Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Если функция Основные теоремы дифференциального исчисления - №1 - открытая онлайн библиотека определена в некотором промежутке Основные теоремы дифференциального исчисления - №2 - открытая онлайн библиотека , достигает в некоторой внутренней точке Основные теоремы дифференциального исчисления - №3 - открытая онлайн библиотека этого промежутка наибольшего (или наименьшего) значения, существует конечная производная Основные теоремы дифференциального исчисления - №4 - открытая онлайн библиотека , то Основные теоремы дифференциального исчисления - №5 - открытая онлайн библиотека .

Основные теоремы дифференциального исчисления - №6 - открытая онлайн библиотека Доказательство. По условию в точке Основные теоремы дифференциального исчисления - №3 - открытая онлайн библиотека функция Основные теоремы дифференциального исчисления - №1 - открытая онлайн библиотека достигает, допустим, наибольшего значения, что означает Основные теоремы дифференциального исчисления - №9 - открытая онлайн библиотека , т.е. Основные теоремы дифференциального исчисления - №10 - открытая онлайн библиотека .

Пусть Основные теоремы дифференциального исчисления - №11 - открытая онлайн библиотека . Тогда Основные теоремы дифференциального исчисления - №12 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №13 - открытая онлайн библиотека . По условию в точке Основные теоремы дифференциального исчисления - №14 - открытая онлайн библиотека существует конечная производная, следовательно,

Основные теоремы дифференциального исчисления - №15 - открытая онлайн библиотека .

Пусть Основные теоремы дифференциального исчисления - №16 - открытая онлайн библиотека . Основные теоремы дифференциального исчисления - №17 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №18 - открытая онлайн библиотека , следовательно, Основные теоремы дифференциального исчисления - №19 - открытая онлайн библиотека .

Сопоставляя неравенства Основные теоремы дифференциального исчисления - №20 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №21 - открытая онлайн библиотека , заключаем, что Основные теоремы дифференциального исчисления - №22 - открытая онлайн библиотека .

Геометрический смысл заключения теоремы состоит в том, что касательная к графику функции Основные теоремы дифференциального исчисления - №1 - открытая онлайн библиотека в точке Основные теоремы дифференциального исчисления - №24 - открытая онлайн библиотека параллельна оси абсцисс (рис. 5).

Теорема Ролля. Если функция Основные теоремы дифференциального исчисления - №1 - открытая онлайн библиотека непрерывна в замкнутом промежутке Основные теоремы дифференциального исчисления - №26 - открытая онлайн библиотека , дифференцируема по крайней мере в открытом промежутке Основные теоремы дифференциального исчисления - №27 - открытая онлайн библиотека , принимает на концах промежутка равные значения Основные теоремы дифференциального исчисления - №28 - открытая онлайн библиотека , то внутри промежутка Основные теоремы дифференциального исчисления - №27 - открытая онлайн библиотека существует точка Основные теоремы дифференциального исчисления - №14 - открытая онлайн библиотека такая, что Основные теоремы дифференциального исчисления - №5 - открытая онлайн библиотека .

Основные теоремы дифференциального исчисления - №32 - открытая онлайн библиотека Доказательство. По теореме Вейерштрасса непрерывная функция в замкнутом промежутке достигает своего наибольшего значения Основные теоремы дифференциального исчисления - №33 - открытая онлайн библиотека и своего наименьшего значения Основные теоремы дифференциального исчисления - №34 - открытая онлайн библиотека . Пусть Основные теоремы дифференциального исчисления - №35 - открытая онлайн библиотека , где Основные теоремы дифференциального исчисления - №36 - открытая онлайн библиотека . Возможны только два случая:

1) Обе точки совпадают с концами промежутка Основные теоремы дифференциального исчисления - №37 - открытая онлайн библиотека . Тогда из третьего условия теоремы следует, что Основные теоремы дифференциального исчисления - №38 - открытая онлайн библиотека и что функция постоянна в Основные теоремы дифференциального исчисления - №37 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, в любой точке этого промежутка Основные теоремы дифференциального исчисления - №40 - открытая онлайн библиотека .

2) Хотя бы одна из точек Основные теоремы дифференциального исчисления - №41 - открытая онлайн библиотека или Основные теоремы дифференциального исчисления - №42 - открытая онлайн библиотека не совпадает ни с одним из концов промежутка Основные теоремы дифференциального исчисления - №37 - открытая онлайн библиотека . Обозначим эту точку Основные теоремы дифференциального исчисления - №44 - открытая онлайн библиотека . Она находится внутри промежутка Основные теоремы дифференциального исчисления - №45 - открытая онлайн библиотека и в ней функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Кроме того, в точке Основные теоремы дифференциального исчисления - №46 - открытая онлайн библиотека существует производная функции. Согласно теореме Ферма в этой точке Основные теоремы дифференциального исчисления - №47 - открытая онлайн библиотека .

Геометрическое содержание теоремы Ролля состоит в том, что если выполнены условия теоремы, то внутри промежутка Основные теоремы дифференциального исчисления - №48 - открытая онлайн библиотека существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (рис. 6).

Теорема Лагранжа. Если функция Основные теоремы дифференциального исчисления - №1 - открытая онлайн библиотека непрерывна в замкнутом промежутке Основные теоремы дифференциального исчисления - №26 - открытая онлайн библиотека , дифференцируема по крайней мере в открытом промежутке Основные теоремы дифференциального исчисления - №27 - открытая онлайн библиотека , то внутри промежутка Основные теоремы дифференциального исчисления - №27 - открытая онлайн библиотека существует точка Основные теоремы дифференциального исчисления - №14 - открытая онлайн библиотека такая, что выполняется равенство

Основные теоремы дифференциального исчисления - №54 - открытая онлайн библиотека .

Основные теоремы дифференциального исчисления - №55 - открытая онлайн библиотека Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию Основные теоремы дифференциального исчисления - №56 - открытая онлайн библиотека . Функция Основные теоремы дифференциального исчисления - №57 - открытая онлайн библиотека удовлетворяет первым двум условиям теоремы Ролля при любом Основные теоремы дифференциального исчисления - №58 - открытая онлайн библиотека , как сумма двух непрерывных и дифференцируемых функций Основные теоремы дифференциального исчисления - №59 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №60 - открытая онлайн библиотека . Она удовлетворяет третьему условию теоремы Ролля Основные теоремы дифференциального исчисления - №61 - открытая онлайн библиотека при специальном выборе числа Основные теоремы дифференциального исчисления - №62 - открытая онлайн библиотека из условия Основные теоремы дифференциального исчисления - №63 - открытая онлайн библиотека , т.е. если Основные теоремы дифференциального исчисления - №64 - открытая онлайн библиотека . При таком Основные теоремы дифференциального исчисления - №65 - открытая онлайн библиотека функция Основные теоремы дифференциального исчисления - №66 - открытая онлайн библиотека удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, а поэтому в силу эаключения этой теоремы внутри промежутка Основные теоремы дифференциального исчисления - №67 - открытая онлайн библиотека существует значение Основные теоремы дифференциального исчисления - №68 - открытая онлайн библиотека , при котором Основные теоремы дифференциального исчисления - №69 - открытая онлайн библиотека . Последнее равенство можно записать в виде Основные теоремы дифференциального исчисления - №70 - открытая онлайн библиотека или Основные теоремы дифференциального исчисления - №71 - открытая онлайн библиотека . Откуда Основные теоремы дифференциального исчисления - №72 - открытая онлайн библиотека .

Выведенная формула называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений. Из нее непосредственно следует соотношение

Основные теоремы дифференциального исчисления - №73 - открытая онлайн библиотека

Теорема Коши. Если функции Основные теоремы дифференциального исчисления - №74 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №75 - открытая онлайн библиотека непрерывны в замкнутом промежутке Основные теоремы дифференциального исчисления - №76 - открытая онлайн библиотека , дифференцируемы по крайней мере в открытом промежутке Основные теоремы дифференциального исчисления - №77 - открытая онлайн библиотека , Основные теоремы дифференциального исчисления - №78 - открытая онлайн библиотека в промежутке Основные теоремы дифференциального исчисления - №79 - открытая онлайн библиотека , то внутри Основные теоремы дифференциального исчисления - №79 - открытая онлайн библиотека существует значение Основные теоремы дифференциального исчисления - №81 - открытая онлайн библиотека такое, что имеет место равенство Основные теоремы дифференциального исчисления - №82 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство. Из третьего условия теоремы следует, что Основные теоремы дифференциального исчисления - №83 - открытая онлайн библиотека , в чем можно убедиться рассуждением от противного. В самом деле, если Основные теоремы дифференциального исчисления - №84 - открытая онлайн библиотека , то, по теореме Ролля, примененной к функции Основные теоремы дифференциального исчисления - №85 - открытая онлайн библиотека (здесь выполнены все условия теоремы Ролля), получается, что Основные теоремы дифференциального исчисления - №86 - открытая онлайн библиотека в некоторой внутренней точке Основные теоремы дифференциального исчисления - №87 - открытая онлайн библиотека промежутка Основные теоремы дифференциального исчисления - №79 - открытая онлайн библиотека . Но это противоречит третьему условию теоремы.

Рассмотрим вспомогательную функцию Основные теоремы дифференциального исчисления - №89 - открытая онлайн библиотека , где Основные теоремы дифференциального исчисления - №90 - открытая онлайн библиотека число. Функция Основные теоремы дифференциального исчисления - №91 - открытая онлайн библиотека удовлетворяет первым двум условиям теоремы Ролля при любом Основные теоремы дифференциального исчисления - №92 - открытая онлайн библиотека как сумма двух непрерывных и дифференцируемых функций. Она будет удовлетворять и третьему условию теоремы Ролля, если выбрать Основные теоремы дифференциального исчисления - №92 - открытая онлайн библиотека такой, чтобы Основные теоремы дифференциального исчисления - №94 - открытая онлайн библиотека , т.е. Основные теоремы дифференциального исчисления - №95 - открытая онлайн библиотека , откуда Основные теоремы дифференциального исчисления - №96 - открытая онлайн библиотека . Поэтому в силу заключения этой теоремы существует внутри Основные теоремы дифференциального исчисления - №79 - открытая онлайн библиотека число Основные теоремы дифференциального исчисления - №98 - открытая онлайн библиотека такое, что имеет место равенство Основные теоремы дифференциального исчисления - №99 - открытая онлайн библиотека , или Основные теоремы дифференциального исчисления - №100 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, Основные теоремы дифференциального исчисления - №101 - открытая онлайн библиотека .

Заметим, что теорема Лагранжа есть частный случай теоремы Коши, соответствующий случаю Основные теоремы дифференциального исчисления - №102 - открытая онлайн библиотека .

.Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления - №103 - открытая онлайн библиотека

Основные теоремы дифференциального исчисления - №104 - открытая онлайн библиотекаПусть функции Основные теоремы дифференциального исчисления - №105 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №106 - открытая онлайн библиотека определены в окрестности некоторой точки Основные теоремы дифференциального исчисления - №107 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим при Основные теоремы дифференциального исчисления - №108 - открытая онлайн библиотека следующие выражения: Основные теоремы дифференциального исчисления - №109 - открытая онлайн библиотека .

Условимся в следующем. Назовем

1) неопределенностью вида Основные теоремы дифференциального исчисления - №110 - открытая онлайн библиотека отношение Основные теоремы дифференциального исчисления - №111 - открытая онлайн библиотека двух бесконечно малых (случай Основные теоремы дифференциального исчисления - №112 - открытая онлайн библиотека ),

2) неопределенностью вида Основные теоремы дифференциального исчисления - №113 - открытая онлайн библиотека отношение Основные теоремы дифференциального исчисления - №111 - открытая онлайн библиотека двух бесконечно больших (случай Основные теоремы дифференциального исчисления - №115 - открытая онлайн библиотека ),

3) неопределенностью вида Основные теоремы дифференциального исчисления - №116 - открытая онлайн библиотека разность Основные теоремы дифференциального исчисления - №117 - открытая онлайн библиотека двух бесконечно больших одного знака (случай Основные теоремы дифференциального исчисления - №118 - открытая онлайн библиотека ),

4) неопределенностью вида Основные теоремы дифференциального исчисления - №119 - открытая онлайн библиотека произведение Основные теоремы дифференциального исчисления - №120 - открытая онлайн библиотека бесконечно малой на бесконечно большую (случай Основные теоремы дифференциального исчисления - №121 - открытая онлайн библиотека ),

5) неопределенностью Основные теоремы дифференциального исчисления - №122 - открытая онлайн библиотека выражение Основные теоремы дифференциального исчисления - №123 - открытая онлайн библиотека (случай Основные теоремы дифференциального исчисления - №124 - открытая онлайн библиотека ),

6) неопределенностью Основные теоремы дифференциального исчисления - №125 - открытая онлайн библиотека выражение Основные теоремы дифференциального исчисления - №126 - открытая онлайн библиотека (случай Основные теоремы дифференциального исчисления - №127 - открытая онлайн библиотека ),

7) неопределенностью Основные теоремы дифференциального исчисления - №128 - открытая онлайн библиотека выражение Основные теоремы дифференциального исчисления - №129 - открытая онлайн библиотека (случай Основные теоремы дифференциального исчисления - №130 - открытая онлайн библиотека ).

Раскрыть неопределенность того или иного вида – это значит найти предел соответствующей функции.

Рассмотрим прежде всего случай отношения бесконечно малых.

Теорема Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых существует и равен пределу отношения их производных:

Основные теоремы дифференциального исчисления - №131 - открытая онлайн библиотека

(в этом состоит так называемое правило Лопиталя), если выполнены следующие условия: 1) функции Основные теоремы дифференциального исчисления - №132 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №133 - открытая онлайн библиотека определены и дифференцируемы в некоторой окрестности Основные теоремы дифференциального исчисления - №134 - открытая онлайн библиотека точки Основные теоремы дифференциального исчисления - №135 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №136 - открытая онлайн библиотека в Основные теоремы дифференциального исчисления - №134 - открытая онлайн библиотека ; 2) Основные теоремы дифференциального исчисления - №138 - открытая онлайн библиотека ; 3) существует предел Основные теоремы дифференциального исчисления - №139 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство. Приведем доказательство теоремы для случая, когда Основные теоремы дифференциального исчисления - №140 - открытая онлайн библиотека число. Функции Основные теоремы дифференциального исчисления - №141 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №142 - открытая онлайн библиотека удовлетворяют всем условиям теоремы Коши в промежутке между Основные теоремы дифференциального исчисления - №143 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №144 - открытая онлайн библиотека , где Основные теоремы дифференциального исчисления - №145 - открытая онлайн библиотека фиксировано в Основные теоремы дифференциального исчисления - №134 - открытая онлайн библиотека . Поэтому внутри этого промежутка существует такое число Основные теоремы дифференциального исчисления - №147 - открытая онлайн библиотека , что Основные теоремы дифференциального исчисления - №148 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №149 - открытая онлайн библиотека , т.к. согласно непрерывности Основные теоремы дифференциального исчисления - №150 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №151 - открытая онлайн библиотека в точке Основные теоремы дифференциального исчисления - №152 - открытая онлайн библиотека и второго условия теоремы, имеем Основные теоремы дифференциального исчисления - №153 - открытая онлайн библиотека .

При Основные теоремы дифференциального исчисления - №154 - открытая онлайн библиотека переменная Основные теоремы дифференциального исчисления - №155 - открытая онлайн библиотека , заключенная между Основные теоремы дифференциального исчисления - №156 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №157 - открытая онлайн библиотека , тоже стремится к Основные теоремы дифференциального исчисления - №158 - открытая онлайн библиотека . При этом в силу третьего условия теоремы существует предел отношения функций и он равен

Основные теоремы дифференциального исчисления - №159 - открытая онлайн библиотека

Сформулируем теорему, относящуюся к случаю неопределенности вида Основные теоремы дифференциального исчисления - №160 - открытая онлайн библиотека .

Теорема. Если Основные теоремы дифференциального исчисления - №161 - открытая онлайн библиотека и Основные теоремы дифференциального исчисления - №162 - открытая онлайн библиотека определены и дифференцируемы при всех Основные теоремы дифференциального исчисления - №163 - открытая онлайн библиотека в окрестности точки Основные теоремы дифференциального исчисления - №164 - открытая онлайн библиотека , где Основные теоремы дифференциального исчисления - №165 - открытая онлайн библиотека , существует предел Основные теоремы дифференциального исчисления - №166 - открытая онлайн библиотека , то существует предел отношения Основные теоремы дифференциального исчисления - №161 - открытая онлайн библиотека к Основные теоремы дифференциального исчисления - №162 - открытая онлайн библиотека и он равен пределу отношения производных этих функций Основные теоремы дифференциального исчисления - №169 - открытая онлайн библиотека .

Н е о п р е д е л е н н о с т ь в и д а Основные теоремы дифференциального исчисления - №170 - открытая онлайн библиотека приводится к неопределенности вида Основные теоремы дифференциального исчисления - №171 - открытая онлайн библиотека или Основные теоремы дифференциального исчисления - №172 - открытая онлайн библиотека путем преобразования произведения функций Основные теоремы дифференциального исчисления - №173 - открытая онлайн библиотека к виду отношения Основные теоремы дифференциального исчисления - №174 - открытая онлайн библиотека или Основные теоремы дифференциального исчисления - №175 - открытая онлайн библиотека .

Н е о п р е д е л е н н о с т ь в и д а Основные теоремы дифференциального исчисления - №176 - открытая онлайн библиотека можно привести к неопределенности вида Основные теоремы дифференциального исчисления - №171 - открытая онлайн библиотека путем представления разности Основные теоремы дифференциального исчисления - №178 - открытая онлайн библиотека в виде отношения

Основные теоремы дифференциального исчисления - №179 - открытая онлайн библиотека

Н е о п р е д е л е н н о с т ь в и д а Основные теоремы дифференциального исчисления - №180 - открытая онлайн библиотека можно раскрыть с помощью тождества Основные теоремы дифференциального исчисления - №181 - открытая онлайн библиотека , которое имеет место при условии Основные теоремы дифференциального исчисления - №182 - открытая онлайн библиотека .