Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Познакомившись в предыдущих параграфах с техникой дифференцирования функций, займемся теперь изучением связи между свойствами производной и свойствами функции. При этом будут существенно использоваться несколько теорем, называемых основными теоремами дифференциального исчисления или основными теоремами о дифференцируемых функциях. Поэтому сначала докажем их.

Теорема 1 (Ферма). Пусть функция Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №1 - открытая онлайн библиотека определена на промежутке Х и во внутренней точке Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №2 - открытая онлайн библиотека этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №2 - открытая онлайн библиотека существует конечная производная, то она равна нулю, то есть Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №4 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство. Рассмотрим случай, когда Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №5 - открытая онлайн библиотека – наибольшее значение функции Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №6 - открытая онлайн библиотека на промежутке Х. Тогда Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №7 - открытая онлайн библиотека для всех Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №8 - открытая онлайн библиотека . По определению Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №9 - открытая онлайн библиотека Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №10 - открытая онлайн библиотека . Если Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №11 - открытая онлайн библиотека справа, то Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №12 - открытая онлайн библиотека Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №13 - открытая онлайн библиотека . Если Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №11 - открытая онлайн библиотека слева, то Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №15 - открытая онлайн библиотека Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №16 - открытая онлайн библиотека Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №17 - открытая онлайн библиотека . Таким образом, одновременно должно быть Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №18 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №19 - открытая онлайн библиотека , что возможно только тогда, когда Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №20 - открытая онлайн библиотека .

Случай, когда Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №5 - открытая онлайн библиотека – наименьшее значение функции Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №6 - открытая онлайн библиотека на промежутке Х, рассматривается аналогично.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что в точке с абсциссой Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №2 - открытая онлайн библиотека касательная к кривой Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №1 - открытая онлайн библиотека , если она существует, параллельна оси Ох. Заметим, что в доказательстве теоремы существенно использовался тот факт, что точка Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №2 - открытая онлайн библиотека – внутренняя, поскольку рассматривались точки х и правее, и левее точки Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №2 - открытая онлайн библиотека .
Теорема доказана.

Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №27 - открытая онлайн библиотека

Пьер Ферма (1601-1665) занимался математикой на досуге, работая в Тулузе (Франция) юристом. Вместе с Паскалем является основателем математической теории вероятностей. Занимался также геометрией и теорией чисел. Наиболее известна «великая теорема Ферма», которая утверждает, что уравнение Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №28 - открытая онлайн библиотека для Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №29 - открытая онлайн библиотека не имеет решений при натуральных значениях Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №30 - открытая онлайн библиотека . Доказана эта теорема только в 1994 году.

Следующая теорема принадлежит Мишелю Роллю (1652-1719), французскому математику.

Теорема 2 (Ролля). Пусть функция Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №1 - открытая онлайн библиотека определена на отрезке Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №32 - открытая онлайн библиотека , причем:

1) Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №6 - открытая онлайн библиотека непрерывна на Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №32 - открытая онлайн библиотека ;

2) в интервале Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №35 - открытая онлайн библиотека существует конечная производная Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №36 - открытая онлайн библиотека ;

3) Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №37 - открытая онлайн библиотека .

Тогда в интервале Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №35 - открытая онлайн библиотека найдется точка с такая, что Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №39 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство. Поскольку Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №6 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №32 - открытая онлайн библиотека , то по 2-ой теореме Вейерштрасса она принимает на Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №32 - открытая онлайн библиотека свое наибольшее значение М и наименьшее значение m. Возможны два случая:

1) М = m, т.е. Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №43 - открытая онлайн библиотека для всех Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №44 - открытая онлайн библиотека . Тогда Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №45 - открытая онлайн библиотека для всех Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №46 - открытая онлайн библиотека и в качестве с можно взять любую точку из Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №35 - открытая онлайн библиотека .

2) Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №48 - открытая онлайн библиотека . Поскольку Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №37 - открытая онлайн библиотека , то хотя бы одно из значений М или m функция принимает в интервале Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №35 - открытая онлайн библиотека , т.е. в некоторой точке Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №51 - открытая онлайн библиотека . Так как по условию Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №52 - открытая онлайн библиотека существует, то по теореме Ферма Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №39 - открытая онлайн библиотека .

Теорема доказана.

       
  Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №54 - открытая онлайн библиотека
   
Геометрически теорема Ролля означает, что если непрерывная кривая является графиком дифференцируемой функции, то между двумя точками кривой, имеющими одинаковую ординату, всегда найдется точка, в которой касательная параллельна оси Ох.
 

Теорема 3 (Лагранжа). Пусть функция Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №1 - открытая онлайн библиотека определена на отрезке Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №32 - открытая онлайн библиотека , причем:

1) Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №6 - открытая онлайн библиотека непрерывна на Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №32 - открытая онлайн библиотека ;

2) в интервале Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №35 - открытая онлайн библиотека существует конечная производная Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №36 - открытая онлайн библиотека .

Тогда существует точка Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №51 - открытая онлайн библиотека , такая, что

Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №62 - открытая онлайн библиотека . (6.1)

Доказательство. Рассмотрим на Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №32 - открытая онлайн библиотека вспомогательную функцию

Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №64 - открытая онлайн библиотека .

Каждая из функций в правой части непрерывна на Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №32 - открытая онлайн библиотека , дифференцируема в Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №35 - открытая онлайн библиотека , поэтому и Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №67 - открытая онлайн библиотека удовлетворяет этим же условиям. Кроме того, Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №68 - открытая онлайн библиотека , т.е. Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №69 - открытая онлайн библиотека . Таким образом, функция Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №67 - открытая онлайн библиотека удовлетворяет условиям теоремы Роля, поэтому по этой теореме найдется точка Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №51 - открытая онлайн библиотека такая, что Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №72 - открытая онлайн библиотека , т.е.

Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №73 - открытая онлайн библиотека ,

откуда

Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №74 - открытая онлайн библиотека .

Теорема доказана.

Формула (6.1) называется формулой Лагранжа. Ее часто используют в виде

Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №75 - открытая онлайн библиотека . (6.2)

Выясним геометрический смысл формулы Лагранжа.

       
  Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №76 - открытая онлайн библиотека
   
Рассмотрим дугу АВ кривой Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №1 - открытая онлайн библиотека и секущую АВ. Ясно, что Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №78 - открытая онлайн библиотека , где Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №79 - открытая онлайн библиотека − угол между секущей АВ и осью Ох. Из геометрического смысла производной следует, что Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №80 - открытая онлайн библиотека , где Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №81 - открытая онлайн библиотека − угол между касательной к кривой в точке Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №82 - открытая онлайн библиотека и осью Ох. Из формулы Лагранжа следует, что Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №83 - открытая онлайн библиотека Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №84 - открытая онлайн библиотека , т.е. на дуге АВ есть точка, в которой касательная параллельна секущей АВ.
 

Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) родился в Турине в итало-французской семье. В 19 лет стал профессором математики артиллерийской школы в Турине. В 1766 году был приглашен Фридрихом II в Берлин, написавшим в приглашении, что «необходимо, чтобы величайший геометр Европы проживал вблизи величайшего из королей». В 1786 году после смерти Фридриха II переехал в Париж. Занимался вариационным исчислением, алгеброй, теорией чисел, математическим анализом, небесной механикой.

Замечание. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа., когда Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №37 - открытая онлайн библиотека (секущая параллельна оси Ох).

Рассмотрим теперь не весь отрезок Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №32 - открытая онлайн библиотека , а его часть Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №87 - открытая онлайн библиотека , где Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №88 - открытая онлайн библиотека . Применим к отрезку Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №87 - открытая онлайн библиотека формулу Лагранжа: Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №90 - открытая онлайн библиотека , где Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №91 - открытая онлайн библиотека . Можно записать Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №92 - открытая онлайн библиотека , где Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №93 - открытая онлайн библиотека . (достаточно положить Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №94 - открытая онлайн библиотека ). Тогда получим формулу Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №95 - открытая онлайн библиотека , называемую формулой конечных приращений. Эта формула устанавливает точное выражение для приращения функции при любом конечном значении приращения Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №96 - открытая онлайн библиотека , в отличие от приближенной формулы Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №97 - открытая онлайн библиотека , в этих формулах в разных точках вычисляются значения производной.

Так как мы не знаем, чему равно с, то и значение Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №98 - открытая онлайн библиотека , как правило, нам неизвестно. Тем не менее, полученная формула находит большое применение в теоретических исследованиях.

Теорема 4 (Коши). Пусть на отрезке Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №32 - открытая онлайн библиотека заданы функции Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №6 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №101 - открытая онлайн библиотека , причем:

1) Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №6 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №101 - открытая онлайн библиотека непрерывны на Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №32 - открытая онлайн библиотека ;

2) в интервале Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №105 - открытая онлайн библиотека существуют производные Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №36 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №107 - открытая онлайн библиотека , Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №108 - открытая онлайн библиотека .

Тогда существует точка Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №109 - открытая онлайн библиотека такая, что

Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №110 - открытая онлайн библиотека .

Эта формула называется формулой Коши.

Доказательство. Заметим сначала, что формула имеет смысл. Действительно, Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №111 - открытая онлайн библиотека по условию. Кроме того, Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №112 - открытая онлайн библиотека , так как в противном случае было бы Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №113 - открытая онлайн библиотека и по теореме Роля нашлась бы точка в интервале Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №105 - открытая онлайн библиотека , в которой Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №107 - открытая онлайн библиотека обратилась бы в нуль, а это невозможно по условию.

Рассмотрим вспомогательную функцию Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №116 - открытая онлайн библиотека . Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Роля: непрерывна на Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №32 - открытая онлайн библиотека , дифференцируема в Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №105 - открытая онлайн библиотека , Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №119 - открытая онлайн библиотека . Поэтому найдется точка Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №109 - открытая онлайн библиотека такая, что Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №121 - открытая онлайн библиотека , т.е. Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №122 - открытая онлайн библиотека , откуда Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №123 - открытая онлайн библиотека .

Теорема доказана.

Замечания. 1) Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при Основные теоремы о дифференцируемых функциях - №124 - открытая онлайн библиотека .

2) Теоремы Роля, Лагранжа и Коши называют теоремами о средних значениях, поскольку в них идет речь о значениях производных при средних значениях аргумента (а и b – крайние, с – среднее значения). При этом теорему Коши часто называют обобщенной теоремой о среднем значении.