Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества - №1 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №2 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №3 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №4 - открытая онлайн библиотека

Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента

(выбор знака перед корнем зависит от того, в какой четверти находится угол Основные тригонометрические тождества - №5 - открытая онлайн библиотека )

Через sinx:

Основные тригонометрические тождества - №6 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №7 - открытая онлайн библиотека

Через cosx:

Основные тригонометрические тождества - №8 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №9 - открытая онлайн библиотека

Через tgx:

Основные тригонометрические тождества - №10 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №11 - открытая онлайн библиотека

Через ctgx:

Основные тригонометрические тождества - №12 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №13 - открытая онлайн библиотека

Формулы сложения

Основные тригонометрические тождества - №14 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №15 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №16 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №17 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №18 - открытая онлайн библиотека Основные тригонометрические тождества - №19 - открытая онлайн библиотека

(в последних двух формулах Основные тригонометрические тождества - №20 - открытая онлайн библиотека и соответственно Основные тригонометрические тождества - №21 - открытая онлайн библиотека );

Основные тригонометрические тождества - №22 - открытая онлайн библиотека Основные тригонометрические тождества - №23 - открытая онлайн библиотека

(в последних двух формулах Основные тригонометрические тождества - №24 - открытая онлайн библиотека и соответственно Основные тригонометрические тождества - №25 - открытая онлайн библиотека ).

Преобразование суммы тригонометрических функций

Основные тригонометрические тождества - №26 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №27 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №28 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №29 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №30 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №31 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №32 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №33 - открытая онлайн библиотека

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Основные тригонометрические тождества - №34 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №35 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №36 - открытая онлайн библиотека

Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента

Основные тригонометрические тождества - №37 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №38 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №39 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №40 - открытая онлайн библиотека Основные тригонометрические тождества - №41 - открытая онлайн библиотека

Тригонометрические функции половинного аргумента

(выбор знака зависит от того, в какой четверти находится угол Основные тригонометрические тождества - №42 - открытая онлайн библиотека )

Основные тригонометрические тождества - №43 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №44 - открытая онлайн библиотека

Выражение тригонометрической функции через тангенс половинного аргумента

Основные тригонометрические тождества - №45 - открытая онлайн библиотека Основные тригонометрические тождества - №46 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №47 - открытая онлайн библиотека Основные тригонометрические тождества - №48 - открытая онлайн библиотека

Преобразование степеней синуса и косинуса

Основные тригонометрические тождества - №49 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №50 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №51 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №52 - открытая онлайн библиотека

Знаки тригонометрических функций Основные тригонометрические тождества - №53 - открытая онлайн библиотека Некоторые значения тригонометрических функций Основные тригонометрические тождества - №54 - открытая онлайн библиотека Логарифмические формулы
Основные тригонометрические тождества - №55 - открытая онлайн библиотека Основные тригонометрические тождества - №56 - открытая онлайн библиотека
Основные тригонометрические тождества - №57 - открытая онлайн библиотека Основные тригонометрические тождества - №58 - открытая онлайн библиотека
Основные тригонометрические тождества - №59 - открытая онлайн библиотека Основные тригонометрические тождества - №60 - открытая онлайн библиотека
Основные тригонометрические тождества - №61 - открытая онлайн библиотека Основные тригонометрические тождества - №62 - открытая онлайн библиотека
 

II.

·

· Свойства и графики тригонометрических функций. y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx

· Обратные тригонометрические функции (аркфункции), их свойства и графики. Основные тригонометрические тождества - №63 - открытая онлайн библиотека

Представление функции может имеет различные формы: в явном виде; в неявном виде; в параметрической форме; разными аналитическим формулами в области определения; графическое; в виде таблиц.

Пример 1. Найти область определения функций.
Основные тригонометрические тождества - №64 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №65 - открытая онлайн библиотека

   

Действительное число.Понятие функции существенно базируется на понятии действительного (рационального и иррационального) числа. Оно окончательно сформировалось только в конце 19 в. В частности, установлена логически безупречная связь между числами и точками геометрич. прямой, к-рая привела к формальному обоснованию идей Р. Декарта (R. Descartes, сер. 17 в.), к-рый ввел в математику прямоугольные системы координат и представление в них функций графиками.

В математическом анализе методом изучения функций является предел. Различают предел последовательности и предел функции. Эти понятия окончательно сформировались только в 19 в., хотя представление о них имели еще древние греческие ученые.

Определение 1. Пределом функции f(x) при Основные тригонометрические тождества - №66 - открытая онлайн библиотека называется число b, если для любого Основные тригонометрические тождества - №67 - открытая онлайн библиотека ( Основные тригонометрические тождества - №68 - открытая онлайн библиотека годно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента х = Основные тригонометрические тождества - №69 - открытая онлайн библиотека начиная с которого выполняется неравенство Основные тригонометрические тождества - №70 - открытая онлайн библиотека . Обозначение: Основные тригонометрические тождества - №71 - открытая онлайн библиотека
Определение 2. Пределом функции f(x) при Основные тригонометрические тождества - №72 - открытая онлайн библиотека называется число b, если для любого Основные тригонометрические тождества - №67 - открытая онлайн библиотека ( Основные тригонометрические тождества - №74 - открытая онлайн библиотека сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число Основные тригонометрические тождества - №75 - открытая онлайн библиотека , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству Основные тригонометрические тождества - №76 - открытая онлайн библиотека выполняется неравенство

Основные тригонометрические тождества - №77 - открытая онлайн библиотека , обозначение: Основные тригонометрические тождества - №78 - открытая онлайн библиотека .

Определение 3. Функция Основные тригонометрические тождества - №79 - открытая онлайн библиотека называется бесконечно малой при Основные тригонометрические тождества - №80 - открытая онлайн библиотека или и Основные тригонометрические тождества - №81 - открытая онлайн библиотека , если

Основные тригонометрические тождества - №82 - открытая онлайн библиотека или Основные тригонометрические тождества - №83 - открытая онлайн библиотека

Свойства бесконечно малых величин.
1.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (постоянную, другую бесконечно малую величину) есть величина бесконечно малая.
3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.
Определение 4. Функция Основные тригонометрические тождества - №79 - открытая онлайн библиотека называется бесконечно большой при Основные тригонометрические тождества - №85 - открытая онлайн библиотека , если Основные тригонометрические тождества - №86 - открытая онлайн библиотека .
Свойства бесконечно больших величин.

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.
2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.
3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Теорема. Связь между бесконечно малой величиной и бесконечно большой величиной. Если функция Основные тригонометрические тождества - №79 - открытая онлайн библиотека бесконечно малая при Основные тригонометрические тождества - №88 - открытая онлайн библиотека ( Основные тригонометрические тождества - №89 - открытая онлайн библиотека ), то функция f(x)= Основные тригонометрические тождества - №90 - открытая онлайн библиотека является бесконечно большой величиной при Основные тригонометрические тождества - №88 - открытая онлайн библиотека ( Основные тригонометрические тождества - №89 - открытая онлайн библиотека ). И, обратно, если функция Основные тригонометрические тождества - №93 - открытая онлайн библиотека бесконечно большая при Основные тригонометрические тождества - №88 - открытая онлайн библиотека ( Основные тригонометрические тождества - №89 - открытая онлайн библиотека ),, то функция f(x)= Основные тригонометрические тождества - №96 - открытая онлайн библиотека является бесконечно малой величиной при Основные тригонометрические тождества - №88 - открытая онлайн библиотека , ( Основные тригонометрические тождества - №89 - открытая онлайн библиотека ).

Теоремы о пределах.
1. Функция не может иметь более одного предела.
2. Предел алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме пределов этих функций:
Основные тригонометрические тождества - №99 - открытая онлайн библиотека .
3. Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
Основные тригонометрические тождества - №100 - открытая онлайн библиотека
4. Предел степени равен степени предела: Основные тригонометрические тождества - №101 - открытая онлайн библиотека
5. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя существует:
Основные тригонометрические тождества - №102 - открытая онлайн библиотека .
6. Первый замечательный предел.

Основные тригонометрические тождества - №103 - открытая онлайн библиотека .
Следствия:
Основные тригонометрические тождества - №104 - открытая онлайн библиотека
7. Второй замечательный предел:

Основные тригонометрические тождества - №105 - открытая онлайн библиотека , n-натуральное число
Основные тригонометрические тождества - №106 - открытая онлайн библиотека
Следствия:
Основные тригонометрические тождества - №107 - открытая онлайн библиотека
Эквивалентные бесконечно малые величины при Основные тригонометрические тождества - №108 - открытая онлайн библиотека :
Основные тригонометрические тождества - №109 - открытая онлайн библиотека
Техника вычисления пределов

При вычислении пределов используют основные теоремы о пределах, свойства непрерывных функций и правила, вытекающие из этих теорем и свойств.
Правило 1. Чтобы найти предел в точке Основные тригонометрические тождества - №110 - открытая онлайн библиотека функции, непрерывной в этой точке, надо в функцию, стоящую под знаком предела, вместо аргумента x подставить его предельное значение Основные тригонометрические тождества - №110 - открытая онлайн библиотека .
Пример 2. Найти Основные тригонометрические тождества - №112 - открытая онлайн библиотека
Правило 2. Если при отыскании предела дроби предел знаменателя равен нулю, а предел числителя отличен от нуля, то предел такой функции равен Основные тригонометрические тождества - №113 - открытая онлайн библиотека .
Пример 3. Найти Основные тригонометрические тождества - №114 - открытая онлайн библиотека
Правило 3. Если при отыскании предела дроби предел знаменателя равен Основные тригонометрические тождества - №115 - открытая онлайн библиотека , а предел числителя отличен от нуля, то предел такой функции равен нулю.
Пример 4. Найти Основные тригонометрические тождества - №116 - открытая онлайн библиотека
Часто подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенным выражениям вида
Основные тригонометрические тождества - №117 - открытая онлайн библиотека .
Нахождение предела функции в этих случаях называется раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить преобразование данного выражения. Для раскрытия неопределенностей используют различные приемы.
Правило 4. Неопределенность вида Основные тригонометрические тождества - №118 - открытая онлайн библиотека раскрывается путем преобразования подпредельной функции т.о., чтобы в числителе и знаменателе выделить множитель, предел которого равен нулю, и, сократив на него дробь, найти предел частного. Для этого числитель и знаменатель либо раскладывают на множители, либо домножают на сопряженные числителю и знаменателю выражения.
Пример 5.
Основные тригонометрические тождества - №119 - открытая онлайн библиотека
Пример 6

Основные тригонометрические тождества - №120 - открытая онлайн библиотека

Правило 5. Если подпредельное выражение содержит тригонометрические функции, тогда, чтобы раскрыть неопределенность вида Основные тригонометрические тождества - №118 - открытая онлайн библиотека используют первый замечательный предел.
Пример 7.

Основные тригонометрические тождества - №122 - открытая онлайн библиотека =2 Основные тригонометрические тождества - №123 - открытая онлайн библиотека .
Пример 8.
Основные тригонометрические тождества - №124 - открытая онлайн библиотека
Правило 6. Чтобы раскрыть неопределенность вида Основные тригонометрические тождества - №125 - открытая онлайн библиотека при Основные тригонометрические тождества - №66 - открытая онлайн библиотека , числитель и знаменатель подпредельной дроби необходимо разделить на высшую степень аргумента и находить далее предел частного.
Возможны результаты:
1) искомый предел равен отношению коэффициентов при старших степенях аргумента числителя и знаменателя, если эти степени одинаковы;
2) предел равен бесконечности, если степень аргумента числителя выше степени аргумента знаменателя;
3) предел равен нулю, если степень аргумента числителя ниже степени аргумента знаменателя.
Пример 9.

Основные тригонометрические тождества - №127 - открытая онлайн библиотека

а) Степени равны, значит, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, т.е. Основные тригонометрические тождества - №128 - открытая онлайн библиотека .
Основные тригонометрические тождества - №129 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №130 - открытая онлайн библиотека

б) Степень числителя Основные тригонометрические тождества - №131 - открытая онлайн библиотека , знаменателя – 1, значит, предел равен Основные тригонометрические тождества - №132 - открытая онлайн библиотека
Основные тригонометрические тождества - №133 - открытая онлайн библиотека

в) здесь степень числителя 1, а знаменателя - Основные тригонометрические тождества - №131 - открытая онлайн библиотека , значит предел равен 0.

Правило 7. Чтобы раскрыть неопределенность вида Основные тригонометрические тождества - №135 - открытая онлайн библиотека , числитель и знаменатель под предельной дроби необходимо умножить на сопряженное выражение.

Пример 10.
Основные тригонометрические тождества - №136 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №137 - открытая онлайн библиотека

Правило 8. Чтобы раскрыть неопределенность вида Основные тригонометрические тождества - №138 - открытая онлайн библиотека используют второй замечательный предел и его следствия.
Можно доказать, что
Основные тригонометрические тождества - №139 - открытая онлайн библиотека
Пример 11.
Основные тригонометрические тождества - №140 - открытая онлайн библиотека
Пример 12.
Основные тригонометрические тождества - №141 - открытая онлайн библиотека

Пример 13.
Основные тригонометрические тождества - №142 - открытая онлайн библиотека

Правило 9. При раскрытии неопределенностей, подпредельная функция которых содержит бесконечно малые величины, необходимо заменить пределы этих бесконечно малых на пределы бесконечно малые, эквивалентных им.

Пример 14.
Основные тригонометрические тождества - №143 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №144 - открытая онлайн библиотека
Пример 15.
Основные тригонометрические тождества - №145 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №146 - открытая онлайн библиотека
Некоторые замечательные пределы.

Основные тригонометрические тождества - №147 - открытая онлайн библиотека , где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,

Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены.

Основные тригонометрические тождества - №148 - открытая онлайн библиотека Основные тригонометрические тождества - №149 - открытая онлайн библиотека

Итого: Основные тригонометрические тождества - №150 - открытая онлайн библиотека

Первый замечательный предел. Основные тригонометрические тождества - №151 - открытая онлайн библиотека

Второй замечательный предел. Основные тригонометрические тождества - №152 - открытая онлайн библиотека

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

Основные тригонометрические тождества - №153 - открытая онлайн библиотека

Пример. Найти предел.

Основные тригонометрические тождества - №154 - открытая онлайн библиотека

Пример. Найти предел.

Основные тригонометрические тождества - №155 - открытая онлайн библиотека Пример. Найти предел.

Основные тригонометрические тождества - №156 - открытая онлайн библиотека

Пример. Найти предел.

Основные тригонометрические тождества - №157 - открытая онлайн библиотека

Пример. Найти предел.

Основные тригонометрические тождества - №158 - открытая онлайн библиотека

Пример. Найти предел Основные тригонометрические тождества - №159 - открытая онлайн библиотека .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4;D = 64 – 48 = 16;

x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;

x2 = (6 – 2)/2 = 2 ; x2 = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда Основные тригонометрические тождества - №160 - открытая онлайн библиотека

Пример. Найти предел.

Основные тригонометрические тождества - №161 - открытая онлайн библиотека умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, т.е. на выражение Основные тригонометрические тождества - №162 - открытая онлайн библиотека , получим:

Основные тригонометрические тождества - №163 - открытая онлайн библиотека = Основные тригонометрические тождества - №164 - открытая онлайн библиотека .

Пример. Найти предел.

Основные тригонометрические тождества - №165 - открытая онлайн библиотека

Пример. Найти предел Основные тригонометрические тождества - №166 - открытая онлайн библиотека .

Если подставим в функцию вместо х значение (х=1), то получим неопределённость типа Основные тригонометрические тождества - №167 - открытая онлайн библиотека Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого разделим числитель на величину

(х-1), получим квадратный трёх член x2 – 5x + 6, который решим стандартным способом через дискриминант, получим множители (x – 2)(x – 3). Знаменатель также легко представим в виде множителей (x – 2)(x – 3). Тогда можно записать:

Основные тригонометрические тождества - №168 - открытая онлайн библиотека

Пример. Найти предел.

Основные тригонометрические тождества - №169 - открытая онлайн библиотека

Основные тригонометрические тождества - №170 - открытая онлайн библиотека - не определен, т.к. при стремлении х к 2 имеют место различные односторонние пределы -∞ и +∞.