динамики жидкости - №2 - открытая онлайн библиотека , ограниченный сечениями Основы кинематики и динамики жидкости - №3 - открытая онлайн библиотека слева и Основы кинематики и динамики жидкости - №4 - открытая онлайн библиотека справа. Обозначим через Основы кинематики и динамики жидкости - №5 - открытая онлайн библиотека массовый расход жидкости через сечение струйки Основы кинематики и динамики жидкости - №3 - открытая онлайн библиотека . Вследствие непрерывности всех величин через сечение Основы кинематики и динамики жидкости - №4 - открытая онлайн библиотека протекает расход.

Основы кинематики и динамики жидкости - №8 - открытая онлайн библиотека

Ввиду того, что в общем случае расходы не равны друг другу, в рассматриваемом объеме элементарной струйки будет каждую секунду (единицу времени) происходить изменение массы (прирост или убыль), которое определим по формуле

Основы кинематики и динамики жидкости - №9 - открытая онлайн библиотека .

Изменение массы может произойти на основании той же гипотезы сплошности (принципа непрерывности) только за счет изменения плотности жидкости Основы кинематики и динамики жидкости - №10 - открытая онлайн библиотека и объема отсека струйки.

Масса жидкости в рассматриваемом объеме равна:

Основы кинематики и динамики жидкости - №11 - открытая онлайн библиотека ,

где Основы кинематики и динамики жидкости - №12 - открытая онлайн библиотека – некоторое промежуточное значение живого сечения рассматриваемой элементарной струйки.

Секундное изменение массы может быть вычислено по формуле

Основы кинематики и динамики жидкости - №13 - открытая онлайн библиотека .

Приравнивая оба значения Основы кинематики и динамики жидкости - №14 - открытая онлайн библиотека , получим

Основы кинематики и динамики жидкости - №15 - открытая онлайн библиотека . (2.1)

Имея в виду, что

Основы кинематики и динамики жидкости - №16 - открытая онлайн библиотека ,

Основы кинематики и динамики жидкости - №17 - открытая онлайн библиотека

Основы кинематики и динамики жидкости - №5 - открытая онлайн библиотека ,

Основы кинематики и динамики жидкости - №19 - открытая онлайн библиотека ,

Основы кинематики и динамики жидкости - №20 - открытая онлайн библиотека ,

уравнение (2.1) можно представить в виде:

Основы кинематики и динамики жидкости - №21 - открытая онлайн библиотека =0. (2.2)

Уравнения (2.1) и (2.2) являются уравнениями неразрывности. Исследуем полученные уравнения.

Рассмотрим установившееся движение жидкости (капельной или газа); для установившегося движения

Основы кинематики и динамики жидкости - №22 - открытая онлайн библиотека .

Поэтому из уравнения (2.1) следует, что

Основы кинематики и динамики жидкости - №23 - открытая онлайн библиотека ,

откуда

Основы кинематики и динамики жидкости - №24 - открытая онлайн библиотека , (2.3)

т.е. в установившемся движении капельной жидкости и газа массовый расход Основы кинематики и динамики жидкости - №25 - открытая онлайн библиотека по длине элементарной струйки имеет одно и то же значение. Уравнение (2.3) называют уравнением массового расхода в элементарной струйке.

Для капельной жидкости Основы кинематики и динамики жидкости - №26 - открытая онлайн библиотека , поэтому

Основы кинематики и динамики жидкости - №27 - открытая онлайн библиотека , (2.4)

Уравнение (3.3) называют уравнением объемного расхода в элементарной струйке.

Из формул следует, что скорости в различных сечениях элементарной струйки капельной жидкости обратно пропорциональны площадям живых сечений

Основы кинематики и динамики жидкости - №28 - открытая онлайн библиотека , (2.5)

а в элементарной струйке газа обратно пропорциональны произведениям Основы кинематики и динамики жидкости - №29 - открытая онлайн библиотека , т.е.

Основы кинематики и динамики жидкости - №30 - открытая онлайн библиотека , (2.6)

2.6. Расход и средняя скорость потока

Поток представляет собой совокупность элементарных струек (рис.2.9).

Рис. 2.9

Из рис. 2.9 видно, что скорость в отдельных струйках различна. Расход потока Основы кинематики и динамики жидкости - №32 - открытая онлайн библиотека равен сумме расходов элементарных струек, т.е.

Основы кинематики и динамики жидкости - №33 - открытая онлайн библиотека (2.7)

Скорость движения потока характеризуется средней скоростью в данном поперечном сечении:

Основы кинематики и динамики жидкости - №34 - открытая онлайн библиотека (2.8)

2.7. Уравнение неразрывности потока

Распространим уравнение неразрывности для элементарной струйки на струйный поток. Для этого проинтегрируем (2.3) по всей площади живого сечения

Основы кинематики и динамики жидкости - №35 - открытая онлайн библиотека (2.9)

Таким образом, массовый расход по длине установившегося потока имеет одно и тоже значение.

Для капельной жидкости Основы кинематики и динамики жидкости - №26 - открытая онлайн библиотека , поэтому из (2.4) следует

Основы кинематики и динамики жидкости - №37 - открытая онлайн библиотека , (2.10)

Таким образом, объемный расход по длине установившегося потока капельной жидкости имеет одно и тоже значение.

Имея в виду, что согласно (2.8)

Основы кинематики и динамики жидкости - №38 - открытая онлайн библиотека

из (2.10) получим, что

Основы кинематики и динамики жидкости - №39 - открытая онлайн библиотека .

или для двух живых сечений потока

Основы кинематики и динамики жидкости - №40 - открытая онлайн библиотека ,

откуда имеем

Основы кинематики и динамики жидкости - №41 - открытая онлайн библиотека ,

т.е. средние скорости потока капельной жидкости обратно пропорциональны площадям живых сечений потока.

2.8. Методы исследования движения жидкости

Существует два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Метод Лагранжа изучает изменение положения в пространстве отдельных частиц жидкости, т.е. траектории их движения.

Метод Эйлера изучает поле скоростей, т.е. картину движения частиц жидкости в отдельных точках пространства в данный момент времени.

Метод Лагранжа в гидродинамике используется редко, ввиду его сложности. Обычно изучение движения основано на методе Эйлера, суть которого заключается в следующем.

Метод основан на понятии местной скорости или скорости в точке в данный момент времени.

В общем случае местные скорости различны в один и тот же момент времени (рис.2.10) в разных точках. Они могут изменяться во времени в каждой точке.

Рис. 2.10

Проекции скорости на оси координат можно записать в виде функций:

Основы кинематики и динамики жидкости - №43 - открытая онлайн библиотека (2.11)

Функция (2.11) характеризует поле скоростей движущейся жидкости.

Используя метод Эйлера, можно выразить ускорение Основы кинематики и динамики жидкости - №44 - открытая онлайн библиотека жидкой частицы следующим образом:

Основы кинематики и динамики жидкости - №45 - открытая онлайн библиотека .

Если учесть, что для движущейся частицы ее координаты являются функциями времени:

Основы кинематики и динамики жидкости - №46 - открытая онлайн библиотека

то проекции скорости будут сложными функциями времени:

Основы кинематики и динамики жидкости - №47 - открытая онлайн библиотека

Основы кинематики и динамики жидкости - №48 - открытая онлайн библиотека

Основы кинематики и динамики жидкости - №49 - открытая онлайн библиотека

Используя правило дифференцирования сложных функций, для проекций полного ускорения получим:

Основы кинематики и динамики жидкости - №50 - открытая онлайн библиотека

Основы кинематики и динамики жидкости - №51 - открытая онлайн библиотека (2.12)

Основы кинематики и динамики жидкости - №52 - открытая онлайн библиотека

Учитывая, что для движущейся жидкости

Основы кинематики и динамики жидкости - №53 - открытая онлайн библиотека ,

преобразуем функции (2.12) к виду

Основы кинематики и динамики жидкости - №54 - открытая онлайн библиотека

Основы кинематики и динамики жидкости - №55 - открытая онлайн библиотека (2.13)

Основы кинематики и динамики жидкости - №56 - открытая онлайн библиотека

где Основы кинематики и динамики жидкости - №57 - открытая онлайн библиотека ; Основы кинематики и динамики жидкости - №58 - открытая онлайн библиотека – индивидуальные или субстанциональные производные;

Основы кинематики и динамики жидкости - №59 - открытая онлайн библиотека – локальные производные, выражающие изменение во времени вектора Основы кинематики и динамики жидкости - №60 - открытая онлайн библиотека в фиксированной точке пространства;

Основы кинематики и динамики жидкости - №61 - открытая онлайн библиотека конвективная производная вектора Основы кинематики и динамики жидкости - №60 - открытая онлайн библиотека . Эта величина выражает изменение скорости в пространстве в данный момент времени. При установившемся движении локальные ускорения равны нулю.

2.9. Уравнения Эйлера

По основному закону механики равнодействующая всех внешних сил, действующих на данное тело, равна массе тела, умноженной на ускорение, с которым движется это тело:

Основы кинематики и динамики жидкости - №63 - открытая онлайн библиотека . (2.14)

Выделим в потоке жидкости элементарный объем в форме параллелепипеда (рис.2.11) и запишем основное уравнение (2.14) в проекциях по осям:

Основы кинематики и динамики жидкости - №64 - открытая онлайн библиотека (2.15)

Рис.2.11

Для первого уравнения (2.15) найдем массу

Основы кинематики и динамики жидкости - №66 - открытая онлайн библиотека .

Ускорение вдоль оси Основы кинематики и динамики жидкости - №67 - открытая онлайн библиотека равно первой производной скорости по времени Основы кинематики и динамики жидкости - №68 - открытая онлайн библиотека т.е. Основы кинематики и динамики жидкости - №69 - открытая онлайн библиотека :

Основы кинематики и динамики жидкости - №70 - открытая онлайн библиотека .

Учитывая, что Основы кинематики и динамики жидкости - №71 - открытая онлайн библиотека ,

где Основы кинематики и динамики жидкости - №72 - открытая онлайн библиотека ,

получим

Основы кинематики и динамики жидкости - №73 - открытая онлайн библиотека . (2.15а)

На выделенную элементарную массу действуют поверхностные силы давления и объемные силы (или массовые), т.е. в силу Основы кинематики и динамики жидкости - №74 - открытая онлайн библиотека включаются эти силы.

Рассмотрим проекцию силы давления на боковую грань ABCD и A’B’C’D’:

Основы кинематики и динамики жидкости - №75 - открытая онлайн библиотека ,

где Основы кинематики и динамики жидкости - №76 - открытая онлайн библиотека и Основы кинематики и динамики жидкости - №77 - открытая онлайн библиотека - среднее гидростатическое давление для указанных граней:

Основы кинематики и динамики жидкости - №78 - открытая онлайн библиотека .

Тогда Основы кинематики и динамики жидкости - №79 - открытая онлайн библиотека . Сила Основы кинематики и динамики жидкости - №80 - открытая онлайн библиотека войдет в основное уравнение со знаком «минус», т.е. в сумму проекций сил давления на боковые грани:

Основы кинематики и динамики жидкости - №81 - открытая онлайн библиотека . (2.16)

Проекция объемной силы Основы кинематики и динамики жидкости - №82 - открытая онлайн библиотека определяется выражением:

Основы кинематики и динамики жидкости - №83 - открытая онлайн библиотека , (2.17)

где X–проекция ускорения объемной силы;

Основы кинематики и динамики жидкости - №10 - открытая онлайн библиотека - плотность жидкости;

dxdydz=dV – объем параллелепипеда.

Проекция равнодействующей с учетом выражений (2.16) и (2.17) имеет вид:

Основы кинематики и динамики жидкости - №85 - открытая онлайн библиотека (2.18)

Подставляя выражение (2.15а) в уравнение (2.18), получим:

Основы кинематики и динамики жидкости - №86 - открытая онлайн библиотека .

После сокращения на Основы кинематики и динамики жидкости - №87 - открытая онлайн библиотека , т.е. отнеся уравнение к единице массы, получим:

Основы кинематики и динамики жидкости - №88 - открытая онлайн библиотека . (2.19)

Аналогично составив выражения для сил Основы кинематики и динамики жидкости - №89 - открытая онлайн библиотека и Основы кинематики и динамики жидкости - №90 - открытая онлайн библиотека и для Основы кинематики и динамики жидкости - №91 - открытая онлайн библиотека и Основы кинематики и динамики жидкости - №92 - открытая онлайн библиотека , получим три уравнения Эйлера:

Основы кинематики и динамики жидкости - №93 - открытая онлайн библиотека (2.20)

Система (2.20) описывает движение как капельной, так и газообразной жидкости. В системе 3-х уравнений пять неизвестных Основы кинематики и динамики жидкости - №94 - открытая онлайн библиотека , поэтому необходимо иметь еще два уравнения. Такими уравнениями являются уравнения неразрывности и характеристическое уравнение.

При Основы кинематики и динамики жидкости - №26 - открытая онлайн библиотека (для капельной жидкости) достаточно уравнения неразрывности:

Основы кинематики и динамики жидкости - №96 - открытая онлайн библиотека .

2.10. Интегрирование уравнения Эйлера

для установившегося движения жидкости

При установившемся движении частные производные по времени равны нулю, т.е.

Основы кинематики и динамики жидкости - №97 - открытая онлайн библиотека .

В этом случае движение жидкости может быть вихревым.

Запишем уравнение Эйлера в следующем виде:

Основы кинематики и динамики жидкости - №98 - открытая онлайн библиотека (2.21)

Умножим первое уравнение на Основы кинематики и динамики жидкости - №99 - открытая онлайн библиотека , второе на Основы кинематики и динамики жидкости - №100 - открытая онлайн библиотека и третье на Основы кинематики и динамики жидкости - №101 - открытая онлайн библиотека ; здесь Основы кинематики и динамики жидкости - №99 - открытая онлайн библиотека , Основы кинематики и динамики жидкости - №100 - открытая онлайн библиотека и Основы кинематики и динамики жидкости - №101 - открытая онлайн библиотека являются проекциями элементарного перемещения.

Тогда, для первого уравнения будем иметь:

Основы кинематики и динамики жидкости - №105 - открытая онлайн библиотека . (2.22)

Учитывая, что Основы кинематики и динамики жидкости - №106 - открытая онлайн библиотека ; Основы кинематики и динамики жидкости - №107 - открытая онлайн библиотека и Основы кинематики и динамики жидкости - №108 - открытая онлайн библиотека , преобразуем правую часть уравнения (2.22 3.16) к виду:

Основы кинематики и динамики жидкости - №109 - открытая онлайн библиотека

Основы кинематики и динамики жидкости - №110 - открытая онлайн библиотека

Основы кинематики и динамики жидкости - №111 - открытая онлайн библиотека

Основы кинематики и динамики жидкости - №112 - открытая онлайн библиотека

Основы кинематики и динамики жидкости - №113 - открытая онлайн библиотека ,

где выражение в скобках представляет полный дифференциал проекции скорости на ось Основы кинематики и динамики жидкости - №114 - открытая онлайн библиотека т.е.

Основы кинематики и динамики жидкости - №115 - открытая онлайн библиотека . (2.23)

С учетом уравнения (2.23) первое уравнение запишем в виде

Основы кинематики и динамики жидкости - №116 - открытая онлайн библиотека . (2.23а)

Оставшиеся два уравнения записываются по аналогии:

Основы кинематики и динамики жидкости - №117 - открытая онлайн библиотека ; (2.23б)

Основы кинематики и динамики жидкости - №118 - открытая онлайн библиотека . (2.23в)

Сложив почленно уравнения (2.237а, б, в), после некоторых преобразований получим:

Основы кинематики и динамики жидкости - №119 - открытая онлайн библиотека

Основы кинематики и динамики жидкости - №120 - открытая онлайн библиотека .

Здесь Основы кинематики и динамики жидкости - №121 - открытая онлайн библиотека представляет полную скорость в данной точке.

Левую часть уравнения можно представить в виде силовой функции Основы кинематики и динамики жидкости - №122 - открытая онлайн библиотека и полного дифференциала Основы кинематики и динамики жидкости - №123 - открытая онлайн библиотека , т.е.

Основы кинематики и динамики жидкости - №124 - открытая онлайн библиотека

и

Основы кинематики и динамики жидкости - №125 - открытая онлайн библиотека ;

тогда имеем

Основы кинематики и динамики жидкости - №126 - открытая онлайн библиотека

или

Основы кинематики и динамики жидкости - №127 - открытая онлайн библиотека . (2.24)

После интегрирования уравнения (2.24) получаем:

Основы кинематики и динамики жидкости - №128 - открытая онлайн библиотека . (2.25)

Выражение (2.25) называют интегралом Бернулли-Эйлера.

Если движение жидкости протекает под действием только сил тяжести и жидкость несжимаемая, т.е. Основы кинематики и динамики жидкости - №26 - открытая онлайн библиотека , то

Основы кинематики и динамики жидкости - №130 - открытая онлайн библиотека . (2.26)

С учетом выражений (2.26) интеграл Бернулли (2.25) принимает вид:

Основы кинематики и динамики жидкости - №131 - открытая онлайн библиотека

или после деления членов уравнения на Основы кинематики и динамики жидкости - №132 - открытая онлайн библиотека получим известное уравнение Бернулли в его обычной форме:

Основы кинематики и динамики жидкости - №133 - открытая онлайн библиотека . (2.27)

Для установившегося вихревого движения значение Основы кинематики и динамики жидкости - №134 - открытая онлайн библиотека постоянно только вдоль одной линии тока или траектории (для элементарной струйки). Это следует из условий интегрирования для потенциальных течений.

Уравнение Бернулли имеет большое практическое и теоретическое значение. Согласно уравнению Бернулли сумма трех высот остается неизменной вдоль данной элементарной струйки (рис.2.12).

Высота Основы кинематики и динамики жидкости - №135 - открытая онлайн библиотека называется геометрической высотой, или высотой положения центра тяжести сечения струйки; Основы кинематики и динамики жидкости - №136 - открытая онлайн библиотека –высота, определяемая величиной гидродинамического давления, или пьезометрическая высота; Основы кинематики и динамики жидкости - №137 - открытая онлайн библиотека – скоростная высота, или скоростной напор.

Основы кинематики и динамики жидкости - №139 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.12.

Энергетический смысл уравнения Бернулли представляет собой полную энергию, отнесенную к единице веса жидкости.

Сопоставляя основное уравнение гидростатики Основы кинематики и динамики жидкости - №140 - открытая онлайн библиотека с уравнением Бернулли, видим, что слагаемое Основы кинематики и динамики жидкости - №137 - открытая онлайн библиотека можно рассматривать как кинетическую энергию, отнесенную к единице веса жидкости:

Основы кинематики и динамики жидкости - №142 - открытая онлайн библиотека .

Так как Основы кинематики и динамики жидкости - №143 - открытая онлайн библиотека , то полный запас энергии элементарной струйки, отнесенной к весу жидкости, будет равен сумме:

Основы кинематики и динамики жидкости - №144 - открытая онлайн библиотека .

В связи с этим уравнение Бернулли часто называют уравнением энергии.