Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ)

I. Зависимости между перемещениями

и деформациями (уравнения Коши)

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №1 - открытая онлайн библиотека Рис.11.1 Перемещение точки тела в пространстве определяется тремя компонентами вдоль координатных осей: Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №2 - открытая онлайн библиотека (вдоль оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №3 - открытая онлайн библиотека ), Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №4 - открытая онлайн библиотека (вдоль оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №5 - открытая онлайн библиотека ), Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №6 - открытая онлайн библиотека (вдоль Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №7 - открытая онлайн библиотека ). Эти перемещения являются функциями координат точки, т.е.   Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №8 - открытая онлайн библиотека

Вырежем из тела до его нагружения бесконечно малый прямоугольный элемент с размерами ребер Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №9 - открытая онлайн библиотека . После нагружения тела он деформируется, т.е. изменяться длины его ребер и прямые углы между гранями.

На рис.11.1 показаны до деформации тела два ребра этого элемента, длины которых Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №10 - открытая онлайн библиотека . После деформации т. А переместится в т. Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №11 - открытая онлайн библиотека , т.е. получит перемещения Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №2 - открытая онлайн библиотека и Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №4 - открытая онлайн библиотека . Точка Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №14 - открытая онлайн библиотека получит перемещения: Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №15 - открытая онлайн библиотека (вдоль оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №3 - открытая онлайн библиотека ) и Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №17 - открытая онлайн библиотека (вдоль оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №5 - открытая онлайн библиотека ). Точка Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №19 - открытая онлайн библиотека переместится на Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №20 - открытая онлайн библиотека (вдоль оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №3 - открытая онлайн библиотека ) и Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №22 - открытая онлайн библиотека (вдоль оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №5 - открытая онлайн библиотека ). Из рис. 11.1 отрезок Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №24 - открытая онлайн библиотека ввиду малости угла Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №25 - открытая онлайн библиотека (деформации тела считаются малыми). Относительная деформация ребра АВ вдоль оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №3 - открытая онлайн библиотека равна

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №27 - открытая онлайн библиотека (1)

Аналогично для ребра Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №28 - открытая онлайн библиотека , относительная деформация вдоль оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №5 - открытая онлайн библиотека будет Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №30 - открытая онлайн библиотека , с учетом Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №31 - открытая онлайн библиотека

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №32 - открытая онлайн библиотека (2)

Аналогично получим Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №33 - открытая онлайн библиотека линейную деформацию вдоль оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №7 - открытая онлайн библиотека третьего ребра элемента (не показанного на рис.11.1)

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №35 - открытая онлайн библиотека (3)

Ввиду малости угла Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №25 - открытая онлайн библиотека можно записать (из рис.11.1)

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №37 - открытая онлайн библиотека (4)

Деформации тела малы, поэтому Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №38 - открытая онлайн библиотека много меньше 1 и Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №38 - открытая онлайн библиотека можно не учитывать. Тогда (4) упростится

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №40 - открытая онлайн библиотека (5)

Аналогично найдем

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №41 - открытая онлайн библиотека (6)

Известно, что изменение прямого угла САВ в плоскости Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №42 - открытая онлайн библиотека называется сдвигом в плоскости Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №42 - открытая онлайн библиотека и обозначается Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №44 - открытая онлайн библиотека . Следовательно Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №45 - открытая онлайн библиотека . С учетом (5) и (6) получим

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №46 - открытая онлайн библиотека (7)

Аналогично можно получить Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №47 - открытая онлайн библиотека сдвиг в плоскости Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №48 - открытая онлайн библиотека , Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №49 - открытая онлайн библиотека сдвиг в плоскости Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №50 - открытая онлайн библиотека .

Итак, деформацию в любой точке тела определяют шесть величин, которые с учетом (1), (2), (3) и (7) можно записать так

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №51 - открытая онлайн библиотека (11.1)

Это и есть уравнения Коши.

II. Условия совместности (неразрывности) деформаций

Представим себе тело, разрезанным на малые параллелепипеды. Если каждый из этих параллелепипедов получит произвольные деформации, то из деформированных параллелепипедов не удастся вновь сложить сплошное тело: во многих точках возникнут щели, пустоты. Следовательно, при деформации тела Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №52 - открытая онлайн библиотека должны быть связаны определенными зависимостями. Получим их.

Из (11.1) первое дифференцируем дважды по Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №5 - открытая онлайн библиотека , второе – дважды по Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №3 - открытая онлайн библиотека и сложим их

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №55 - открытая онлайн библиотека (а)

Выражение в скобках по 4) из (11.1) равно Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №44 - открытая онлайн библиотека . Тогда

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №57 - открытая онлайн библиотека (в)

Аналогично можно составить еще два соотношения

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №58 - открытая онлайн библиотека (г)

Эти соотношения легко записать, используя кольцевую перестановку индексов Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №59 - открытая онлайн библиотека

Для однозначности, шесть деформаций должны быть связаны шестью зависимостями.

Продифференцируем три последних уравнения (11.1) так:

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №60 - открытая онлайн библиотека

Сложим два первых соотношения и вычтем третье:

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №61 - открытая онлайн библиотека

Продифференцируем это уравнение еще раз по Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №5 - открытая онлайн библиотека и, учитывая, что по 2) из (11.1) Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №63 - открытая онлайн библиотека получим

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №64 - открытая онлайн библиотека (д)

Аналогично можно получить еще два уравнения, используя кольцевую перестановку индексов. Итак, окончательно получим шесть уравнений (в), (г) и (д), которые и называют условиями совместности (неразрывности) деформаций или уравнениями Сен-Венана.

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №65 - открытая онлайн библиотека (11.2)

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №66 - открытая онлайн библиотека

III. Дифференциальные уравнения равновесия

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №67 - открытая онлайн библиотека

Рис.11.2

Вырежем из нагруженного тела малый прямоугольный элемент с ребрами Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №68 - открытая онлайн библиотека , параллельными осям Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №69 - открытая онлайн библиотека . Со стороны отброшенных частей на элемент действуют напряжения, определяемые тензором напряжений Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №70 - открытая онлайн библиотека , который в разделе 1 обозначен как формула (1.2). На невидимых гранях (рис.11.2) действуют Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №71 - открытая онлайн библиотека . На рис.11.2 эти напряжения условно вынесены за пределы элемента (чтобы упростить рисунок). В разделе 1 приняты следующие обозначения и правила: Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №72 - открытая онлайн библиотека нормальное напряжение вдоль оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №3 - открытая онлайн библиотека , Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №74 - открытая онлайн библиотека касательное напряжение вдоль оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №3 - открытая онлайн библиотека , действующее на площадке, перпендикулярной оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №7 - открытая онлайн библиотека . Аналогично определяются и другие напряжения. Площадки положительны, если внешние нормали к ним направлены вдоль осей. На положительных площадках положительные напряжения направлены вдоль осей Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №69 - открытая онлайн библиотека , на отрицательных – против осей.

Невидимые площадки – отрицательные, поэтому положительные напряжения Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №71 - открытая онлайн библиотека направлены против осей (рис.11.2).

Видимые площадки – положительные и все напряжения на них направлены вдоль осей и имеют добавки по соответствующей координате. Например, на невидимой грани, перпендикулярной оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №3 - открытая онлайн библиотека , действуют Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №80 - открытая онлайн библиотека (против оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №3 - открытая онлайн библиотека ), а на видимой грани, отстоящей от невидимой на малом расстоянии Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №82 - открытая онлайн библиотека , действуют Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №83 - открытая онлайн библиотека (вдоль оси Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №3 - открытая онлайн библиотека ). Аналогично и на других парах граней.

Кроме напряжений на элемент тела действуют объемные силы, их проекции на координатные оси обозначим: Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №85 - открытая онлайн библиотека . Эти силы отнесены к единице объема. Объем элемента Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №86 - открытая онлайн библиотека . Тогда силы, действующие в объеме всего элемента, будут равны:

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №87 - открытая онлайн библиотека (1)

Элемент вырезан из нагруженного тела, находящегося в равновесии. Поэтому и малый элемент, под действием всех напряжений, указанных на рис. 11.2 и объемных сил (1), должен быть в равновесии. Следовательно, должны удовлетворятся шесть уравнений статики. Рассмотрим уравнение проекций сил на ось Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №3 - открытая онлайн библиотека . Каждое напряжение надо умножать на площадь грани, где оно действует, т.е. рассматривать силы на гранях.

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №89 - открытая онлайн библиотека

После раскрытия скобок, приведения подобных членов и деления на объем Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №86 - открытая онлайн библиотека получим

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №91 - открытая онлайн библиотека (2)

Аналогично, составив Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №92 - открытая онлайн библиотека и Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №93 - открытая онлайн библиотека , можно получить еще два уравнения статики. Проще их записать сразу, используя указанную выше кольцевую перестановку Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №69 - открытая онлайн библиотека .

В итоге получим три уравнения равновесия малого прямоугольного элемента, вырезанного внутри тела.

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №95 - открытая онлайн библиотека (11.3)

Можно составить еще три уравнения равновесия моментов относительно осей Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №69 - открытая онлайн библиотека по выше указанному правилу и убедиться, что они дадут уже известный нам закон парности касательных напряжений (1.3), полученный в разделе 1

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №97 - открытая онлайн библиотека

IV. Напряжения на наклонных площадках

(Условия на поверхности)

a
Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №98 - открытая онлайн библиотека

Рис.11.3

Вырежем из нагруженного тела бесконечно малый тетраэдр Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №99 - открытая онлайн библиотека с тремя плоскостями, совпадающими с координатными (см. рис. 11.3). Положение в пространстве наклон-ной площадки Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №100 - открытая онлайн библиотека определяется нормалью Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №101 - открытая онлайн библиотека , направляющие конусы которой обозначим так: Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №102 - открытая онлайн библиотека Площадку Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №100 - открытая онлайн библиотека обозначим Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №104 - открытая онлайн библиотека . Невидимые треугольные площадки, перпендикулярные осям Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №105 - открытая онлайн библиотека и Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №7 - открытая онлайн библиотека , обозначим и определим так:

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №107 - открытая онлайн библиотека (а)

На этих невидимых, отрицательных площадках, действуют положительные напряжения, определяемые Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №70 - открытая онлайн библиотека (см. п.III). На наклонной площадке Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №100 - открытая онлайн библиотека действуют компоненты полного напряжения Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №110 - открытая онлайн библиотека и Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №111 - открытая онлайн библиотека . Под действием всех напряжений, показанных на рис.11.3, тетраэдр находится в равновесии. Умножая напряжения на площадки, составим уравнение статики

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №112 - открытая онлайн библиотека (в)

Объемные силы Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №113 - открытая онлайн библиотека и Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №114 - открытая онлайн библиотека здесь не учитываются, т.к. они пропорциональны объему, который имеет третий порядок малости, а все слагаемые в (в) – второй порядок малости. Подставляя (а) в (в) и сокращая на Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №104 - открытая онлайн библиотека получим

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №116 - открытая онлайн библиотека (г)

Составляя уравнения статики Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №92 - открытая онлайн библиотека и Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №93 - открытая онлайн библиотека , получим еще два уравнения, которые легко записать, используя кольцевую перестановку Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №69 - открытая онлайн библиотека и Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №120 - открытая онлайн библиотека , получим три уравнения равновесия тетраэдра

Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №121 - открытая онлайн библиотека (11.4)

Если площадка Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №100 - открытая онлайн библиотека совпадает с поверхностью тела, то Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №110 - открытая онлайн библиотека и Основные уравнения механики деформируемого твердого тела (МДТТ) - №111 - открытая онлайн библиотека соответствуют компонентам внешней нагрузки. В этом случае уравнения (11.4) называют условиями на поверхности тела. Они связывают внешние напряжения с внутренними в теле.

Удовлетворение условиям (11.3) и (11.4) является необходимым и достаточным условием равновесия в любой точке тела (внутри и на поверхности).