Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно со­ставить из элементов, безразлично какой природы, задан­ного конечного множества. При непосредственном вычис­лении вероятностей часто используют формулы комбина­торики. Ниже приведены самые распространенные из них:

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же Основные формулы комбинаторики - №1 - открытая онлайн библиотека различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возмож­ных перестановок:

Основные формулы комбинаторики - №2 - открытая онлайн библиотека , Основные формулы комбинаторики - №3 - открытая онлайн библиотека .

По определению, Основные формулы комбинаторики - №4 - открытая онлайн библиотека .

Размещениями называют комбинации, составленные из Основные формулы комбинаторики - №1 - открытая онлайн библиотека различных элементов по Основные формулы комбинаторики - №6 - открытая онлайн библиотека элементов, которые от­личаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Основные формулы комбинаторики - №7 - открытая онлайн библиотека .

Либо Основные формулы комбинаторики - №8 - открытая онлайн библиотека .

Сочетаниями называют комбинации, составленные из Основные формулы комбинаторики - №1 - открытая онлайн библиотека различных элементов по Основные формулы комбинаторики - №6 - открытая онлайн библиотека элементов, которые отли­чаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

Основные формулы комбинаторики - №11 - открытая онлайн библиотека

Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

Основные формулы комбинаторики - №12 - открытая онлайн библиотека .

Замечание: выше предполагалось, что все Основные формулы комбинаторики - №1 - открытая онлайн библиотека элементов раз­личны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Напри­мер, если среди Основные формулы комбинаторики - №1 - открытая онлайн библиотека элементов есть Основные формулы комбинаторики - №15 - открытая онлайн библиотека элементов одного вида, Основные формулы комбинаторики - №16 - открытая онлайн библиотека эле­ментов другого вида и т. д., то число перестановок с повторениями:

Основные формулы комбинаторики - №17 - открытая онлайн библиотека , где Основные формулы комбинаторики - №18 - открытая онлайн библиотека .

При решении задач комбинаторики используют сле­дующие правила:

Правило суммы: если некоторый объект Основные формулы комбинаторики - №19 - открытая онлайн библиотека может быть выбран из совокупности объектов Основные формулы комбинаторики - №6 - открытая онлайн библиотека способами, а другой объект Основные формулы комбинаторики - №21 - открытая онлайн библиотека может быть выбран Основные формулы комбинаторики - №1 - открытая онлайн библиотека способами, то выбрать либо Основные формулы комбинаторики - №19 - открытая онлайн библиотека , либо Основные формулы комбинаторики - №21 - открытая онлайн библиотека можно Основные формулы комбинаторики - №25 - открытая онлайн библиотека способами.

Правило произведения: если объект Основные формулы комбинаторики - №19 - открытая онлайн библиотека можно выбрать из совокупности объектов Основные формулы комбинаторики - №6 - открытая онлайн библиотека способами и после каждого такого выбора объект Основные формулы комбинаторики - №21 - открытая онлайн библиотека можно выбрать Основные формулы комбинаторики - №1 - открытая онлайн библиотека спо­собами, то пара объектов Основные формулы комбинаторики - №30 - открытая онлайн библиотека в указанном порядке может быть выбрана Основные формулы комбинаторики - №31 - открытая онлайн библиотека способами.

2. Случайные события. Частота. Вероятность.

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности массовых, случайных явлений (событий).

Случайным событием (или просто событием) называется всякое явление, которое может произойти или не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. Теория вероятностей имеет дело с такими событиями, которые имеют массовый характер. Это значит, что данная совокупность условий может быть воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий называют испытанием (или опытом).

Если, например, испытание состоит в бросании монеты, то выпадение герба является событием. Если испытание - изготовление подшипника данного типа, то соответствие подшипника стандарту - событие. Если испытание - бросание игральной кости, т. е. кубика, на гранях которого проставлены цифры (очки) от Основные формулы комбинаторики - №32 - открытая онлайн библиотека до Основные формулы комбинаторики - №33 - открытая онлайн библиотека , тo выпадение пятерки - событие.

При подбрасывании монеты вероятность выиграть составляет 1/2, а при бросании игральной кости выигрышем считается выпадение цифры шесть (вероятность выигрыша 1/6). Чему равна вероятность проигрыша в каждом случае? Значит ли это, что играть в кости менее выгодно?

Обсуждение

В каждом из двух случаев вероятность выиграть и проиграть должны составить в сумме 100% или единицу, поскольку ничейный вариант в этих ситуациях невозможен. Это означает, что при бросании монеты вероятность проиграть равна 1/2, а при бросании игральной кости - 5/6. А вот вопрос о "выгодах" предложения поиграть в кости по сравнению с предложением бросить монету не так прост, как это кажется. Оставив на минуту в стороне азартные игры, обсудим одну важную для бизнеса проблему. Решение о "выгодности" любого предпринимаемого нами действия, очевидно, зависит не только от нашей оценки риска данного предприятия, но и от величины предполагаемого выигрыша по сравнению с нашими ставками. Чем меньше шансов получить выигрыш, тем больше должна быть величина этого выигрыша по сравнению со ставкой, чтобы сделать игру привлекательной для потенциальных игроков. Забота о привлекательности условий игры, конечно, распространяется только на те случаи, когда игроки принимают решение об участии в процессе добровольно и осмысленно. Так, чем рискованнее финансовые вложения, тем большую прибыль мы ожидаем получить в результате. Когда соотношение "риск - прибыльность" кажется нам неподходящим, мы ищем возможности покинуть "игру". Поэтому при любой оценке бизнес-проекта оценка рисков не менее важна, чем оценка прибыльности, по сути, это - неотъемлемая часть финансово-экономического анализа. Возвращаясь к нашему заданию, пришло время обсудить финансовые условия игры. Какой именно выигрыш покажется нам справедливым и почему? Если при бросании монеты участвуют два игрока, сделавшие одинаковые ставки, причем выигравший забирает все, то возможный выигрыш в такой игре должен вдвое превышать исходную ставку. Менее очевидный случай - бросание кости. Должен ли выигрыш в шесть раз превышать ставку игрока, и откуда возьмется эта сумма, если игроков по-прежнему только двое? Вот если бы игроков было шестеро, и каждый поставил бы на разную цифру, то при одинаковых исходных ставках получилась бы вполне справедливая игра. Выигравший забрал бы в шесть раз больше, чем поставил, но шансы каждого игрока выиграть были бы одинаковыми. Если же играют двое, причем один выигрывает, только при выпадении цифры "шесть", значит второй выигрывает при любой другой ситуации, и его шансы на выигрыш в пять раз выше. Само по себе это не означает, что игра "нечестная", просто справедливые правила должны потребовать от второго игрока сделать исходную ставку, которая будет в пять раз выше, чем ставка первого игрока.

События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: Основные формулы комбинаторики - №34 - открытая онлайн библиотека . Пусть при Основные формулы комбинаторики - №1 - открытая онлайн библиотека испытаниях событие Основные формулы комбинаторики - №19 - открытая онлайн библиотека появилось Основные формулы комбинаторики - №6 - открытая онлайн библиотека раз. Отношение Основные формулы комбинаторики - №38 - открытая онлайн библиотека называется частотой (относительной частотой) события Основные формулы комбинаторики - №19 - открытая онлайн библиотека и обозначается Основные формулы комбинаторики - №40 - открытая онлайн библиотека . Опыт показывает, что при многократном повторении испытаний частота Основные формулы комбинаторики - №41 - открытая онлайн библиотека случайного события обладает устойчивостью.

Устойчивость относительных частот появления Основные формулы комбинаторики - №19 - открытая онлайн библиотека в различных сериях достаточно большого числа испыта­ний можно проиллюстрировать на таком примере.

Опыт Число опытов, Основные формулы комбинаторики - №1 - открытая онлайн библиотека Появление герба, Основные формулы комбинаторики - №6 - открытая онлайн библиотека Основные формулы комбинаторики - №45 - открытая онлайн библиотека
Опыт Керриха 10 000 5 087 0,5087
Опыт Бюффона 4 040 2 048 0,5069
1 Опыт Пирсона 12 000 6 019 0,5016
2 Опыт Пирсона 24 000 12 012 0,5005

Наблюдаемое в этом примере свойство устойчивости частоты является общим свойством массовых случайных событий, а именно, всегда существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, мало отличаясь от него при большом числе испытаний. Это число называется вероятностью события. Оно выражает объективную возможность появления события. Чем больше вероятность события, тем более возможным оказывается его появление. Вероятность события Основные формулы комбинаторики - №19 - открытая онлайн библиотека будем обозначать через Основные формулы комбинаторики - №47 - открытая онлайн библиотека . В рассмотренном выше примере вероятность появления герба, очевидно, равна 0,5.

Событие называется достоверным, если оно в данном опыте обязательно должно произойти; наоборот, событие называется невозможным, если оно в данном опыте не может произойти.

Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара - достоверное событие; появление белого шара - невозможное событие.

Если событие достоверно, то оно произойдет при каждом испытании Основные формулы комбинаторики - №48 - открытая онлайн библиотека . Поэтому частота достоверного события всегда равна единице. Наоборот, если событие невозможно, то оно ни при одном испытании не осуществится Основные формулы комбинаторики - №49 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, частота невозможного события в любой серии испытаний равна нулю. Поэтому вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю.

Если событие Основные формулы комбинаторики - №19 - открытая онлайн библиотека не является ни достоверным, ни невозможным, то его частота Основные формулы комбинаторики - №38 - открытая онлайн библиотека при большом числе испытаний будет мало отличаться от некоторого числа Основные формулы комбинаторики - №52 - открытая онлайн библиотека Основные формулы комбинаторики - №53 - открытая онлайн библиотека - вероятности события Основные формулы комбинаторики - №19 - открытая онлайн библиотека .

Основные формулы комбинаторики - №47 - открытая онлайн библиотека - вероятность события Основные формулы комбинаторики - №19 - открытая онлайн библиотека , Основные формулы комбинаторики - №52 - открытая онлайн библиотека - численное значение этой вероятности. Если Основные формулы комбинаторики - №58 - открытая онлайн библиотека , то Основные формулы комбинаторики - №59 - открытая онлайн библиотека . Пишут Основные формулы комбинаторики - №47 - открытая онлайн библиотека , но не пишут Основные формулы комбинаторики - №61 - открытая онлайн библиотека .