Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования

Как было отмечено ранее, мы рассматриваем лишь такие дифференциальные уравнения первого порядка Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №1 - открытая онлайн библиотека , которые можно записать в нормальной форме

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №2 - открытая онлайн библиотека (1.1)

(если оно уже не записано так). В свою очередь, всякое уравнение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №2 - открытая онлайн библиотека можно привести к виду

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №4 - открытая онлайн библиотека (1.2)

Эти две формы записи дифференциального уравнения будем называть стандартными. Всякое конкретное дифференциальное уравнение отличается от других видом функции Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №5 - открытая онлайн библиотека , если оно записано в форме (1.1), или видом функций Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №6 - открытая онлайн библиотека и Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №7 - открытая онлайн библиотека , если записано в форме (1.2).

Например, в уравнении Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №8 - открытая онлайн библиотека функция Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №9 - открытая онлайн библиотека , а в уравнении Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №10 - открытая онлайн библиотека функция Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №11 - открытая онлайн библиотека .

Для уравнения Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №12 - открытая онлайн библиотека функции Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №6 - открытая онлайн библиотека и Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №7 - открытая онлайн библиотека имеют вид: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №15 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №16 - открытая онлайн библиотека .

По виду функций Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №5 - открытая онлайн библиотека в уравнении (1.1), или функций Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №6 - открытая онлайн библиотека и Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №7 - открытая онлайн библиотека в уравнении (1.2) дифференциальные уравнения разделяются на типы. Каждый тип дифференциального уравнения имеет свой метод интегрирования.

Рассмотрим основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования. Ниже в таблице приведены стандартные формы записи таких уравнений (особенности входящих в них функций) и последовательность действий, приводящих к искомому решению.

название Вид ДУ Метод интегрирования
1. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №20 - открытая онлайн библиотека Проинтегрировать почленно обе части уравнения Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №21 - открытая онлайн библиотека и записать общий интеграл уравнения в виде Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №22 - открытая онлайн библиотека .
2. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №23 - открытая онлайн библиотека 1) Записать производную Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №24 - открытая онлайн библиотека в форме Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №25 - открытая онлайн библиотека ; 2) Обе части уравнения Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №26 - открытая онлайн библиотека умножить на Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №27 - открытая онлайн библиотека и разделить на Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №28 - открытая онлайн библиотека ; 3) Полученное уравнение с разделенными переменными проинтегрировать.
Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №29 - открытая онлайн библиотека или Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №30 - открытая онлайн библиотека   1) Разделить обе части уравнения на Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №31 - открытая онлайн библиотека . 2) Полученное уравнение с разделенными переменными проин­тегри­ро­вать.
3. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №32 - открытая онлайн библиотека 1) С помощью замены Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №33 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №34 - открытая онлайн библиотека (или Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №35 - открытая онлайн библиотека ), где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №36 - открытая онлайн библиотека – новая неизвестная функция, привести уравнение к уравнению с разделяющимися переменными отно­си­тельно функции Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №37 - открытая онлайн библиотека . 2) Найти общее решение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №38 - открытая онлайн библиотека этого уравнения. 3) Вернуться к искомой функции у с помощью обратной замены Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №39 - открытая онлайн библиотека , т.е. записать: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №40 - открытая онлайн библиотека , или Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №41 - открытая онлайн библиотека .
Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №42 - открытая онлайн библиотека , где Функции Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №43 - открытая онлайн библиотека и Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №44 - открытая онлайн библиотека – однородные функции одного и того же измерения, т.е. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №45 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №46 - открытая онлайн библиотека , где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №47 - открытая онлайн библиотека – некоторое неотрицательное целое число.
4. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка       Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №48 - открытая онлайн библиотека   Метод Бернулли. 1) Сделать замену Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №49 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №50 - открытая онлайн библиотека , где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №51 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №52 - открытая онлайн библиотека – новые неизвестные функции. Тогда уравнение примет вид Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №53 - открытая онлайн библиотека 2) Преобразовать его к виду Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №54 - открытая онлайн библиотека 3) Составить систему уравнений: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №55 - открытая онлайн библиотека и найти частное решение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №56 - открытая онлайн библиотека (т.е. без константы С) первого уравнения этой системы, а при найденном Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №56 - открытая онлайн библиотека найти общее решение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №58 - открытая онлайн библиотека второго уравнения. 4) Записать ответ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №59 - открытая онлайн библиотека .
5. Дифференциальное уравнение Бернулли     Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №60 - открытая онлайн библиотека Метод Бернулли. 1)Сделать замену Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №49 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №50 - открытая онлайн библиотека , где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №51 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №52 - открытая онлайн библиотека – новые неизвестные функции. Тогда уравнение примет вид Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №65 - открытая онлайн библиотека 2) Преобразовать его к виду Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №66 - открытая онлайн библиотека 3) Составить систему уравнений: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №67 - открытая онлайн библиотека и найти частное решение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №56 - открытая онлайн библиотека (т.е. без константы С) первого уравнения этой системы, а при найденном Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №56 - открытая онлайн библиотека найти общее решение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №70 - открытая онлайн библиотека второго уравнения. 4) Записать ответ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №59 - открытая онлайн библиотека .
             

Предлагаем следующий алгоритм решения (интегрирования) дифференци­ального уравнения первого порядка.

1) Определить тип уравнения, например, пользуясь предложенной выше таблицей. Для этого нужно:

· привести уравнение к стандартному виду (1.1) или (1.2);

· проанализировать функции, входящие в уравнение: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №5 - открытая онлайн библиотека в уравнении (1.1) или Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №73 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №7 - открытая онлайн библиотека в уравнении (1.2), и выяснить, какими из основных свойств, по которым дифференциальные уравнения разделяются на типы, эти функции обладают. Например, уравнение с разделенными переменными может быть записано только в форме (1.2), причем дифференциал Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №27 - открытая онлайн библиотека умножается на функцию, зависящую только от х, а дифференциал Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №76 - открытая онлайн библиотека – на функцию, зависящую от у.В уравнении с разделяющимися переменными функции Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №73 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №7 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №5 - открытая онлайн библиотека должны представлять собой произведение двух функций, одна из которых зависит от х, другая – от у. В однородном уравнении функция Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №5 - открытая онлайн библиотека должна быть такой, что ее можно записать в виде функции отношения переменных Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №81 - открытая онлайн библиотека или Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №82 - открытая онлайн библиотека , функции Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №73 - открытая онлайн библиотека и Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №7 - открытая онлайн библиотека должны быть однородными функциями одного и того же измерения, и.т.д. При этом рекомендуем проверять, к какому типу относится данное дифференциальное уравнение, именно в той последовательности, в которой они указаны в таблице.

2) Выбрать метод интегрирования, соответствующий типу уравнения.

3) Применив выбранный метод, решить дифференциальное уравнение и, согласно условию задачи, записать общее или частное решение (общий или частный интеграл).

Рассмотрим примеры.

Пример 1.1.Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №85 - открытая онлайн библиотека .

Решение:

Решим уравнение, придерживаясь указанного выше алгоритма.

1) Определим тип дифференциального уравнения. Заданное уравнение записано в форме (1.2), где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №86 - открытая онлайн библиотека , а Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №87 - открытая онлайн библиотека . Проанализируем эти функции и выясним сначала, является ли данное уравнение уравнением с разделенными переменными. Функция Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №86 - открытая онлайн библиотека зависит только от у (а должна быть функцией от х), а Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №87 - открытая онлайн библиотека – функция двухпеременных (а должна быть функцией переменной у), следовательно, уравнением с разделенными переменными заданное уравнение не является.

Если функцию Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №87 - открытая онлайн библиотека преобразовать к виду Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №91 - открытая онлайн библиотека , то видим, что эта функция есть произведение двух функций: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №92 - открытая онлайн библиотека , из которых одна Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №93 - открытая онлайн библиотека зависит только от х, а вторая Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №94 - открытая онлайн библиотека зависит только от у. Функцию Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №86 - открытая онлайн библиотека можно также считать произведением двух функций: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №96 - открытая онлайн библиотека , где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №97 - открытая онлайн библиотека , а Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №98 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, данное уравнение

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №85 - открытая онлайн библиотека , или Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №100 - открытая онлайн библиотека ,

есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

2) «Разделим» переменные, т.е. преобразуем уравнение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №100 - открытая онлайн библиотека к уравнению с разделенными переменными. Для этого обе части уравнения разделим на произведение ху, чтобы коэффициентом при Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №76 - открытая онлайн библиотека была функция переменной у, а коэффициентом при Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №27 - открытая онлайн библиотека – функция от х:

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №104 - открытая онлайн библиотека *)(ху ¹ 0).

Получим уравнение с разделенными переменными

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №105 - открытая онлайн библиотека .

Проинтегрировав обе части этого уравнения, получим

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №106 - открытая онлайн библиотека ,

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №107 - открытая онлайн библиотека , или Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №108 - открытая онлайн библиотека

– это и есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Ответ: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №108 - открытая онлайн библиотека

Заметим, что рассмотренное в примере 1.1 дифференциальное уравнение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №85 - открытая онлайн библиотека , можно рассматривать как уравнение относительно функции Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №111 - открытая онлайн библиотека , так и относительно функции Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №112 - открытая онлайн библиотека . Поэтому полученный общий интеграл Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №107 - открытая онлайн библиотека можно рассматривать как неявную функцию Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №111 - открытая онлайн библиотека или Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №112 - открытая онлайн библиотека .

Пример 1.2. Найти решение дифференциального уравнения Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №116 - открытая онлайн библиотека Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №117 - открытая онлайн библиотека , удовлетворяющее условию Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №118 - открытая онлайн библиотека .

Решение: По условию задачи требуется найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №119 - открытая онлайн библиотека . По определению, частное решение – это решение, полученное из общего решения при конкретном значении постоянной С. Поэтому сначала найдем общее решение данного уравнения.

Уравнение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №116 - открытая онлайн библиотека записано в нормальной форме: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №121 - открытая онлайн библиотека . Функция Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №122 - открытая онлайн библиотека представляет собой произведение двух функций Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №123 - открытая онлайн библиотека , каждая из которых зависит только от одной переменной: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №124 - открытая онлайн библиотека , а Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №125 - открытая онлайн библиотека . Значит, данное дифференциальное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Следуя алгоритму (смотри таблицу 1), приведём это уравнение к уравнению с разделенными переменными Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №126 - открытая онлайн библиотека (или, что то же самое, Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №127 - открытая онлайн библиотека ).

Прежде всего, запишем производную Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №128 - открытая онлайн библиотека в форме Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №129 - открытая онлайн библиотека . Получим уравнение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №129 - открытая онлайн библиотека = Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №131 - открытая онлайн библиотека . Затем умножим обе части уравнения на Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №27 - открытая онлайн библиотека и поделим на Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №133 - открытая онлайн библиотека :

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №134 - открытая онлайн библиотека Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №129 - открытая онлайн библиотека = Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №136 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №137 - открытая онлайн библиотека ,

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №138 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №139 - открытая онлайн библиотека .

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения:

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №140 - открытая онлайн библиотека .

Находим: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №141 - открытая онлайн библиотека ;

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №142 - открытая онлайн библиотека .

Тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №143 - открытая онлайн библиотека , или Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №144 - открытая онлайн библиотека , где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №145 - открытая онлайн библиотека *).

Теперь найдем частное решение. Чтобы определить значение постоянной С, воспользуемся начальным условием, а именно (см. алгоритм на стр. 12–13), в общее решение подставим Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №146 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №147 - открытая онлайн библиотека и из полученного равенства найдем значение С:

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №148 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №149 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №150 - открытая онлайн библиотека .

Подставив найденное значение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №150 - открытая онлайн библиотека в общее решение, получим искомое частное решение: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №152 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №152 - открытая онлайн библиотека .

Пример 1.3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №154 - открытая онлайн библиотека .

Решение

Очевидно, решение данного уравнения следует искать при Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №155 - открытая онлайн библиотека .

Определим тип дифференциального уравнения. Уравнение записано в нормальной форме Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №121 - открытая онлайн библиотека , где функция Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №157 - открытая онлайн библиотека есть, очевидно, функция отношения Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №81 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Метод интегрирования такого уравнения – метод замены переменной: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №159 - открытая онлайн библиотека , где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №160 - открытая онлайн библиотека – новая неизвестная функция. Дифференциальное уравнение, получаемое в результате замены, будет уравнением с разделяющимися переменными. Итак, положим

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №159 - открытая онлайн библиотека , откуда Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №162 - открытая онлайн библиотека , а Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №163 - открытая онлайн библиотека .

Подставив Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №164 - открытая онлайн библиотека и Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №128 - открытая онлайн библиотека в исходное уравнение, получим дифференциальное уравнение относительно функции Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №37 - открытая онлайн библиотека :

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №167 - открытая онлайн библиотека , или Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №168 - открытая онлайн библиотека .

Согласно методу, это уравнение с разделяющимися переменными. «Разделим» переменные:

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №168 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №170 - открытая онлайн библиотека | .dx Þ

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №171 - открытая онлайн библиотека Þ

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №172 - открытая онлайн библиотека .

Интегрируем полученное уравнение с разделенными переменными

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №173 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №174 - открытая онлайн библиотека ,

откуда Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №175 - открытая онлайн библиотека .

Вернемся к искомой функции Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №111 - открытая онлайн библиотека , используя равенство Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №159 - открытая онлайн библиотека . Заменив в равенстве Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №175 - открытая онлайн библиотека переменную t на Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №81 - открытая онлайн библиотека , получим общее решение исходного уравнения

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №180 - открытая онлайн библиотека , или Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №181 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №181 - открытая онлайн библиотека *).

Пример 1. 4. Решить дифференциальное уравнение

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №183 - открытая онлайн библиотека

Решение

Данное дифференциальное уравнение записано в форме (1.2), где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №184 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №185 - открытая онлайн библиотека . Очевидно, это уравнение не является уравнением с разделенными переменными. Но оно не является и уравнением с разделяющимися переменными, т.к. функцию Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №184 - открытая онлайн библиотека невозможно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от переменной х, а вторая – только от у. Проверим, не является ли это уравнение однородным дифференциальным уравнением. Для этого проверим однородность функций Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №187 - открытая онлайн библиотека и Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №188 - открытая онлайн библиотека . Имеем

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №189 - открытая онлайн библиотека ,

значит Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №187 - открытая онлайн библиотека – однородная функция второго измерения (таблица 1, пункт 3). Аналогично,

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №191 - открытая онлайн библиотека ,

значит, и Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №188 - открытая онлайн библиотека есть однородная функция второго измерения.

Таким образом, функции Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №187 - открытая онлайн библиотека и Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №188 - открытая онлайн библиотека – однородные функции одного и того же измерения, следовательно, данное уравнение есть однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Как и в примере 1.3, для интегрирования этого уравнения применим метод замены переменной. Положим Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №195 - открытая онлайн библиотека , где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №196 - открытая онлайн библиотека – новая неизвестная функция, при этом Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №197 - открытая онлайн библиотека . Получим

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №198 - открытая онлайн библиотека .

Согласно методу, полученное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому преобразуем его сначала к виду Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №199 - открытая онлайн библиотека :

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №200 - открытая онлайн библиотека ,

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №201 - открытая онлайн библиотека ,

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №202 - открытая онлайн библиотека ,

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №203 - открытая онлайн библиотека ,

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №204 - открытая онлайн библиотека ,

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №205 - открытая онлайн библиотека .

Теперь «разделим» переменные, разделив обе части уравнения на произведение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №206 - открытая онлайн библиотека :

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №207 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №208 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №209 - открытая онлайн библиотека

Проинтегрируем:

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №210 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №211 - открытая онлайн библиотека ,

получим Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №212 - открытая онлайн библиотека , или

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №213 - открытая онлайн библиотека ,

где обозначили Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №214 - открытая онлайн библиотека . Это сделано в целях упрощения дальнейших преобразований. Тогда

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №215 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №216 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №217 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №218 - открытая онлайн библиотека .

Возвращаясь к переменной у с помощью обратной замены Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №219 - открытая онлайн библиотека , получим

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №220 - открытая онлайн библиотека , или Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №221 - открытая онлайн библиотека

– общее решение исходного дифференциального уравнения.

Ответ: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №221 - открытая онлайн библиотека .

Пример 1. 5. Решить задачу Коши: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №223 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №224 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №225 - открытая онлайн библиотека .

Решение

Сначала найдем общее решение данного уравнения.

Сравнивая форму записи этого уравнения с перечисленными в таблице 1, приходим к выводу, что это линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №226 - открытая онлайн библиотека , где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №227 - открытая онлайн библиотека .

Решим его методом Бернулли. Положим Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №228 - открытая онлайн библиотека , где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №229 - открытая онлайн библиотека и Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №230 - открытая онлайн библиотека – новые неизвестные функции. Тогда Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №231 - открытая онлайн библиотека и заданное уравнение примет вид

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №232 - открытая онлайн библиотека .

Преобразуем его: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №233 - открытая онлайн библиотека .

Теперь, согласно методу, чтобы найти функции и и v, нужно составить систему дифференциальных уравнений

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №234 - открытая онлайн библиотека

и последовательно найти сначала частное решение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №235 - открытая онлайн библиотека первого уравнения, а затем при найденной функции Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №235 - открытая онлайн библиотека найти общее решение второго из этих уравнений. При этом отметим, что согласно методу, каждое из уравнений составленной системы является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

1) Решим уравнение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №237 - открытая онлайн библиотека :

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №238 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №239 - открытая онлайн библиотека Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №240 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №241 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №242 - открытая онлайн библиотека Þ

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №243 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №244 - открытая онлайн библиотека .

Согласно методу, достаточно найти какое-либо частное решение этого уравнения, поэтому положим, например, С = 0. Тогда

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №245 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №246 - открытая онлайн библиотека .

2) Теперь решим дифференциальное уравнение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №247 - открытая онлайн библиотека при Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №248 - открытая онлайн библиотека . Имеем

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №249 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №250 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №251 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №252 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №253 - открытая онлайн библиотека Þ

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №254 - открытая онлайн библиотека .

Тогда Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №255 - открытая онлайн библиотека , или Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №256 - открытая онлайн библиотека – это есть общее решение заданного дифференциального уравнения.

Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №224 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №225 - открытая онлайн библиотека .

Подставив значения Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №224 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №225 - открытая онлайн библиотека в общее решение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №256 - открытая онлайн библиотека , найдем значение постоянной С:

2 = Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №262 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №263 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №264 - открытая онлайн библиотека .

Тогда частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:

у = Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №265 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: у = Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №265 - открытая онлайн библиотека .

Пример 1.6.Решить уравнение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №267 - открытая онлайн библиотека .

Решение

Область существования решения уравнения Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №155 - открытая онлайн библиотека .

Запишем уравнение в виде Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №269 - открытая онлайн библиотека . Отсюда видно, что данное уравнение есть уравнение Бернулли: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №270 - открытая онлайн библиотека , где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №271 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №272 - открытая онлайн библиотека , п = 3 (см. таблицу 1, пункт 5).

Для решения применим метод Бернулли: положим Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №228 - открытая онлайн библиотека , где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №51 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №52 - открытая онлайн библиотека – новые неизвестные функции. Тогда Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №231 - открытая онлайн библиотека и заданное уравнение примет вид:

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №277 - открытая онлайн библиотека .

Преобразуем это уравнение:

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №278 - открытая онлайн библиотека ,

составим систему дифференциальных уравнений Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №279 - открытая онлайн библиотека

и последовательно решим уравнения этой системы.

1) Найдем частное решение дифференциального уравнения Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №280 - открытая онлайн библиотека :

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №238 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №282 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №283 - открытая онлайн библиотека Þ

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №284 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №285 - открытая онлайн библиотека .

Интегрируем полученное дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №286 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №287 - открытая онлайн библиотека .

Положим Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №288 - открытая онлайн библиотека , тогда Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №289 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №290 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №291 - открытая онлайн библиотека .

2) Решим дифференциальное уравнение Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №292 - открытая онлайн библиотека при Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №291 - открытая онлайн библиотека :

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №294 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №295 - открытая онлайн библиотека Þ

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №296 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №297 - открытая онлайн библиотека .

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. «Разделяем» переменные и интегрируем:

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №298 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №299 - открытая онлайн библиотека ½ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №300 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №301 - открытая онлайн библиотека ï Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №302 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №303 - открытая онлайн библиотека ;

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №304 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №305 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №306 - открытая онлайн библиотека Þ

и = Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №307 - открытая онлайн библиотека , или и = Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №308 - открытая онлайн библиотека , где Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №309 - открытая онлайн библиотека .

Тогда Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №310 - открытая онлайн библиотека Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №311 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, получили общее решение заданного дифференциального уравнения Бернулли: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №312 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №312 - открытая онлайн библиотека .

Пример 1.7.Найти интегральную кривую дифференциального уравнения Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №314 - открытая онлайн библиотека , проходящую через начало координат.

Решение:

Согласно условию задачи, требуется решить задачу Коши в ее геометрической постановке (стр. 14). Для этого, прежде всего, нужно найти общее решение дифференциального уравнения.

Заданное уравнение является дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Следовательно, для того чтобы найти общее решение нужно проинтегрировать обе части уравнения:

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №315 - открытая онлайн библиотека ,

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №239 - открытая онлайн библиотека Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №317 - открытая онлайн библиотека ,

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №318 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №319 - открытая онлайн библиотека .

Получили общий интеграл заданного дифференциального уравнения. Заметим, что здесь постоянная С может принимать только неотрицательные значения, поскольку левая часть равенства Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №318 - открытая онлайн библиотека есть сумма квадратов.

Общий интеграл Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №318 - открытая онлайн библиотека определяет семейство интегральных кривых, представляющих собой концентрические окружности радиуса Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №322 - открытая онлайн библиотека с центром в точке Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №323 - открытая онлайн библиотека .

В нашем случае требуется найти одну интегральную кривую, проходящую через начало координат, т.е. через точку Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №324 - открытая онлайн библиотека . Подставляя координаты этой точки в равенство Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №318 - открытая онлайн библиотека , найдем соответствующее значение постоянной С:

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №326 - открытая онлайн библиотека Þ Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №327 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, получили уравнение искомой интегральной кривой

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №328 - открытая онлайн библиотека .

Еще раз следует подчеркнуть, это равенство можно рассматривать как частный интеграл заданного дифференциального уравнения, полученный из общего интеграла Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №318 - открытая онлайн библиотека при конкретном значении постоянной Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №327 - открытая онлайн библиотека , а координаты точки О Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №324 - открытая онлайн библиотека – начальные условия ( Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №332 - открытая онлайн библиотека , Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №333 - открытая онлайн библиотека ), используемые для отыскания этого частного интеграла.

Ответ: Окружность Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №328 - открытая онлайн библиотека .

*) Вертикальная черта с записанным справа от нее выражением – такая символьная запись используется для того, чтобы показать, на какое число или выражение будут умножены (или разделены) обе части данного уравнения.

*) Как правило, в общем решении дифференциального уравнения принято записывать одну произвольную постоянную С независимо от того сколько интегралов приходится находить (количество постоянных равно порядку дифференциального уравнения).

*) Заметим, что рассмотренное дифференциальное уравнение имеет особые решения Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их интегрирования - №335 - открытая онлайн библиотека .