Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой

1. Начальное значение ВЧХ P(0) равно установившемуся значению переходной характеристики ст = Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №1 - открытая онлайн библиотека P( Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека ) = P(0).

Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №3 - открытая онлайн библиотека

2. САУ с вогнутой ВЧХ (рис.97а кривая 1) не имеет перерегулирования, то есть ей соответствует монотонная переходная характеристика (рис.97б кривая 1).

3. САУ с трапециидальной ВЧХ (рис.97а кривая 2, такую ВЧХ можно аппроксимировать трапецией) имеет апериодическую переходную характеристику (рис.97б кривая 2), причем величина перерегулированияsmax не превышает 18%.

4. Кривые 3 и 4 на рис.97а соответствуют колебательной переходной характеристике (рис.97б кривая 3). Величина перерегулирования smax тем больше, чем больше отношение P( Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека )max/P(0). Если это отношение стремится к бесконечности, то есть имеет место разрыв ВЧХ, то переходная характеристика приобретает вид незатухающих колебаний и САУ переходит на границу устойчивости. Величину перерегулирования можно приблизительно вычислить исходя из соотношения

smax < Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №5 - открытая онлайн библиотека.

Наличие отрицательного экстремума у ВЧХ (кривая 4) свидетельствует о повышенной колебательности системы.

Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №6 - открытая онлайн библиотека 5. Время переходного процесса tпп можно оценить приблизительно по виду ВЧХ без построения кривой h(t). Оно определяется полосой частот wп, при которыхP( Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека ) > 0.2P(0) (рис.98). Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека п называют интервалом положительности P( Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека ). При этом всегдаtпп >p/ Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека п. Для кривой 1 рис.97а: tпп Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №11 - открытая онлайн библиотека 4 Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №12 - открытая онлайн библиотека/Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека п. Для кривой 2: tпп Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №11 - открытая онлайн библиотека Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №11 - открытая онлайн библиотека (1..4)4 Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №12 - открытая онлайн библиотека / Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека п. Для кривых 3 и 4 коэффициент пропорциональности больше, причем он тем больше, чем больше отношение P( Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека )max/P(0).

Метод трапецийоснован на свойствах ВЧХ, следующих из полученной ранее формулы, которые мы рассмотрим без доказательств.

1. Свойство линейности: если ВЧХ можно представить суммой P( Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека) = SPi( Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека ), то каждой составляющей Pi( Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека )будет соответствовать составляющая переходной характеристики

Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №22 - открытая онлайн библиотека

Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №23 - открытая онлайн библиотека ,

при этомh(t) = Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №24 - открытая онлайн библиотека(рис.99а). Поэтому, если ВЧХ имеет сложную форму, ее можно представить суммой трапециидальных ВЧХ, примыкающих к вертикальной оси. Затем все трапеции перерисовывают, перенося их основания на горизонтальную ось (рис.99б). Каждой такой трапеции соответствует своя составляющая переходной характеристики hi(t), имеющая апериодический характер (рис.99в). Результирующая кривая строится суммированием данных составляющих.

2. Если умножить P( Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека ) на постоянный множитель а, то соответствующая ейh(t) Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №26 - открытая онлайн библиотека также умножается на а. То есть, чем выше ВЧХ, тем выше и переходная характеристика (рис.100).

3. Если аргумент w в выражении ВЧХ P( Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека ) умножить на постоянный множительа, то аргумент в h(t)будет делиться на это число, то есть

Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №28 - открытая онлайн библиотека

.

Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №29 - открытая онлайн библиотека То есть переходный процесс в случае P(a Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека ) будет протекать в а раз быстрее, чем в случае P( Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека ) (рис.101).

Рассмотрим трапециидальную ВЧХ (рис.102а). Она характеризуется коэффициентом наклона k = Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека 1 Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека 2. Под единичной Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №34 - открытая онлайн библиотека трапецией (рис.102б) понимают трапецию, две стороны которой совпадают с осями координат и равны по 1 в соответствующих масштабах; наклон kможет быть различным: P1( Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека ) = Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №36 - открытая онлайн библиотека .

Подставляя это определение в выражение для определения h(t) можно вычислить кривую переходного процесса, соответствующую единичной трапециидальной ВЧХ. Эти расчеты были проделаны и составлены таблицы hk-функций.

Для любой трапециидальной ВЧХ, на которые разбита реальная ВЧХ (рис.99б), можно построить подобную ей единичную трапецию со значением k = Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека 1 Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека 2, где Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека 1 - частота, соответствующая перелому реальной трапеции, Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека 2 - основание трапеции реальной ВЧХ. Для данной единичной трапеции по таблице hk-функций строят кривую hk(k,t), где t- время. Затем, используя свойства 2 и 3 масштабирования ВЧХ и переходной характеристики строят кривую переходного процесса, соответствующего данной трапециидальной ВЧХ. Причем оба описанных процесса можно совместить: сначала задаются моментом времени t, для него по таблице находят значениеhk(k,t), потом умножают это значение наP(0) (масштабирование по вертикальной оси) и откладывают полученное значение на графике h(t) для времени t = t/ Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека 2 (масштабирование по горизонтальной оси). Строя таким образом точки для различных моментов времени получают кривую

hi(t/ Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека 2) = P(0) Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №43 - открытая онлайн библиотека hk(k,t).

Данный алгоритм удобно оформить в таблицу:

t hk(k,t) t = t/ Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №2 - открытая онлайн библиотека 2 hi(t) = P(0) Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой - №43 - открытая онлайн библиотека hk(k,t)
..... ..... ..... .....

После суммирования составляющих переходного процесса, соответствующих каждой трапеции, получают реальную характеристику h(t).

Описанный метод построения переходной характеристики называется методом трапеций.